Lösungen Ferienaufgaben Mathematik 8

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1 Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oerasach Lösungen Ferienaufgaen Mathematik 8 8.A Funktionen 8.A. Begriff ) Entscheide in den folgenden Fällen, o eine Funktion vorliegt und egründe Deine Antwort! Jeder Zahl wird ihr um eins erhöhtes Quadrat zugeordnet. + eindeutige Zuordnung Funktion ) Jeder natürlichen Zahl werden alle Zahlen zugeordnet, die etragsmäßig den gleichen Wert haen., da - = Aer auch:. Für jede natürliche Zahl git es also zwei zugeordnete Zahlen keine eindeutige Zuordnung keine Funktion c) d) ) Die ageildeten Gefäße werden mit gleichmäßig zufließendem Wasser gefüllt. Die Graphen veranschaulichen den Zusammenhang zwischen Zeit und Füllhöhe des Gefäßes. Ordne die Gefäße den passenden Graphen zu! Begründe Deine Wahl! I II III I: Der Zunahme der Füllhöhe ist ei einem Zylinder konstant, Gerade als Graph II: Zwei unterschiedlich dicke Zylinder, im schmaleren Teil oen nimmt die Füllhöhe schneller zu, also ist die Steigung des Graphen im zweiten Teil größer. III: Die Zunahme der Füllhöhe in einem umgedrehten Kegel wird geringer, da der Kegel nach oen hin reiter wird, Steigung des Graphen ist am Anfang hoch, nimmt dann immer mehr a. 8.A. Lineare Funktionen ) Bestimme die Schnittpunkte der Funktion y = mit den Koordinatenachsen! y = 0 (Nullstelle) = 0 = = S ( 0) = 0 y = 0 = S y (0 )

2 Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oerasach ) Zeichne den Graphen von f() = ½ -, und g() = -, + in ein Koordinatensystem. Bestimme den Schnittpunkt der eiden Graphen und üerprüfe Dein Ergenis durch Rechnung! f() = g(), =, +, = =, =, f(,) =,, =,7 S(,/,7) ) Gi die Zuordnungsvorschrift der linearen Funktion an, die parallel zur -Achse verläuft und den Punkt P( ) enthält. Steigung m = 0 => f() = ) Ermittle die Funktionsgleichung der linearen Funktion, die durch die Punkte A(- ) und B( -8) festgelegt ist. m = y y = 8 ( ) = = y = + t A einsetzen: = ( ) + t t = f() = + 8.A. Direkte und indirekte Proportionalität ) Direkte Proportionalität: y = k k = y = 8 0 = 9 0 = 0, y 8, 89, 0 ) Bestimme die fehlenden Werte der vorliegenden indirekten Proportionalität: k = y = 0 8 = , y ) Entscheide jeweils, o die Aussage stimmt. Gi ei einer falschen Aussage ein Gegeneispiel an! Erhöht sich ei einer direkten Proportionalität die eine Größe um 0, so wird auch die andere um 0 größer. Falsch! Erhöhung heißt Zunahme, also Addition (+0), Gegeneispiel: y =, sei = 0 y = 0 = 0 Erhöhung: = = 0, y = 0 = 90, y hat sich um 0 erhöht! ) Verdreifacht sich ei einer direkten Proportionalität die eine Größe, so erhöht sich die andere um das Doppelte. Kommt das Doppelte des Ausgangswerts dazu, ist dies eine Verdreifachung! Aussage ist richtig! Beispiel: Zuordnung Benzinverrauch v in l Preis p in mit p =,0 v v/l 9 p/,0,0

3 Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oerasach c) Haliert sich ei einer indirekten Proportionalität die eine Größe, so erhöht sich die andere um 00% ihres Werts. Halierung edeutet, Erhöhung um 00% heißt Verdopplung, also. Aussage ist richtig. d) Vermindert sich ei einer indirekten Proportionalität die eine Größe um 0, so erhöht sich die andere um 0. Aussage ist falsch! Gegeneispiel: 0 = y (Produktgleichheit) 0 = = 70 8.A. Gerochen-rationale Funktionen und Bruchgleichungen ) Gegeen sei die Funktion f ( ). Bestimme ihre Definitionsmenge und gi die Gleichungen ihrer waagrechten und senkrechten Asymptoten an! Skizziere anschließend den Graphen von f in ein sinnvoll gewähltes Koordinatensystem! + = 0 = D = Q\{ } Senkrechte Asymptote: = Waagrechte Asymptote: y = =, ) Gegeen ist der Funktionsgraph einer Funktion der Art g( ) (vgl. A. unten). Bestimme aus der Zeichnung ihre Definitionsmenge und gi c die Gleichungen ihrer waagrechten und senkrechten Asymptote an! Ermittle dann die Parameter, c und das richtige Vorzeichen im Zähler des Bruchs! Senkrechte Asy.: = D = Q\{} c = Waagr. Asy.: y = = Graph efindet sich im. Und. Quadranten des Asymptotenkreuzes negatives Vorzeichen g() = + ) Gegeen ist der Graph der Funktion y (vgl. A. unten). D = Q\{ } Leider sind in der Zeichnung die Asymptoten und die Koordinatenachsen verschwunden. Zeichne sie an der richtigen Stelle ein und eschrifte sie passend! (Einheit: Kästchen) y - - O - -

4 A. : zu Aufgae A. : zu Aufgae ) Ermittle jeweils die Lösungsmenge der Bruchgleichung! 8 ) c) ( ) D = Q\{, } + + ( ) = + ( )( + ) ( ) ( + ) = + = + = + = L = D = Q\{, } D = Q\{ 0,; 0,} (8 ) ( + ) ( ) = ( )( + ) ( )( + ) D = Q\{ } 8.B Lineare Gleichungssysteme ) Löse graphisch! (I) + y = y = + (II) y = y = 8 + = = 8 + = L = { } + ( + ) ( ) = + + ( + ) + = = = L = { }, da D L = {(/)} Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oerasach ) Ermittle jeweils die Lösungsmenge! (I) + y = - c) (I) y = (II) 8y = 0 (II) + = y L = {(/ )} L = {(/y) y = + } ) (I) = y d) (I) y + 7 = 0 (II) = y (II) 00 = 0y L = {(/)} L = { }

5 Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oerasach ) Zwei Zahlen unterscheiden sich um. Das Quadrat der größeren Zahl ist um kleiner als das Produkt der Zahlen, die man erhält, wenn man die größere Zahl um verkleinert und die kleinere Zahl um vergrößert. Wie heißen die eiden Zahlen? Stelle ein Gleichungssystem auf! (I) y = + (II) y + = (y )( + ) L = {(0/)} ) Die Zehnerziffer einer zweistelligen Zahl ist doppelt so groß wie die Einerziffer. Vertauscht man die Ziffern, so ist die neue Zahl um größer als die Hälfte der ursprünglichen Zahl. Wie heißt diese? Stelle ein Gleichungssystem auf! (I) z = e (II) e 0 + z = (z 0 + e): L = {(8/)} Die Zahl heißt 8. ) Eine Frau verteilt Bonons unter Kinder. Git sie jedem Kind Bonons, so leien 7 Bonons ürig. Würde sie aer jedem Kind Bonons geen, dann fehlten ihr Stück. Wie viele Bonons verteilt die Frau an wie viele Kinder? Stelle ein Gleichungssystem auf! : Anzahl Kinder y: Anzahl Bonons (I) = y 7 (II) = y + L = {(7/)} Es sind 7 Kinder und Bonons. 8.C Strahlensatz ) Berechne a, und c! (Skizzen nicht maßstasgetreu!) 8 a c 0 ) Berechne jeweils und y!

6 Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oerasach ) Ein Detektiv steht in der Mitte einer Hauseinfahrt verorgen (s. Skizze). Wie viele Meter der gegenüer liegenden Straßenseite kann er üerlicken? m m m Er kann 0 m üerlicken. 8.D Ähnlichkeit ) ) nein; Gegeneispiel: =0 ; =70 ; =90 =0 ; =0 ; =90 ) nein; Gegeneispiel: =0 ; =0 ; =0 =0 ; =0 ; =80 c) ja, da alle Winkel in eiden Dreiecken 0 groß sind ähnlich nach dem Ähnlichkeitssatz für Dreiecke d) nein; Gegeneispiel: = =70 ; = =0 = =00 ; = =80 e) nein; Gegeneispiel: a =; c =; h =; =0 a =; c =; h = ; =0 f) nein; Gegeneispiel; a =; c =; h =; a =; c =; h = g) ja h) ja, da die entsprechenden Winkel in eiden Dreiecken üereinstimmen i) ja, da alle Winkel gleich groß sind und sie in den Seitenverhältnissen entsprechender Seiten üereinstimmen k) nein; Gegeneispiel: a =c = ; =d = a =c = ; =d = l) nein; Gegeneispiel: Sechseck : alle Winkel 0 ; Sechseck : Winkel 0,. Winkel 0 m) ja, da alle Winkel gleich groß (0 ) und alle Seitenverhältnisse gleich sind (alle Seiten gleich lang) 0 ) h Rahmen, ; Rahmen = c) nicht in jedem Fall (s. Teilaufgae d) d) Die Rechtecke sind ähnlich, wenn die Seitenverhältnisse gleich sind, d.h. wenn Breite und Höhe des Rahmen sich :9 verhalten. ) Alle entsprechenden Winkel sind gleich: EDA= CBA, da Stufenwinkel AED= ACB, da Stufenwinkel DAE= BAC ) Im Dreieck ABC gilt wegen der Winkelsumme im Dreieck: α+β+90 =80, d.h. α=90 - β β=90 - α Das Dreieck AFC hat einen 90 zu Aufgae zu Aufgae Winkel und einen Winkel der Größe α. Wegen der Winkelsumme muss der dritte Winkel α=90 - α = β (s. oen) groß sein. Das Dreieck FBC hat einen 90 Winkel und einen Winkel der Größe β. Wegen der Winkelsumme muss der dritte Winkel β=90 - β = α (s. oen) groß sein.

7 Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oerasach Damit stimmen alle drei Winkel in den drei Dreiecken üerein ähnlich nach dem Ähnlichkeitssatz für Dreiecke. 8.E Zufall und Wahrscheinlichkeit ) Ω={;;;;;;7} ) P(A)= 7 ; P(B)= 7 ; P(C)= 7 ; P(D)= 7 ; P(E)= 7 ; P(F)= 7 c) Die Ergenisse sind nicht mehr gleichwahrscheinlich, da es nun wahrscheinlicher ist eine zu drehen als jede andere Zahl. d) P()= P()= P()= P()= P()= P(7)= ; P()= 8 8 e) P(A)= ; P(B)= ; P(C)= ; P(D)= ; P(E)= ; P(F)= ) Latein Französisch Mädchen 8 Junge ) c) 0 d) 0 ) Ω = =7 8 ) c) 7 7 d) 7 e) 7 8 f) g) 7 7 )!=70 )! = c)!!= d)!!= e)!= f)!= 8.F Potenzen mit ganzzahligen Eponenten ) ) ) ) 000m=, 0 m ) 0000=,0 0 c) 000l=, 0 l d) 000m =, 0 m e) 000m =, 0 m f) 0,7m=,7 0 - m g) 0,000km=, 0 - km h) 0,l=, 0 - l i) 00000g=, 0 g k) 0,0000hl= 0 - hl l) 8,a m) 0,0007g=,7 0 - g 7 ) 8 ) g) 8a h) a ) a 8 g) a a 9 h) c) c) i) a c) a i) d) e) d) 79 k) a d) a k) 8a e) l) a a 8a f) 0 m) 0,a a a e) a 8a f) a a l) 8

8 ) ) c) e) 0, 0 i) a k) f) g) Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oerasach a h) d) a a ) y z ) a 7 c c c) 7 a c y y d) a e) 7a c a c a 8.G Berechnungen am Kreis ) Die schraffierten Flächen haen allen den Flächeninhalt a a ) ) c) d) A () (,), ; U, A (), ; U, A () () U A (), U, 7, ) ) A (,) U, (,) 0,,, Tag zur Verfügung stehende Fläche Tag ( m) m = eine Tagesration Tag ( m) (m) m Tag ( m) (m) 7 m Tag ( m) (m) 9 m Tag ( m m) (m m) ( ) m ( ) m m 0, Gustav wird an jedem Tag satt, da die zur Verfügung stehende Fläche a dem. Tag immer größer als die Tagesration ist. ) URiesenpizza 7, 09,9 Die Pizza ist 9% kleiner als angegeen.