6 Lineare Abbildungen der euklidischen Ebene

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1 6 Lineare Aildungen der euklidischen Eene In diesem Kapitel etrachten wir nur noch lineare Aildungen der euklidischen Eene auf sich seler: f : E E oder f : R 2 R 2 Zudem verwenden wir das Skalarprodukt von Vektoren, insesondere die Tatsache, dass zwei Vektoren senkrecht stehen, wenn ihr Skalarprodukt den Wert null hat. Leonhard Euler ( hat gezeigt, dass es ei jeder linearen Aildung f der Eene ein Paar von Vektoren u und v git mit den folgenden Eigenschaften: i u v, also u v 0 ii f ( u f ( v, also f ( u f ( v 0 iii Üer der Basis f ( u, f ( v esitzt f die Darstellungsmatrix λ1 0 cos φ sin φ A 0 λ 2 sin φ cos φ Jede lineare Aildung ist also die Zusammensetzung einer Rotation und einer Euler-Streckung! Zeigen Sie, dass daraus die folgenden Aussagen hervorgehen: i det(f λ 1 λ 2 ii spur(f (λ 1 + λ 2 cos φ iii rang(f Anzahl der λ i, die von null verschieden sind Wir eweisen die Behauptung von Euler in mehren Schritten. Lemma 6.1. Jede Matrix A M 2 2 (R lässt sich als Produkt einer symmetrischen Matrix B und einer Rotation C schreien: f g a d e A h k c e d mit d 2 + e 2 1 und e > 0. Beweis: Der Beweis ist konstruktiv, wir zeigen, wie man a,, c, d und e aus den gegeenen Werten f, g, h und k erechnen kann. Wäre g h, dann wären wir schon fertig! Es sei also im Folgenden g h. Aus den Regeln der Matrix-Multiplikation ergeen sich die folgenden vier Gleichungen: I II III IV a d + e f a ( e + d g d + c e h ( e + c d k 1

2 Zudem verlangen wir noch V d 2 + e 2 1 VI e > 0 Wir erechnen zuerst e und d: I + IV III - II a d + c d f + k, also d (a + c f + k a e + c e h g, also e (a + c h g Wegen g h folgt e 0 und (a + c 0. Wir dürfen also die eiden Gleichungen durcheinander dividieren: quadriert: also Wegen e > 0 folgt d e f + k h g d 2 e 2 e 1 + oder d e f + k h g f + k 2! 1 e 2 wegen V h g 1 e 2 (f + k2 (1 + (h g 2 1 (f + k2 (h g 2 (h g 2 (h g 2 + (f + k 2 Daraus erhalten wir auch den Wert von d e f + k h g. d e Damit ist die Matrix C estimmt mit A B C. e d Nun multiplizieren wir noch von rechts mit C 1, um B zu estimmen! Es ist C 1 d e, somit e d B A C 1 f g d e f d g e f e + g d h k e d h d e k h e + k d Ist diese Matrix B symmetrisch? Gilt h d e k f e + g d? Gilt h d g d f e + e k? Gilt d (h g e (f + k? Ja, denn d e f + k h g! 2

3 Satz 6.2. Jede symmetrische Matrix A M 2 2 (R ist diagonalisierar. Sie esitzt also zwei linear unahängige Eigenvektoren. a Beweis: Sei A. c Ist 0, so sind wir fertig. Sei also 0: Wir zeigen, dass A zwei verschiedene Eigenwerte esitzt. Dann sind wir nach Lemma 5.4 fertig. Das charakteristische Polynom von A ist (a λ (c λ 2 λ 2 (a + c λ + a c 2 Dieser quadratische Term hat genau dann zwei Nullstellen, wenn die Diskriminante D positiv ist: D (a + c 2 4 (a c 2 a a c + c 2 4 a c a 2 2 a c + c (a c Wegen 0 ist dieser Term sicher positiv. Lemma 6.. Die symmetrische Matrix A M 2 2 (R hae die eiden Eigenvektoren λ 1 und λ 2. Dann sind die folgenden Vektoren v 1 und v 2 zugehörige Eigenvektoren: a λ2 a λ1 a v 1 und v 2, wenn A c Beweis: Wir müssen zeigen i a a λ2 a λ2 λ c 1 ii a a λ1 a λ1 λ c 2 Wir zeigen nur die Gültigkeit von i, ii geht genauso. i ist ewiesen, wenn gilt I a 2 a λ a λ 1 λ 1 λ 2 II a λ 2 + c λ 1 Die symmetrische Matrix A ist nach Satz 6.2 diagonalisierar. Daher dürfen wir auch das Korollar 5.11 verwenden: Somit spur(a a + c λ 1 + λ 2 und det(a a c 2 λ 1 λ 2 I a 2 a (a + c λ 1 + 2? a λ 1 (a c 2 a 2 a 2 a c + a λ 1 + 2! a λ a c II a λ 2 + c? (a + c λ 2 (a λ 2 + c! (a + c λ 2

4 Lemma 6.4. Die eiden Eigenvektoren von Lemma 6. stehen senkrecht aufeinander. Beweis: ( a λ1 a λ2 a 2 a λ 1 a λ 2 + λ 1 λ a a (λ 1 + λ 2 + λ 1 λ 2! a a spur(a + det(a a a (a + c + a c 2 a a 2 a c + a c 2 0 Korollar 6.5. (Satz von Euler Jede lineare Aildung f : R 2 R 2 lässt sich zusammensetzen aus einer Drehung d und einer Euler-Streckung euler. Daei git es immer zwei senkrechte Vektoren u und v, die auf zwei senkrechte Bildvektoren f ( u und f ( v ageildet werden. Üer den Basisvektoren d( u und d( v kann f euler d geschrieen werden als λ1 0 cos φ sin φ x f ( x 0 λ 2 sin φ cos φ y Beweis: Lemma 6.1, Satz 6.2, Lemma 6. und Lemma 6.4. Korollar 6.6. Jede lineare Aildung f : R 2 R 2 ildet einen Kreis um (0/0 auf eine Ellipse mit Mittelpunkt (0/0 a. Die Halachsen der Ellipse können auch 0 werden, falls det(f 0. Korollar 6.7. Bei jeder linearen Aildung f : R 2 R 2 git es ein Quadrat, welches auf ein Rechteck ageildet wird. Dieses kann auch zu einer Strecke oder dem Nullpunkt degenerien, falls det(f 0 ist. Korollar 6.8. Jede lineare Aildung f : E E in (0/0 auf Ellipsen mit Mittelpunkt in (0/0 a. mit det(f 0 ildet Ellipsen mit Mittelpunkt Beweis: f (Ellipse f (g (Kreis f g (Kreis Ellipse. Es folgt eine ausgewachsene Beipielaufgae Es sei A ( f g h k. Gesucht sind a B c ( cos φ sin φ d e und C sin φ cos φ e d, sodass gilt A B C. Zudem wollen wir die senkrechten Vektoren kennen, welche von der Rotation C auf die eiden senkrechten Eigenvektoren von B ageildet werden. 4

5 Nach dem Beweis von Lemma 6.1 gilt (h g 2 e (h g 2 + (f + k 2 Somit C d e f + k h g e , φ tan 1 tan also B A C 1 A B C A C 1 B C C 1 B, ( Die Eigenwerte von B sind (a + c ± D, wo D (a c Der TR liefert uns λ 1 67 und λ Dazu erhalten wir die eiden Eigenvektoren a λ v a λ1 v Welche eiden senkrechten Vektoren werden von der Rotation C auf v 1 und v 2 ageildet? C 1 v 1 u C 1 v Jetzt wissen wir alles üer diese lineare Aildung: 4 5 v die Vektoren und werden von der Rotation C auf die eenfalls senkrechten Vektoren und ageildet 4 4 die Euler-Streckung streckt dann mit dem Faktor 67 und mit dem Faktor der Einheitskreis wird auf eine Ellipse mit den Halachsen 67 und 17 ageildet die Fläche nimmt daei um den Faktor zu. Es ist det(a

6 Weiter: das Quadrat mit den Ecken (0/0, (0/ 5, (5/ 5 und (5/0 wird auf das Rechteck mit den Ecken (0/0, (201/ 268, (1/ 19 und ( 68/ 51 ageildet. l , ! Quadrate mit einer Ecke in (0/0, deren Ecken nicht parallel sind zur x- und y-achse werden auf ein schiefes Parallelogramm ageildet. Zum Aschluss wie immer noch ein paar Aufgaen 1. Zeigen Sie: Ist det(a 0, so kann A keinen Eigenwert mit dem Wert 0 haen. 2. Welche symmetrischen Matrizen haen genau einen Eigenwert?. Nach dem Satz 6.2 ist jede symmetrische Matrix ähnlich zu einer Diagonalmatrix. Es git immer eine Rotation B, sodass gilt: B A B 1 ist eine Diagonalmatrix. Bestimmen Sie für die folgenden symmetrischen Matrizen diese Rotation B, den Drehwinkel φ sowie die Diagonalmatrix D B A B 1 : a A c A ( 1 1 ( Zerlegen Sie die Aildung A d A x 4 x + 2 y y x 2 y in eine Rotation und eine Euler-Streckung. Welche eiden rechtwinkligen Vektoren werden daei wieder auf ein Paar rechtwinkliger Vektoren ageildet? 5. Bestimmen Sie die invarianten rechten Winkel ei den folgenden eiden Aildungen: a x x y y y x 2 x + y y x + 4 y 6. Zeigen Sie, dass die eiden Aildungsgleichungen eine Geradenspiegelung eschreien und estimmen Sie die Gleichung der Spiegelachse: x 0.6 x 0.8 y y 0.8 x 0.6 y 7. Stellen Sie allgemein die Gleichungen auf für die Spiegelung an der Geraden y m x. 8. Ist eine lineare Aildung der Eene mit den eiden Eigenwerten 1 und 1 immer eine Geradenspiegelung? 6

7 Dann stellen sich noch die grossen Fragen: 9. Welche Ergenisse dieses Kapitels lassen sich auf Endomorphismen des Raumes (oder von R üertragen? Wie sehen üerhaupt die Rotationen des Raumes aus? Wird jede Kugel mit Mittelpunkt (0/0/0 auf ein Ellipsoid mit Mittelpunkt (0/0/0 ageildet? 10. Welche Ergenisse lassen sich auf Endomorphismen im R n verallgemeinern? Lässt sich jede Matrix A M n n (R als Produkt einer symmetrischen Matrix B und einer antisysmmetrischen Matrix C schreien? Ist jede symmetrische Matrix diagonalisierar? Solche und ähnliche Fragen zu untersuchen edeutet nichts anders als Mathematik zu etreien! Version 1.1, vom März 2015 Ausgeareitet von Martin Guler, Kantonsschule Frauenfeld, im Novemer 2014 Mit L A TEX in eine lesare Form geracht von Alfred Hepp, Bergün im März