4 Ähnlichkeitsabbildungen

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1 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER 4 Ähnlichkeitsaildungen eispiele Verkleinerungen, Vergrößerungen ijektive, geradentreue ildungen, ei denen die Winkel erhalten werden, aer nicht notwendig auch die Längen. 4.1 entrische Streckungen Definition 4.1 Es sei ein unkt der Eene E; k \{0}. Eine ildung E E heißt zentrische Streckung mit (Streck-)entrum und Streckfaktor k für jeden unkt und seinen ildpunkt gilt: eispiele: ' = k k=2: ' =2 ' k=-1/2: ' =1/2 ' Eigenschaften einer zentrischen Streckung: Umkehraildung ist die zentrische Streckung mit demselen entrum und dem Streckfaktor 1/k. Insesondere ist eine zentrische Streckung ijektiv. Fixelemente einer zentrischen Streckung: - Fixpunkt: - Fixgeraden: alle Geraden durch Invarianten einer zentrischen Streckung: geradentreu ildgerade Originalgerade parallelentreu winkelmaßtreu umlaufsinntreu teilverhältnistreu streckenverhältnistreu (erklären Sie den Unterschied zur Teilverhältnistreue) i.a. nicht flächeninhaltstreu Einige eweise: Geradentreue: Lassen wir aus, weil sie unmittelar einleuchtend erscheint, aer zum eweis einigen ufwand erfordert.

2 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER ildgerade Originalgerade: Falls g ist, dann ist g =g und damit g g. Falls g aer g g= {} dann wäre Fixpunkt. lso ist auch in diesem Fall g g. arallelentreue, Winkelmaßtreue: Folgen unmittelar aus der vorangehenden Eigenschaft. Umlaufsinntreue: Offensichtlich. Teilverhältnistreue: eweis später, Satz 4.3. Der folgende Satz formuliert, dass eine zentrische Streckung das leistet, was man sich unter einer Vergrößerung mit Faktor k vorstellt. Satz 4.1 ei einer zentrischen Streckung mit Faktor k gilt für jede Strecke : '' = k eweis: 1.Fall:, liegen auf einer Geraden g durch. Dann gilt ' ' = ' ' = k k = k( ) = k andere Lagen von,? 2.Fall:, liegen nicht auf einer Geraden g durch (s. ildung). Ergänze Dreieck zu arallelogramm. Es ist =. Strecke mit Faktor k. Es ist ' = k und geht in '' üer. Daher ist '' ', ist also ein arallelogramm und ' ' = ' = k = k. Negative Werte von k: Üung. Hier ein anderer eweis, zunächst aer nur für rationale k. Man müsste für den allgemeinen Fall eine Grenzwertetrachtung anschließen. Hier ist k= 4 7 ' '

3 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER 4.2 Die Strahlensätze k j ' g h ' Satz 4.2 Voraussetzung: Gegeen sind 4 Geraden g, h, j, k mit folgenden Eigenschaften (vgl. Figur): g h = {} g j = {} ; g k = {'} ; h j = {}, h k = {'} Dann gilt: 1.Strahlensatz: Ist j k, so ist ' ' = und =. ' ' Umkehrung des 1. Strahlensatzes: ' ' Ist = =, so ist j k. ' ' (dient häufig zum Nachweis der arallelität von Geraden!) 2.Strahlensatz: ' ' ' Ist j k, so ist = Der 2. Strahlensatz ist nicht umkehrar! ' eweis des 1.Strahlensatzes ' Durch k = wird eine zentrische Streckung definiert. Das ild von unter dieser Streckung sei ~. Dann ist ~. us folgt ~, also = ~ ' und damit auch k = eweis der Umkehrung des 1.Strahlensatzes ' ' Es sei = = k. und werden durch zentrische Streckung mit Faktor k auf und ageildet.. eweis des 2.Strahlensatzes: Unmittelar klar mit Satz 4.1.

4 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER nwendungseispiel: nderer eweis des Satzes vom Schwerpunkt eines Dreiecks Satz vom Schwerpunkt eines Dreiecks In einem Dreieck schneiden sich die Seitenhalierenden (Schwerlinien) in einem unkt S. S teilt jede Seitenhalierende im Verhältnis 2:1. {S} = s c s {} = M c M a s C SM : S = CM : M c = 2:1 (2. Strahlensatz; entrum S) M sc Ma = M (1. Strahlensatz; entrum ) S S : SM = 2:1 naloges gilt für s a und s. Sei {S*} = s c s a.wie oen gilt für S* auf s S * : S * M = 2:1 S = S* Mc s Teilverhältnistreue us den Strahlensätzen ist eweisar: Satz 4.3 Drei unkte,, T einer Geraden g werden durch zentrische Streckung auf die unkte,, T der Geraden g ageildet. Dann gilt: Ist T = r T, so ist auch 'T ' = r T ' ' eweis: ' T ' T ' T ' ' ' T ' T = = = = : r T T T T ' ' T T T 4.3 Flächeninhalt und Volumen ei zentrischer Streckung Satz 4.4 ei einer zentrischen Streckung mit dem Faktor k wird jede Fläche auf eine Fläche mit k² fachem Inhalt ageildet, jeder Körper auf einen Körper mit k 3 fachem Volumen ageildet. nwendung: Wird ein massiver Körper aus homogenem Material auf das k-fache vergrößert, dann nimmt sein Volumen und damit sein Gewicht auf das k 3 -fache zu. Verdoppelt man ei einer massiven Gipsfigur also die Höhe, ohne die Form zu ändern (d.h. streckt sie mit dem Faktor 2), dann nimmt das Gewicht auf das 8-fache zu.

5 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER 4.4 Hintereinanderausführen von zentrischen Streckungen a) gleiches Streckzentrum Satz 4.5 a) Das Hintereinanderausführen von zwei zentrischen Streckungen mit gemeinsamem Streckzentrum und den Streckfaktoren k 1 und k 2 lässt sich ersetzen durch eine zentrische Streckung mit Streckzentrum, Streckfaktor k 1 k 2. ' '' ) verschiedene Streckzentren Q Q' Q'' Fall 1: k 1 k 2 1 lle Streckenlängen werden mit dem Faktor k=k 1 k 2 1 verändert, Strecke und ildstrecken sind parallel und gleich gerichtet für k>0, parallel und entgegen gerichtet für k<0. Daher schneiden sich die Verindungsgeraden aller unktepaare,, Q, Q. 1 2 Q ' Q' '' k>0 u zeigen ist, dass alle sich im gleichen unkt schneiden. Dies folgt aus der arallelität von Strecken und ildstrecken zusammen mit der Tatsache, dass das Verhältnis von ildstrecke zu Urildstrecke k ist (rgumente sind genauer auszuführen). Q'' Q'' k<0 '' Da die Gerade 1 2 Fixgerade für eide zentrischen Streckungen ist, ist sie auch Fixgerade für die Verkettung der eiden Streckungen. Das entrum muss also auf 1 2 liegen. 1 2 Q ' Q'

6 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER Fall 2: k 1 k 2 = 1 lle Streckenlängen leien unverändert, Strecke und ildstrecken sind parallel und gleich gerichtet. Daher sind die Verindungsgeraden aller unktepaare,, Q, Q parallel, die entsprechenden Verindungsstrecken gleich lang und gleich gerichtet (rgumente sind genauer auszuführen). Daher ist die Verkettung eine Verschieung mit Fixgerade 1 2, also parallel zu 1 2. Satz 4.5 ) 1 Das Hintereinanderausführen von zwei zentrischen Streckungen mit verschiedenen Streckzentren und den Streckfaktoren k 1 und k 2 lässt sich ersetzen durch eine zentrische Streckung, falls k 1 k 2 1, (Streckzentrum auf 1 2 ) durch eine Verschieung, falls k 1 k 2 =1 (Verschieung 1 2 ) Der een geführte eweis von Satz 4.5 ist zwar anschaulich, weist aer einige Lücken auf. Daher geen wir noch einen ausführlichen lückenlosen eweis an, der aer weniger anschaulich ist. udem liefert er noch ussagen üer die Lage des Streckzentrums zw. die Größe des Verschieungsvektors. Q ' Q' '' Q'' 2 k=1 x 2 a 1'' k u '' 1 u ' Wir ezeichnen die eiden zentrischen Streckungen mit ( 1,k 1 ) und ( 2,k 2 ). Es gilt 1 ist Fixpunkt von ( 1,k 1 ), d.h. 1 = 1, 1 ist durch ( 2,k 2 ) festgelegt so dass 2 1' ' = k2 21. Sei ein elieiger unkt, sein das ild unter ( 1,k 1 ), und dessen ild unter ( 2,k 2 ). Ist 1 =u, dann ist 1 ' =k 1 u. Die Strecke 1'' ' ' ist ild von 1 ' unter ( 2,k 2 ), hat also die Länge k 2 k 1 u= k u.

7 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER Fall k 1 Die Gerade schneidet für k 1 die Gerade 1 2 im unkt. Wir zeigen, dass unahängig von ist, also alle Geraden durch gehen. 1 u 1 us dem 2.Strahlensatz folgt = =, also unahängig von. Dadurch ist unahängig von '' k u k festgelegt. Ist x die Entfernung von und 2, dann kann man x (mit Vorzeichen) erechnen: x + a 1 k2 (1 k1) = x = a. x + k a k k k 1 Fall k= '' '' ist parallel zu 1 und gleich lang und gleich gerichtet und geht durch 1. Das zeigt, dass aus durch Verschieung um den Vektor 1 1 '' hervorgeht, unahängig von der Lage von. 1 1 '' ist offensichtlich ( 1 k2 ) Ähnlichkeitsaildungen Definition 4.2 Eine ildung f: E E heißt Ähnlichkeitsaildung f ist ijektiv, geradentreu und winkeltreu Satz 4.6 Durch das ilden eines einzigen Dreiecks ist eine Ähnlichkeitsaildung eindeutig festgelegt. eweis (ganz analog zum eweis des entsprechenden Satzes 2.6 für Kongruenzaildungen): Das ild eines (nicht ausgearteten) Dreiecks C sei C. Sei ein elieiger unkt der Eene. Wir müssen zeigen, dass das ild von eindeutig festgelegt ist. Dazu zeichnen wir die Gerade (für ). α, β, γ, δ seien die Winkel gemäß unten stehender ildung. Durch die ildung des Dreiecks C auf C ist wegen der Winkeltreue auch das ild des Vierecks C mit den entsprechenden Winkeln eindeutig estimmt. Damit liegt das ild von eindeutig fest. C α β γ δ C γ α β δ Üung: eichnen Sie Skizzen für weitere mögliche Lagen von und prüfen, Sie, o dann die rgumentation oen eenfalls richtig ist.

8 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER Satz 4.7 Die Ähnlichkeitsaildungen sind genau die Verkettungen einer zentrischen Streckung mit einer Kongruenzaildung. eweis Offensichtlich ist jede Verkettung einer zentrischen Streckung mit einer Kongruenzaildung ijektiv, geradentreu und winkeltreu, also eine Ähnlichkeitsaildung. Sei andererseits eine Ähnlichkeitsaildung gegeen. Nach Satz 4.6 ist sie durch die ildung eines einzigen Dreiecks C auf sein ilddreieck C eindeutig estimmt. Man kann das Dreieck C durch eine zentrische Streckung auf ein Dreieck **C* ailden, für das die Seite * * die gleiche Länge hat wie ''. Da alle Winkel von C, C und **C* gleich sind müssen **C* und C kongruent sein und **C* kann daher durch eine Kongruenzaildung auf C ageildet werden. C* C C * * 4.6 Die Gruppe (Ä, o) aller Ähnlichkeitsaildungen einer Eene Es gilt: Ä = Menge aller Ähnlichkeitsaildungen E E; o = Hintereinanderausführen Ä ist ageschlossen unter o ssoziativgesetz gilt ( f o g ) o h = f o ( g o h ) id (die identische ildung) ist neutrales Element; id Ä mit jedem f Ä ist auch das inverse Element f -1 Ä Satz 4.8 (Ä, o) ist eine (unendliche) Gruppe (K, o) ist eine Untergruppe von (Ä, o). 4.7 Ähnliche Figuren und Ähnlichkeitssätze Jetzt kann Ähnlichkeit von Figuren streng mathematisch definiert werden: Definition 4.3 wei Figuren heißen ähnlich es git eine Ähnlichkeitsaildung, die die Figuren aufeinander aildet. Satz 4.9 Ähnliche Figuren stimmen 1. in allen einander entsprechenden Winkeln und 2. in den Längenverhältnissen aller einander entsprechenden Linien üerein.

9 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER eweis: Die 1.Eigenschaft folgt sofort aus der Definition von Ähnlichkeit. Die 2.Eigenschaft folgt daraus, dass is auf eine Kongruenzaildung die Figuren durch zentrische Streckung auseinander hervorgehen und sich die Längen einer Figur nur um den Streckungsfaktor k von denen der anderen unterscheiden. Sind a und zwei Längen in einer Figur, dann sind die entsprechenden Längen in der anderen Figur k a und k und k a a damit die Verhältnisse und gleich. Dies gilt nicht nur für Längen von Strecken sondern auch für k die Längen nicht geradliniger Linien (z.. Kreisögen, Kreise usw., vergl. S.62). a k a k Um die Ähnlichkeit von Dreiecken nachzuweisen enutzt man häufig die Ähnlichkeitssätze, die man unmittelar aus den entsprechenden Kongruenzsätzen für Dreiecke gewinnt. Ähnlichkeitssatz Stimmen zwei Dreiecke in den Verhältnissen der drei Seiten zwei Winkeln den Verhältnissen von zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel den Verhältnissen von zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüer liegenden Winkel üerein, dann sind sie zueinander ähnlich. entsprechender Kongruenzsatz Stimmen zwei Dreiecke in den drei Seiten (sss) einer Seite und den anliegenden Winkeln (wsw) zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws) zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüer liegenden Winkel (Ssw) üerein, dann sind sie zueinander kongruent. ufgae Führen Sie die eweise für die Ähnlichkeitssätze aus. Man kann die Ähnlichkeitssätze immer an Stelle der Strahlensätze enutzen. In amerikanischen Geometrieüchern für die Schule findet man z.. gar keine Strahlensätze, alle rgumente enutzen entweder zentrische Streckungen Sätze üer ähnliche Dreiecke. ufgae eigen Sie, wie die Strahlensätze durch Sätze üer ähnliche Dreiecke ersetzt werden können.