Noch einmal zu den Grundlagen: Algebra und Geometrie

Transkript

1 Noch einmal zu den Grundlagen: Algera und Geometrie In diesem Kapitel... Operationen an Brüchen Die elementare Algera aufpolieren Die Geometrie ins Lot ringen I ch weiß, ich weiß. Dies ist ein Areitsuch zur Analysis, was soll also dieser ganze Aufstand von wegen Algera und Geometrie Keine Sorge, ich werde nicht allzu viele kostare Seiten mit Algera und Geometrie vergeuden, aer diese Themen sind ziemlich wichtig für die Analysis. Ohne Algera können Sie keine Analysis etreien Sie können ja schließlich ohne Französischkenntnisse auch keine französischen Gedichte schreien. Und Elementargeometrie (ohne geometrische Beweise!) ist deswegen so entscheidend, weil es ei der Analysis häufig um praktische Proleme mit Winkeln, Steigungen, Formen usw. geht. In diesem Kapitel und in Kapitel, wo es um Funktionen und Trigonometrie gehen wird stelle ich Ihnen deshal ein paar schnelllösare Aufgaen, so dass Sie Ihr Wissen wieder auffrischen können. Falls Sie all dies ereits aus dem Effeff eherrschen, lättern Sie weiter zu Kapitel. Falls Sie ei ein paar Fragen daneen liegen und nicht genau wissen, warum, dann lesen Sie in Ihren alten Lehrüchern nach oder sehen Sie sich den großartigen Üerlick üer die Voraussetzungen der Analysis in Analysis für Dummies an. Es ist wirklich wichtig, diese Grundlagen ständig parat zu haen. Der Frust mit den Brüchen Viele Schüler hassen Brüche. Vielleicht hat ihnen das Konzept nicht gleich zu Beginn eingeleuchtet, und mit jedem weiteren Mathe-Kurs ist der Umgang mit Brüchen dann immer frustrierender für sie geworden. Aer ohne ein Verständnis für Brüche werden Sie die Analysis nicht verstehen. Die Definition der Aleitung selst eispielsweise asiert auf einem Bruch, der als Differenzquotient ezeichnet wird. Und darüer hinaus ist auch das Symol für die Aleitung, dy, ein Bruch. dx Wenn Sie also nicht mehr ganz fit eim Thema Brüche sind, sollten Sie sich schnell an die folgenden Aufgaen machen! 5

2 Üungsuch Analysis für Dummies Beispiel a c. Lösen Sie d. a c 1. Lösen Sie d. Lösung ac 1.. Für die Multiplikation d von Brüchen multiplizieren Sie den Nenner mit dem Nenner und den Zähler mit dem Zähler. Hier wird nicht kreuzmultipliziert! a c a d. = = ad. Um durch einen d c c Bruch zu dividieren, ilden Sie den Kehrruch des Bruchs und multiplizieren damit. Aufgae 1 5 Lösen Sie = 0 Aufgae Lösen Sie =

3 1 Noch einmal zu den Grundlagen: Algera und Geometrie Aufgae a+ Ist a+ c gleich a + Warum oder warum a+ c nicht Aufgae Ist a+ gleich Warum oder warum a+ c c nicht Aufgae 5 Ist a ac nicht a gleich Warum oder warum ac Aufgae 6 Ist a ac gleich c nicht Warum oder warum 7

4 Üungsuch Analysis für Dummies Algeraisches Allgemeinwissen: Was Ihnen ei jeder Miss- Wahl averlangt wird Dieser Aschnitt ietet einen kurzen Üerlick üer Grundlagen der Algera, wie etwa Faktoren, Potenzen und Wurzeln, Logarithmen und Quadrate. An diesen Grundlagen führt kein Weg vorei!. Schreien Sie Beispiel 6 1. Faktorisieren Sie 9x y. /5 x ohne Bruchpotenz. Lösung x y = ( x y ) ( x + y ). Dies ist ein Beispiel für das allerwichtigste Faktorisierungsmuster: a² ² = ( a ) ( a+ ). Merken Sie sich das! 5 5. ² = ( ) x x. Vergessen Sie nicht, wie Bruchpotenzen funktionieren! Aufgae 7 Schreien Sie x ohne negative Potenz. Aufgae 8 Ist ( ac) dassele wie ac Warum oder warum nicht 8

5 1 Noch einmal zu den Grundlagen: Algera und Geometrie Aufgae 9 Ist ( a+ + c) dassele wie a + + c Warum oder warum nicht Aufgae 10 Schreien Sie x unter Verwendung eines einzigen Wurzelzeichens. Aufgae 11 Ist a² + ² dassele wie a + Warum oder warum nicht Aufgae 1 Schreien Sie log a = c als Exponentialgleichung. 9

6 Üungsuch Analysis für Dummies Aufgae 1 Schreien Sie logc a logc als einen einzigen Logarithmus. Aufgae 1 Schreien Sie log5+ log00 als einen einzigen Logarithmus und lösen Sie ihn auf. Aufgae 15 Lösen Sie 5 x² = x+ 8 unter Verwendung der Quadratformel nach x auf. Aufgae 16 Lösen Sie x + > 1. 0

7 1 Noch einmal zu den Grundlagen: Algera und Geometrie Geometrie: Wer soll das je rauchen Mit Hilfe der Analysis können Sie Proleme aus dem täglichen Leen lösen, ei denen es um Oerflächen, Volumen und Formen geht. Beispielsweise können Sie das Volumen einer zylinderförmigen Suppendose so groß wie möglich machen oder die Belastung an einem in paraolischer Form hängenden Kael estimmen. Sie sollten deshal die grundlegenden geometrischen Formeln für Länge, Fläche und Volumen kennen. Außerdem enötigen Sie die wichtigsten Kenntnisse üer Dinge wie etwa den Satz von Pythagoras, proportionale Formen und grundlegende Koordinatengeometrie, wie etwa die Distanzformel. Beispiel 1. Wie groß ist die Fläche des ageildeten Dreiecks x 1. Wie lang ist die Hypotenuse des Dreiecks aus dem vorigen Beispiel FlächeDreieck. x = a² + ² = c² x² = a² + ² Lösung = Grundlinie Höhe 1 = 1 = x² = 1 + x² = 1 + x² = 16 x= 9 1

8 Üungsuch Analysis für Dummies Aufgae 17 Tragen Sie die zwei fehlenden Längen für die Seiten des Dreiecks in der folgenden Aildung ein. Aufgae 18 Wie lang sind die eiden Seiten ohne Längenangae in dem nachfolgend ageildeten Dreieck 10 a 8 0 a 60 Aufgae 19 Bestimmen Sie die Längen der Seiten ohne Längenangae des nachfolgend ageildeten Dreiecks. Aufgae 0 1. Wie groß ist die Gesamtfläche des Fünfecks in der folgenden Aildung. Wie groß ist der Umfang a 5 60

9 1 Noch einmal zu den Grundlagen: Algera und Geometrie Aufgae 1 Berechnen Sie die Fläche des nachfolgend gezeigten Parallelogramms. Aufgae Welche Steigung hat PQ y (c,d) Q 5 10 P (a,) x Aufgae Wie lang ist die Strecke zwischen P und Q in der Aildung zu Frage Aufgae Wie lauten die Koordinaten des Mittelpunkts von PQ in der Aildung zu Frage

10 Üungsuch Analysis für Dummies Lösungen für diesen einfachen Elementarkram 1. Lösen Sie 5 0 =. 5 0 ist nicht definiert. Verwechseln Sie das nicht mit etwas wie 0 8, was gleich 0 ist. Wenn Sie sich diese eiden Brüche in Form einer Steigung ( Höhe Länge ) vorstellen, hat 5 0 eine Höhe von 5 und eine Länge von 0, wodurch Sie eine vertikale Gerade erhalten, die eine unendliche Steilheit oder Steigung aufweist (und deshal een nicht definiert ist). Oder denken Sie einfach daran, dass es unmöglich ist, auf einer vertikalen Straße zu fahren, und eenso unmöglich, eine Steigung für eine vertikale Gerade anzugeen. Der Bruch 0 8 dagegen hat eine Höhe von 0 und eine Länge von 8, womit Sie eine horizontale Gerade haen, die üerhaupt keine Steilheit hat und damit eine ganz gewöhnliche Steigung von Null aufweist. Natürlich ist es auch völlig alltäglich auf einer horizontalen Straße zu fahren. 0. = 10. Ist 0. (Siehe Lösung Aufgae 1.) a+ a+ c dassele wie a+ Nein. Die kann nicht gekürzt werden. a+ c Es ist nicht möglich, in einem Bruch zu kürzen, wenn nicht im gesamten Nenner eine ununterrochene Multiplikationskette vorliegt, eenso wie im Zähler.. Ist a+ a+ c gleich Nein. a kann nicht gekürzt werden. (Siehe oige Warnung.) c 5. Ist a a gleich Ja. Sie können kürzen, weil der ganze Zähler und der ganze Nenner aus Multiplikationsketten ac ac estehen. 6. Ist a ac gleich Ja. Sie können a kürzen. c 7. Schreien Sie x ohne negative Potenz.. x 1 8. Ist ( ac) gleich ac Ja. Exponenten verteilen sich üer die Multiplikation. 9. Ist ( a+ + c) gleich ac Nein! Exponenten verteilen sich nicht üer Addition (oder Sutraktion).

11 1 Noch einmal zu den Grundlagen: Algera und Geometrie Wenn Sie an einer Aufgae areiten und sich nicht mehr an die algeraische Regel erinnern, proieren Sie, die Aufgae mit Zahlen statt mit Varialen zu erechnen. Ersetzen Sie die Varialen durch einfache, gerade Zahlen und erechnen Sie die numerische Aufgae. (Verwenden Sie aer nicht 0, 1 oder, weil diese Zahlen spezielle Eigenschaften aufweisen, die Ihr ganzes Beispiel zunichte machen könnten.) Was für Zahlen funktioniert, funktioniert auch für Varialen, und was für Zahlen nicht funktioniert, funktioniert auch nicht für Varialen. Beachten Sie, was passiert, wenn Sie das oige Beispiel unter Verwendung von Zahlen ausproieren: ( + + 6) = = Schreien Sie 1 x unter Verwendung eines einzigen Wurzelzeichens. x = x. 11. Ist a² + ² gleich a + Nein! Die Erklärung ist im Grunde genommen diesele wie für Aufgae 9. Üerlegen Sie folgendes: Wenn Sie die Wurzel zu einer Potenz machen, 1/ erhalten Sie a² + ² = ( a² + ²). Weil Sie aer die Potenz nicht verteilen können, ist ( a² + ²) 1/ ( a²) 1/ + ( ²) 1/ oder a +, und damit ist a² + ² a+. c 1. Schreien Sie log a = c als Exponentialgleichung. a =. a 1. Schreien Sie logc a logc als einen einzigen Logarithmus. logc. 1. Schreien Sie log 5 + log 00 mit einem einzigen Logarithmus und lösen Sie dann. + = = = log 5 log 00 log (5 00) log1000. Wenn Sie»log«ohne Basiszahl sehen, ist die Basis 10 gemeint. 15. Lösen Sie 5 x² = x+ 8 unter Verwendung der Quadratformel nach x auf. x = 8 5 oder 1. Fangen Sie damit an, 5 x² = x+ 8 umzuformen in 5 x² x 8= 0, weil auf einer Seite der Gleichung eine Null stehen sollte. Die Quadratformel esagt, dass ± ² ac x =. Wenn Sie 5 für a, für und 8 a ( ) ± ( )² (5)( 8) ± ± 1 16 für c einsetzen, erhalten Sie x = = = = oder 10 10, also ist x = 8 oder

12 Üungsuch Analysis für Dummies Lösen Sie x + > 1. x < x >. a. Wandeln Sie die Ungleichung in eine Gleichung um: x + = 1.. Lösen Sie die Betragsgleichung. x + = 1 x + = 1 x = 1 oder x = 16 x = x = 16 c. Stellen Sie eide Lösungen auf einem Zahlenstrahl dar (siehe folgende Aildung). (Für > und < sind hier kleine Kreise dargestellt; wären oder in der Aufgaenstellung vorgekommen, würde die Darstellung ausgefüllte Punkte verwenden.) -16 d. Proieren Sie jeweils eine Zahl aus jedem der drei Bereiche auf dem Zahlenstrahl in der ursprünglichen Ungleichung aus. Hier verwenden wir -10, 0 und 10. ( 10) + > 1 8 > 1 8> 1 Das ist richtig, Sie können also den linken Bereich markieren. (0) + > 1 > 1 Das ist falsch, der mittlere Bereich darf also nicht markiert werden. (10) + > 1 > 1 > 1 Das ist richtig, Sie können also den Bereich auf der rechten Seite markieren. Die folgende Aildung zeigt das Ergenis. x kann eine elieige Zahl aus den Bereichen sein, die in der Aildung markiert sind. Und so lautet Ihre Lösung: -16 6

13 1 Noch einmal zu den Grundlagen: Algera und Geometrie e. Wenn Sie Wert darauf legen, können Sie diese Lösung auch in Symolschreiweise darstellen. Weil x eine Zahl aus dem linken Bereich oder eine Zahl aus dem rechten Bereich sein kann, ist dies eine oder-lösung, d.h. eine Vereinigung ( ). Wenn Sie alles aus eiden Bereichen auf dem Zahlenstrahl eineziehen wollen, drücken Sie dies als die Vereinigung der eiden Bereiche aus. Die Lösung in Symoldarstellung lautet also: 16 x < x > Wäre nur der mittlere Bereich markiert, hätten Sie eine und-lösung oder eine Schnittmenge ( ). Wenn Sie nur den Bereich auf dem Zahlenstrahl wollen, wo sich die eiden Bereiche üerlappen, verwenden Sie die Schnittmenge der eiden Bereiche. Unter Verwendung der oigen Beispielpunkte auf dem Zahlenstrahl würden Sie die Lösung für den mittleren Bereich wie folgt ausdrücken: x > 16 und x < oder 16 x > x < oder 16 < x <. Welche Darstellung man wählt, ist letztlich Geschmacksfrage. Denken Sie in Bezug auf die Betragswerte unedingt daran, dass x² = x ist. x² ist nicht gleich ±x. 17. Tragen Sie die eiden fehlenden Seitenlängen für das Dreieck ein. a = 5 und = 5. Dies ist ein Dreieck. Alles klar 18.Tragen Sie die eiden fehlenden Seitenlängen für das Dreieck ein. a = 16 = 8 oder 8 oder 16 Noch ein Dreieck! 19. Tragen Sie die eiden fehlenden Seitenlängen für das Dreieck ein. a = 6 und = 6. Kennen Sie sich aus mit Dreiecken Wie groß ist die Fläche des Fünfecks

14 Üungsuch Analysis für Dummies Das Quadrat ist 10 mal 10 groß (weil ein hales Quadrat ein Dreieck ist), seine Fläche ist also = = 50. Das gleichseitige Dreieck hat eine Basis von 10 5 oder 5, seine Höhe ist also (weil die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks ein Dreieck ist). Die Fläche des Dreiecks ist also ( 5 ) = = =. Die Gesamtfläche eträgt also Wie groß ist der Umfang Die Lösung lautet 5. oder 5, eenso wie die Seiten des gleichseiti- Die Seiten des Quadrats sind 10 gen Dreiecks. Das Fünfeck hat fünf Seiten, der Umfang eträgt also 55 oder Berechnen Sie die Fläche des Parallelogramms. Die Lösung lautet 0. Die Höhe ist oder, weil die Höhe einer der Schenkel eines Dreiecks ist, dessen Basis 10 ist. Weil die Fläche eines Parallelogramms gleich der Basis multipliziert mit der Höhe ist, ist die Fläche 10 oder 0.. Welche Steigung hat PQ d Höhe. Sie wissen, dass Steigung = ist, also c a Länge y y1 x x. 1. Wie weit ist P von Q entfernt ( ) ( ) c- a + d Merken Sie sich, dass Astand = ( ) + ( ) x x y y ist. a+ c + d. Wie lauten die Koordinaten des Mittelpunkts von PQ,. Der Mittelpunkt eines Segments ist gegeen durch den Mittelwert aus den eiden x-koordinaten und den Mittelwert aus den eiden y-koordinaten. 8