G e o m e t r i e Ähnlichkeit

Transkript

1 G e o m e t r i e Ähnlichkeit uf Java und Bali in Indonesien hat das Schattenspiel, das Wayang kulit (wayang = Theater, kulit = Haut) eine jahrhundertealte Tradition. Im Wayang kulit wird in hinduistischen Epen der Kampf des Guten gegen das Böse dargestellt. Gespielt wird mit reich bemalten Figuren vor einer Lampe. Das Publikum sieht die Schatten der Figuren auf einer Leinwand. Schatten und Figur sind sich im mathematischen Sinn ähnlich.

2 1. Ähnlichkeit Wenn wir das Wort ähnlich brauchen, so meinen wir fast gleich, irgendwie verwandt. In der Mathematik hat der Begriff Ähnlichkeit eine genauere Bedeutung. Definition: Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie genau dieselbe Form haben. Sie müssen aber nicht unbedingt dieselbe Grösse haben. ufgabe 1: Diese Figuren sind umgangssprachlich in einem gewissen Sinn alle ähnlich. Sonst würden wir sie nicht alle als Buchstaben erkennen. Im mathematischen Sinn sind nur einige davon ähnlich. Welche? a b c d e f g I II III ufgabe 2: Welche der Figuren sind zueinander ähnlich? ufgabe 3: Wähle aus den Buchstaben in der ufgabe 1, eine Gruppe von ähnlichen. Was ist bei diesen gleich? In was unterscheiden sie sich? Geometrie: Ähnlichkeit Seite 2 (November 11)

3 Satz: Ähnliche Figuren stimmen in allen und den der Strecken überein. ufgabe 4: Stimmen diese Behauptungen? Begründe deine ntwort mit dem obenstehenden Satz! a) lle Quadrate sind zueinander ähnlich. b) lle Rechtecke sind zueinander ähnlich. c) lle Rhomben sind zueinander ähnlich. d) lle gleichseitigen Dreiecke sind zueinander ähnlich. e) lle gleichschenkligen Dreiecke sind zueinander ähnlich. f) lle rechtwinkligen Dreiecke sind zueinander ähnlich. g) lle rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecke sind zueinander ähnlich. h) lle Kreise sind zueinander ähnlich. i) lle Kreisringe sind zueinander ähnlich. 2. Die zentrische Streckung ufgabe 5: Beim Wayang kulit wird mit einer Lampe der Schatten einer Figur auf die Leinwand projiziert. Lampe Figur Leinwand a) Konstruiere den Schatten der Figur auf der Leinwand. b) Um welchen Faktor wurde die Figur vergrössert? c) Miss auch die Strecken von Lampe zur Figur und von der Lampe zur Leinwand. Um welchen Faktor wurden diese Strecken vergrössert? Geometrie: Ähnlichkeit Seite 3 (November 11)

4 ufgabe 6: Diese beiden Dreiecke sind ähnlich. Verbinde die Punkte mit, B mit B und C mit C. Verlängere die Linien weiter nach links. Was stellst du fest? Definition: Bei einer mit dem Z und dem k: Liegt das Streckzentrum Z, der Punkt P und der Bildpunkt P auf einer Der des Punktes P von Z ist das k-fache des bstandes des Punktes P von Z. ufgabe 7: Zeichne bei ufgabe 5 und 6 das Streckzentrum Z ein und gib den Streckfaktor k an. ufgabe 8: Führe diese Streckungen mit dem Zentrum Z und dem Streckfaktor k = 2 mit Zirkel und Lineal aus. Beschrifte die Ecken von Original und Bild. Z Geometrie: Ähnlichkeit Seite 4 (November 11)

5 ufgabe 9: uch bei einer Lochkamera entsteht ein Bild auf einer Bildebene. Gegenstand Loch (Blende) Bildebene a) Konstruiere das Bild des Gegenstands bei dieser Lochkamera. b) Wo kommt die Pfeilspitze zu liegen? c) Zeichne das Streckzentrum Z ein. d) Wie gross ist die Vergrösserung (der Streckfaktor)? ufgabe 10: Stellen wir uns ein paar Fragen zum Streckfaktor: a) Wenn das Bild grösser als das Original ist, so ist der Streckfaktor k. b) Wenn das Bild kleiner als das Original ist, so ist der Streckfaktor k. c) Wenn der Streckfaktor positiv ist, so liegen Bild und Original auf Seite von Z, ist er negativ auf Seiten. ufgabe 11: Bleiben bei der zentrischen Streckung a) die Länge der Strecken erhalten (streckentreu)? b) die Verhältnisse von Strecken zueinander erhalten (verhältnistreu)? c) die Winkel in der Figur erhalten (winkeltreu)? d) der Drehsinn der Figur erhalten (orientierungstreu)? Geometrie: Ähnlichkeit Seite 5 (November 11)

6 ufgabe 12: Führe diese Streckungen mit dem Zentrum Z und dem Streckfaktor k mit Zirkel und Lineal aus. Beschrifte die Ecken von Original und Bild. a) k = 0.5 Z b) k = 1 Z ufgabe 13: Sind sich bei einer bbildung mit einem Diaprojektor Dia und Bild ähnlich? ufgabe 14: uf einer Folie ist ein Rechteck gezeichnet. Man legt sie auf den Hellraumprojektor und auf der Leinwand erscheint ein Trapez? Woran liegt das? Handelt es sich hier um eine Ähnlichkeitsabbildung? ufgabe 15: Bei einem Fotokopierer wird im Menu Vergrösserung ein Wert 75% eingestellt. Sind Original und Kopie ähnlich? Was bedeuten die 75%? Geometrie: Ähnlichkeit Seite 6 (November 11)

7 3. Verhältnisse bei der Streckung Verkleinerung Wenn auf der Landkarte zum Beispiel der Massstab 1 : 100'000 angegeben ist, so bedeutet dies, das 1 cm auf der Karte 100'000 cm = 1000 m = 1 km in der Natur entsprechen. Vergrösserung Wird bei der Mikroskopie zum Beispiel ein Massstab von 1000 : 1 angegeben, so bedeutet dies, das 1 mm auf dem Bild mm = 1 μm in der Natur entspricht. In beiden Fällen ist das Original (Natur) in guter Näherung ähnlich zum Bild. Geometrie: Ähnlichkeit Seite 7 (November 11)

8 c ufgabe 16: Von Biel nach Mörigen misst die Luftlinie 5.96 km. Wie lange ist sie auf einer Karte im Massstab 1:25'000? ufgabe 17: Wie weit ist es von Christchurch nach Dunedin? Mit welchem Massstab wurde die Karte abgebildet (siehe Karte oben)? ufgabe 18: Findest du mit Hilfe der Karte oben heraus, wie gross der Umfang der Erde ist? ufgabe 19: Wenn die Karte dreidimensional abgebildet wäre, d.h. die Berge erhöben sich aus dem Papier, wie hoch wäre Mount Cook auf der Karte? ufgabe 20: Die Fliege auf dem letzen Bild (Bild rechts unten) ist mit einem Massstab von 1'350:1 abgebildet. Wie gross ist die Seitenlänge einer der Facetten des uges? Merke: Bei der Streckung verändern sich die Längen der Strecken. Wird eine Strecke a um den Streckfaktor k gestreckt, so hat die Bildstrecke a die Länge k a. Das Verhältnis einer Bild- zu ihrer Originalstrecke ist der Streckfaktor k. a b'=k b a'=k a c'=k c b ufgabe 21: Sind diese zwei Dreiecke zueinander ähnlich? Original: a = 5.2 cm, b = 7.4 cm und c = 2.3 cm. Bild: a = cm, b = cm und c = 5.06 cm. ufgabe 22: Der Schatten eines Baumes ist 24 m lang. Eine 3 m lange Bohnenstange wirft gleichzeitig einen 5 m langen Schatten. Wie hoch ist der Baum? ufgabe 23: Ein Quadrat mit der Seitenlänge s = 12 cm wird mit dem Streckverhältnis k = 3 gestreckt. Welche Fläche hat das Originalquadrat und welche Fläche hat das Bildquadrat. Um welchen Faktor vergrössert sich die Fläche des Quadrats? Satz: Bei der Streckung verändert sich die Fläche der Figur. Wird eine Figur um den Streckfaktor k gestreckt, so wird die Fläche um den Faktor. grösser. ufgabe 24: Ein Rechteck wurde gestreckt und dabei hat sich die Fläche verdoppelt. Um welches Streckverhältnis wurde das Rechteck gestreckt? ufgabe 25: Ein Kreis mit Radius r = 6 cm wird zentrisch gestreckt. Der Bildkreis hat den Flächeninhalt = 108 π cm 2. Wie gross ist das Streckungsverhältnis? ufgabe 26: Zwei ähnliche Dreiecke haben einen Flächeninhalt = 48 cm 2 und = 75 cm 2. Wie gross ist die Seitenlänge c, wenn c = 18 cm misst? Geometrie: Ähnlichkeit Seite 8 (November 11)

9 ufgabe 27: Ein Würfel mit der Seitenlänge s = 8 cm wird um den Faktor 2 gestreckt. Welches Volumen V hat der Originalwürfel und welches Volumen V hat der Bildwürfel? Um welchen Faktor wurde das Volumen vergrössert? Satz: Bei der Streckung verändert sich das Volumen eines Körpers. Wird ein Körper um den Streckfaktor k gestreckt, so wir das Volumen um den Faktor. grösser. ufgabe 28: Ein Würfel wird um den Faktor 5 gestreckt. Um welchen Faktor vergrössert sich sein Volumen? ufgabe 29: Der Erddurchmesser ist 3.67-mal so gross wie der Durchmesser des Mondes. Wie viel grösser ist das Volumen der Erde, als das Volumen des Mondes? ufgabe 30: Ein grosser ausgewachsener afrikanischer Elefantenbulle hat eine Höhe von 4 m und wiegt etwa 4'000 kg. Ein Brachiosaurus hat eine Höhe von etwa 10 m und wiegt wesentlich mehr als ein Elefant. a) Wie viel hat ein Brachiosaurus wohl gewogen? Um welchen Faktor ist er schwerer als ein Elefant. Die beiden Tiere sind zwar geometrisch nicht ähnlich, aber für eine bschätzung können wir jedoch gut annehmen, dass sie es in etwa sind sind. b) Ein typischer Knochen eines Elefanten hat einen Durchmesser von 5 cm. Nehmen wir an, das beim Brachiosaurus auch die Knochen um denselben Faktor gestreckt sind. Um welchen Faktor haben sie die grössere Querschnittsfläche, als die Knochen des Elefanten? c) Die Belastung eines Knochens können wir abschätzen indem wir berechnen wieviel Kilogramm auf einem Knochenquerschnitt von einem Quadratzentimeter lastet. Wie viel stärker ist der Knochen des Sauriers also belastet? ufgabe 31: Eine meise ist sehr klein. Im Vergleich zu ihrer Körpergrösse kann sie sehr grosse Objekte tragen. Kannst du erklären weshalb? Geometrie: Ähnlichkeit Seite 9 (November 11)

10 4. Strahlensätze ufgabe 32: Diese Figuren kennst du bereits. Zeichen noch einmal die Strahlen und das Bild ein. Schattenprojektion Lochkamera B B a) In beiden Figuren kannst du zwei ähnliche Dreiecke finden. Zeichne sie mit Farbe ein. b) Zeichne das Streckzentrum S ein. c) Beschrifte die Bildpunkte und B. d) Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke lassen sich in dieser Figur einige Verhältnisse finden, die gleich bleiben. Suche einige. ufgabe 33: In den Figuren sind zwei sich schneidende Geraden (Strahlen) gezeichnet. Die beiden Strahlen werden von zwei Parallelen geschnitten. ' S B' S B B' B ' a) uch hier findest Du je zwei ähnliche Dreiecke. Zeichne sie ein! b) Formuliere auch hier einige Verhältnisgleichungen. Es ist eine Hilfe bereist vorgegeben. Bei den gefundenen Verhältnisgleichungen handelt es sich um die Strahlensätze: S ' S =... = ' S =... Bemerkung: Die Strahlensätze sind von grosser historischer Bedeutung. Ich empfehle jedoch beim Lösen von Problem, immer an eine Streckung von Dreieck zu denken. So ist es wesentlich einfach sich an die Verhältnisgleichungen zu erinnern, da einfach der Streckfaktor für alle Strecken gleich ist. Geometrie: Ähnlichkeit Seite 10 (November 11)

11 ufgabe 34: Berechne die gefragten Strecken! a) S = 8.4cm, SB = 12.0 cm SC 14.0 cm, SD =? b) S = 7.5cm, SD = 13.6cm CD = 5.1 cm, B =? c) SB = 14cm, SD = 13 cm CD = 5.2 cm, B =? ufgabe 35: Berechne die in der Tabelle fehlenden Streckenlängen. x y a b c d x y a) 4.5 cm 3 cm 2 cm 3 cm b) 6 cm 1.6 cm 5 cm 7 cm c) 4.1 cm 6.8cm 5.1 cm 6.4 cm d) 5.2cm 2.8cm 4.2cm 8.1 cm e) 2 cm 7 3 cm 3 2 cm 6 5 cm f) 1.5 z z 2.5 z 1 cm ufgabe 36: Berechne die in der Tabelle fehlenden Streckenlängen. a b c d a) 5.0 cm 4.0 cm 6.0 cm b) 3.6 cm 9.2 cm 6.9cm c) 3.0 cm 9.0 cm 4.0 cm d) 1.7 cm 3.0 cm 2.7cm e) 2.0 cm 2.0 cm 8.0 cm Geometrie: Ähnlichkeit Seite 11 (November 11)

12 ufgabe 37: Berechne die gefragten Grössen! a) a = 7 cm, b = 3 cm, c = 5.6 cm, d =? b) a + b = 9 cm, c = 6 cm, d = 1.5 cm, a =?, b =? c) b ist 60 % von a c = 8 cm, d =? ufgabe 38: Berechne die Längen der unbekannten Strecken. lle Masse in cm. a) b) u + v = 4 cm ufgabe 39: Umkehrung des Strahlensatzes: a) Zwei der Geraden f, g und h sind parallel. Welche? (Bem: Die Zeichnung dient nur als Skizze der Situation.) b) Ändere bei 1.2 und 3.2 die Stelle nach dem Komma so ab, dass alle drei Geraden parallel sind. ufgabe 40: x =? Geometrie: Ähnlichkeit Seite 12 (November 11)

13 ufgabe 41: =? ufgabe 42: a =?, b =? ufgabe 43: Beim Rechteck BCD ist B = 10 cm, BC = 4 cm und BE = 1.5 cm. Berechne die Längen von EF, CF und DG auf zwei Kommastellen genau. ufgabe 44: Wie gross ist der Flächeninhalt des Trapezes? ufgabe 45: Wie gross ist der Umkreisradius des Dreiecks? ufgabe 46: Wie gross ist der Flächeninhalt des schraffierten Trapezes? Kreisradius r = 22.5 cm C = 36 cm, P = PQ = QR Geometrie: Ähnlichkeit Seite 13 (November 11)

14 5. Ähnlichkeitsabbildungen Pro memoria: Bei der Translation, der chsenspieglung, der Rotation und der Punktspieglung und ihren Verkettungen ändert sich und einer Figur nicht. Diese bbildungen heissen.. Figuren, die durch eine solche bbildung in eine deckungsgleiche übergeführt werden können heissen. Definition: Figuren, die durch eine Verkettung. und. in deckungsgleiche Figuren übergeführt werden können, heissen ähnlich. Diese bbildungen heissen Ähnlichkeitsabbildungen. ufgabe 47: Zeichen ein Mengendiagramm, indem du die Menge aller bbildungen, der Ähnlichkeits- und der Kongruenzabbildungen darstellst. ufgabe 48: Beantworte die folgenden Fragen. a) Sind alle Quadrate zueinander kongruent, sind sie zueinander ähnlich? b) Sind alle Rechtecke zueinander kongruent, sind sie zueinander ähnlich? c) Sind zwei Kreise mit Radius r = 5.0 cm zueinander kongruent, sind sie ähnlich? d) Sind alle Kreise zueinander kongruent, sind sie zueinander ähnlich? e) Sind alle Dreiecke zueinander kongruent, sind sie zueinander ähnlich? f) Sind alle gleichseitigen Dreiecke zueinander kongruent, sind sie ähnlich? g) Sind alle gleichseitigen Dreiecke mit der Seitenlänge s = 4.5 cm zueinander kongruent, sind sie zueinander ähnlich? h) Sind alle regelmässigen 7-Ecke zueinander kongruent, sind sie ähnlich? ufgabe 49: Stimmen diese ussagen? Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie a) in allen drei Seiten übereinstimmen (SSS). b) in zwei Seiten und im eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (SWS). c) in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen (WSW). d) in zwei Seiten und dem der grösseren Seite gegenüberliegenden Innenwinkel (SsW). e) in allen drei Winkeln übereinstimmen (WWW). ufgabe 50: Stimmen diese Behauptungen? Wenn zwei a) Dreiecke in zwei Winkeln übereinstimmen, sind sie ähnlich. b) Dreiecke in den Verhältnissen ihrer Seitenlängen übereinstimmen, sind sie ähnlich. c) Vierecke in allen Winkeln übereinstimmen, sind sie ähnlich. d) Vierecke in den Verhältnissen der Seitenlängen übereinstimmen, sind sie ähnlich. Geometrie: Ähnlichkeit Seite 14 (November 11)

15 6. Schnellrechnen ufgabe 51: Diese Fragen solltest du schnell aus dem Kopf ohne Rechnen beantworten können. Bei einem Quader werden Länge und Breite verdoppelt. Wievielmal grösser ist das neue Volumen? Das Volumen ist viermal grösser. Bei einem Quader wird die Breite verfünffacht. Wievielmal grösser ist das neue Volumen? uf einem Plan im Massstab 3 : 1 misst eine Strecke 30 cm. Wie gross ist sie in Wirklichkeit? Eine Karte ist im Massstab 1 : 250'000 gezeichnet. Wie viel misst eine 50 km lange Strecke auf dieser Karte? uf der Karte im Massstab 1 : 50 ist eine Fläche gezeichnet. Wievielmal grösser ist die Fläche in Wirklichkeit? Ein Objekt wird im Massstab 1: 20 nachgebaut. Wievielmal kleiner ist das Volumen des Modells? Die Seitenlängen eines Würfels werden verdoppelt. Wievielmal grösser ist das neue Volumen? Bei einem Würfel werden die Seitenlängen verdreifacht. Wievielmal grösser ist die neue Länge der Raumdiagonalen? Bei einem Quader werden die Länge, die Breite und die Höhe verdoppelt. Wievielmal grösser ist das neue Volumen? Bei einem Zylinder wird der Radius der Grundfläche verdreifacht. Wievielmal grösser ist das neue Volumen? Geometrie: Ähnlichkeit Seite 15 (November 11)