Wichtiges zur Analysis

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1 Wichtiges zur Analysis Definitionsmenge: hier ist zu eachten: das Argument eines Logarithmus muss positiv sein (siehe dazu auch Ungleichungen lösen!) Der Nenner eines Bruchs darf nicht gleich sein. grundlegende Grenzwerte: gerochenrationale Funktionen für ± (vgl. Blatt Asymptoten ei gerochenrationalen Funktionen ): o Zählergrad < Nennergrad: Grenzwert an o Zählergrad = Nennergrad: Grenzwert (Quotient der Leitkoeffizienten) n o Zählergrad > Nennergrad: Funktionsterm mittels Polynomdivision in eine Summe aus einer ganzrationalen Funktion und einer echt gerochenrationalen Funktion umschreien; der Grenzwert der echt gerochenrationalen Funktion ist dann immer lim e = ; lim e = ; entsprechend für e (kurz, aer mathematisch nicht ganz korrekt: e = ; e = ); lim ln = ; limln = ( ln = ; ln = ) da e und ln stetig sind, kann man hier erst mal den Grenzwert des Arguments erechnen und daraus den Grenzwert der ganzen Funktion folgern, z. B.: lim ln =, da lim = und limln = ; oder lim ln = ln, da lim = c = + = ; c = für c > zw. = für c < ; = c c = ; = oder = (i. A. links- und rechtsseitigen Grenzwert unterscheiden!) Regel von de L Hospital: (lim nicht vergessen!!!) steht für und für in der Formelsammlung ist auch für anwendar, indem man das Produkt als Quotient schreit (daei i. A. e... nach unten, ln nach oen): z. B. lim e = lim = lim dh e e = oder ln lim ln = lim = lim = lim( ) =, dh ist oft auch für anwendar, wenn man geeignet ausklammert: z. B. lim( ln ) ln ln = = lim lim lim = ( ) = dh = einige oft vorkommende Grenzwerte, die man so erechnen kann, stehen auch in der Formelsammlung: (jeweils r > ) r o lim =, d. h. die Eponentialfunktion geht für schneller gegen als jede e e positive Potenz; umgedreht folgt auch lim = r

2 ln o lim =, d. h. die Logarithmusfunktion geht für langsamer gegen als jede r o lim( ln ) = r positive Potenz; umgedreht folgt auch lim = ln r ln ; das kann man auch schreien als lim =, d. h. die Logarithmusfunktion geht für langsamer gegen als jede negative r Potenz Asymptoten und stetig eheare Definitionslücken: (siehe auch das entsprechende Blatt) Gilt lim f() = c mit c R, so hat der Graph die waagrechte Asymptote (mit der Gleichung) y = c ± Gilt lim f() = ± ±, so kann man üerprüfen, o man f() als Summe aus einer linearen Funktion und einer Funktion g schreien kann (also f() = m + t + g()), für die lim g() = gilt; wenn ja, ± dann hat der Graph die schräge Asymptote (mit der Gleichung) y = m + t o Beispiel : gerochenrationale Funktionen mit Zählergrad gleich Nennergrad + ; nach Polynomdivision ergit sich eine lineare plus eine echt gerochenrationale Funktion o Beispiel : f() = + e hat schräge Asymptote y =, da e für Gilt lim f() = c (woei eine Definitionslücke ist!) mit einer elieigen reellen Zahl c, dann ist eine stetig eheare Definitionslücke. Dies kann ei gerochenrationalen Funktionen nur dann auftreten, wenn eine Nullstelle von Zähler und Nenner ist; man muss dann versuchen, o man den zugehörigen Faktor ( ) vollständig herauskürzen kann. (vgl. Blatt Definitionslücken ei den gerochenrationalen Funktionen) Gilt lim f() = ± (woei eine Definitionslücke ist!), dann ist eine Polstelle. Dies kann ei gerochenrationalen Funktionen nur dann auftreten, wenn eine Nullstelle des (vollständig gekürzten!) Nenners, aer keine Nullstelle des (vollständig gekürzten!) Zählers ist. Bruchgleichungen: löst man, indem man zunächst mit dem Hauptnenner multipliziert und kürzt Ungleichungen lösen: zunächst die Ungleichung so umstellen, dass rechts steht dann die zugehörige Gleichung lösen; außerdem Definitionslücken des Terms estimmen mit Hilfe dieser Ergenisse eine Vorzeichentaelle aufstellen (eachte: das Vorzeichen kann sowohl ei Nullstellen als auch ei Definitionslücken wechseln!) oder den Graph skizzieren oft kann man auch ohne Vorzeichentaelle direkt Aussagen üer das Vorzeichen von Zähler und Nenner machen (vgl. Blatt Wie üerprüft man den VZW einer Funktion an einer Nullstelle? ) Integration: (siehe auch die Blätter Üung zu den Integrationsregeln und Integrieren von Quotientenfunktionen ) Bei unestimmten Integralen (keine Zahlen am Integralzeichen) ist das Ergenis eine elieige Stammfunktion plus C (!), ei estimmten Integralen (Zahlen am Integralzeichen) und Integralfunktionen (eine Zahl und eine Variale am Integralzeichen) schreit man eine elieige Stammfunktion (plus C nicht nötig) in die eckigen Klammern mit den Grenzen hinten dran und erechnet dann oere Grenze minus unter Grenze. Flächenstücke üer der -Achse mit +, Flächen unter der -Achse mit erechnen (oder einfach den Betrag nehmen); wenn es mehrere Nullstellen git, jedes Flächenstück einzeln mit entsprechendem Vorzeichen erechnen Bei Flächenstücken zwischen Kurven immer üer oere Funktion minus untere Funktion integrieren; daei erst die Differenz ausrechnen und vereinfachen, dann die Stammfunktion ilden! Wenn es mehrere Schnittstellen git, jedes Flächenstück einzeln erechnen und jeweils darauf achten, welcher Graph oen liegt (oder einfach jeweils den Betrag nehmen).

3 allgemeine Regel (Formelsammlung!): Ist F() eine Stammfunktion zu f(), dann ist a F(a+) eine Stammfunktion zu f(a+); Beispiele: o eine Stammfunktion zu cos(a+) ist a sin(a+) o eine Stammfunktion zu e a+ ist o eine Stammfunktion zu zw. a ln a+ (für n = ) e a + a n ( a + ) ist n+ ( + ) a n+ a (für n R\{ }) o eine Stammfunktion zu ln(a+) ist a ( (a+) ln(a+) (a+) ) gerochenrationale Funktionen, ei denen der Nenner nur eine Potenzfunktion ist, teilt man auf in eine Summe von Brüchen und integriert jeden einzeln ei anderen gerochenrationale Funktionen, ei denen der Zählergrad größer oder gleich als der Nennergrad ist, führt man erst mal eine Polynomdivision durch!!! (das wird STÄNDIG falsch gemacht, also passen Sie hier gefälligst auf!!!) f '( ) die Regel d = ln f() + C ist oft hilfreich (evtl. erst geeignete Konstante vor s Integral f ( ) + ziehen!); Beispiel: d = d = ( )' d = ln + + C Zwei Integrationsregeln, die man meist automatisch enutzt: o ( f + g) d = f d + g d Summenregel c f d = c f d für alle c R (konstante Faktoren kann man vor das Integral ziehen) o ( ) zwei Regeln, die im Lehrplan stehen, aer in Prüfungen isher nicht vor kamen: ln a ln a o a d e d = e + C = a + C = ln a ln a ln ln o log a d = d = + C = loga + C ln a ln a ln a Stellt eine Funktion f die Ahängigkeit einer Größe vom Ort oder von der Zeit dar, so git ihre Aleitungsfunktion die lokale zw. momentane Änderungsrate dieser Größe an; entsprechend ergit das Integral üer die Änderungsrate einer Größe die gesamte Änderung dieser Größe (Beispiel: Das Integral zwischen den Zeiten Tag und 4 Tage üer den Gewichtsverlust pro Tag ergit den gesamten Gewichtsverlust zwischen dem. und dem 4. Tag.) Der Mittelwert einer Funktion f in einem Intervall [a;] ergit sich mit der Formel (Herleitung: A = a a a f = f ( ) d f ( ) d ; Rechteckfläche gleicher Größe: A = f ( a) ; alternativ: f = F mittlere Änderungsrate von F (da f = F ), also f = F ( ) F ( a) = a Monotonie:. Aleitung gleich Null setzen (Stellen mit waagrechter Tangente), -Werte erechnen; wenn die. Aleitung ein Bruch ist: auch Nullstellen des Nenners erechnen Graph skizzieren oder Vorzeichentaelle machen, um heraus zu ekommen, wo die. Aleitung positiv zw. negativ ist; daei kann man oft Zeit sparen, wenn man sich erst mal üerlegt, welche ( ) Faktoren des Terms sowieso immer positiv / immer negativ sind (Beispiel: in sind e und für alle D positiv, also muss man nur noch das Vorzeichen von ( ) ermitteln (vgl. Blatt Wie üerprüft man den VZW einer Funktion an einer Nullstelle? ) Ist f () < zw. > in einem Intervall ]a;[, so fällt zw. steigt G f streng monoton in [a;]; die Grenzen werden also eingeschlossen! Ausnahme: Grenzen sind Definitionslücken oder ± ; diese ) e

4 immer ausschließen! Außerdem eachten: Ist f < zw. > auf einer Zahlenmenge, die eine Definitionslücke enthält, so muss man diese Menge aufteilen in die eiden Bereiche links und rechts davon! (Beispiel: für f() = ist f () = < in ganz R\{}; daraus folgt aer nicht, dass G f in ganz R\{} streng monoton fällt, sondern nur, dass G f jeweils in R und R + streng monoton fällt!) Krümmungsverhalten:. Aleitung gleich Null setzen ( Flachstellen ), -Werte erechnen; wenn die. Aleitung ein Bruch ist: auch Nullstellen des Nenners erechnen Graph skizzieren oder Vorzeichentaelle machen, um heraus zu ekommen, wo die. Aleitung positiv zw. negativ ist; daei gilt dassele wie ei der Monotonie Ist f () < zw. > in einem Intervall ]a;[, so ist G f in [a;] rechts- zw. linksgekrümmt; die Grenzen werden also eingeschlossen! Auch hier gilt dassele wie ei der Monotonie. Etremwertproleme: Man kann nicht viele allgemeine Tipps geen, aer sinnvoll ist eigentlich immer: allgemeine Formeln heraussuchen (für die gesuchte Größe, z. B. Flächeninhalt, und für Neenedingungen, z. B. Umfang) möglichst viele Angaen aus der Aufgae in diese Formeln einsetzen (sowohl in die Formel für die gesuchte Größe als auch in die Neenedingungen) aus den Neenedingungen die noch fehlenden Varialen in der Formel für die gesuchte Größe ermitteln dann sollte man eigentlich (evtl. nach einigen Umformungen) die gesuchte Funktion heraus ekommen ein (oder zwei) Aleitungen ilden relative Etremstellen suchen: o erste Aleitung gleich, Variale erechnen o in zweite Aleitung einsetzen (siehe Formelsammlung) zw. VZW der ersten Aleitung (meist einfacher, da oft die. Aleitung sehr mühsam zu erechnen wäre! Den VZW ekommt man z. B. aus der Monotonie (s.o.) oder durch Einsetzen von Werten direkt links oder direkt rechts der Stelle mit waagrechter Tangente.) o Wert der gesuchten Größe dafür erechnen asolute Etremstelle suchen (Randwerte nicht vergessen!!!) Wendestellen: Außer dem VZW der zweiten Aleitung (siehe Formelsammlung) kann man als hinreichendes Kriterium auch f ( ) enutzen; ist aer meistens nicht empfehlenswert, weil die 3. Aleitung nur sehr mühsam zu erechnen wäre. Den VZW der zweiten Aleitung ekommt man z. B. aus der Vielfachheit der Nullstellen der. Aleitung (ungerade: VZW; gerade: kein VZW) oder aus dem Krümmungsverhalten (s.o.) oder durch Einsetzen von Werten direkt links oder direkt rechts der Flachstellen. (vgl. Blatt Wie üerprüft man den VZW einer Funktion an einer Nullstelle? ) Wendestellen von f sind immer Etremstellen von f, also Stellen, an denen die Steigung von f maimal oder minimal ist, also Stellen mit größter/kleinster Steigung (Zunahme) zw. größtem/kleinstem Gefälle (Anahme). Was es genau ist, ekommt man aus dem VZW von f. Newton-Verfahren: Die allgemeine Formel steht in der Formelsammlung; vor deren Anwendung aer nicht vergessen, die Gleichung in die Form f() = umzuschreien! Beispiel: 3 = kann man nicht direkt mit dem Newton-Verfahren lösen; erst umschreien in 3 = und dann das Newton-Verfahren mit f() = 3 anwenden. Steigung(swinkel) / parallel / senkrecht / Tangente / Normale: Zwischen der Steigung m, der Aleitung f ( ) und dem Steigungswinkel α an einer Stelle esteht der Zusammenhang m = f ( ) = tan α.

5 Zwei Geraden sind parallel zueinander, wenn ihre Steigungen gleich sind zwei Funktionsgraphen sind an einer Stelle parallel zueinander, wenn ihre Aleitungen dort gleich sind. Zwei Geraden sind senkrecht zueinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen gleich ist zwei Funktionsgraphen sind an einer Stelle senkrecht zueinander, wenn das Produkt ihrer Aleitungen dort gleich ist. Die Gleichung der Tangente an einer Stelle steht in der Formelsammlung. Da eine Normale senkrecht zur Tangente steht, ist das Produkt aus der Steigung der Tangenten und der Steigung der Normalen gleich ; die Gleichung der Normalen erhält man also, wenn man in der Gleichung der Tangenten f ( ) durch. ersetzt. f '( ) allgemeine Sinusfunktion: f() = a sin( + c) das Folgende gilt für > ; ist <, so muss man zunächst die Symmetrie ausnutzen, z. B.: 3 sin( + ) = 3 sin( ( )) = 3 sin( ) a git die Amplitude an, die Wertemenge ist also [ a ; a ]; ist a <, so ist der Graph an der - Achse gespiegelt; die Periodenlänge ist π c ; die Verschieung in -Richtung ist eine Nullstelle ist deswegen immer c, die unendlich vielen anderen erhält man durch Addition c π von k mal hale (!) Periode, also k = + k mit k Z; dies sind auch die Wendestellen eine Maimalstelle efindet sich immer eine viertel (!) Periodenlänge vor zw. hinter der ersten Nullstelle (je nachdem, o a größer oder kleiner als ist); die unendlich vielen anderen Maimalstellen erhält man durch Addition von k mal ganzer (!) Periodenlänge, der Wert der Maima ist jeweils a ; entsprechend ist der Wert der Minima jeweils a Vorsicht: wenn die Funktion die Form f() = a sin( + c) + d mit d hat, gilt folgendes: die Wendestellen und Maimal- und Minimalstellen ändern sich nicht (aer deren y-werte!), die Nullstellen ändern sich aer (nicht mehr identisch mit Wendestellen!); alle Punkte werden um d nach oen verschoen Goniometrische Gleichungen: (siehe auch das entsprechende Blatt) Eine Gleichung der Form sin() = c oder cos() = c oder tan() = c hat i. A. unendlich viele Lösungen; eine Lösung findet man mit Hilfe des Taschenrechners, die anderen mittels der Symmetrie ( = π ei sin; = ei cos) und der Periodizität (zu einer Lösung gehören immer unendlich viele andere im Astand k π mit k Z). Gleichungen der Form a sin( + c) = d (und entsprechend für cos oder tan) löst man z. B., indem man zunächst durch a teilt, dann u = + c sustitutiert, die u-werte wie oen erechnet und am Schluss die Rücksustitution nicht vergisst. Gleichungen, in denen nur sin und cos (mit demselen Argument!) auftreten, löst man, indem man sin sin auf die linke, cos auf die rechte Seite ringt, dann durch cos teilt und tan = ausnutzt. cos Gleichungen, in denen neen sin und cos noch konstante Summanden auftreten (z. B. sin = 3 cos ), löst man, indem man zunächst sin (oder cos) mit Hilfe des trigonometrischen Pythagoras sin + cos = durch cos (oder sin) ausdrückt (Wurzel!), dann die Wurzel isoliert und die Gleichung quadriert (am Schluss Proe!); weiter wie folgt: Gleichungen, in denen sin, sin und ein konstanter Summand auftritt (z. B. sin + sin + = ) löst man, indem man u = sin sustitutiert, die Gleichung für u löst und am Schluss die Rücksustitution nicht vergisst; eenso ei cos. Gleichungen, in denen sin und cos (oder cos und sin) auftritt, löst man, indem man mit Hilfe des trigonometrischen Pythagoras sin durch cos ausdrückt (oder umgedreht); dann weiter wie een; manchmal kann auch das Additionstheorem cos sin = cos() hilfreich sein.

6 In Gleichungen, in den cos und sin mit verschiedenen Argumenten auftreten (z. B. sin() = cos()), oder in denen ein Produkt von sin und cos steht, sollte man versuchen, die Additionstheoreme sin() = sin cos oder cos sin = cos() zu verwenden. Stetigkeit und Differenzierarkeit: Nach Definition ist eine Funktion stetig an einer Stelle, wenn lim f() = f( ) gilt. Zu üerprüfen ist aer eigentlich immer die Stetigkeit an Nahtstellen von aschnittsweise definierten Funktionen. Da die Funktion aer links und rechts der Nahtstelle unterschiedliche Funktionsterme hat, raucht man dort zwei Grenzwerte een den links- und den rechtsseitigen. Diese eiden muss man also erechnen, dazu den Funktionswert; nur wenn alle drei Werte gleich sind, ist die Funktion stetig ei. Nach Definition ist eine Funktion differenzierar an einer Stelle, wenn dort der Grenzwert des Differenzenquotienten eistiert. Dies ist aer meist recht kompliziert zu üerprüfen. Alternativ macht man statt dessen normalerweise folgendes: o Erst mal prüfen, o die Funktion dort stetig ist (s.o.); wenn nicht, dann ist sie dort auch nicht differenzierar. o Dann die Aleitung der (aschnittsweise definierten) Funktion erechnen. Daei aer Vorsicht: o es an der Stelle selst eine Aleitung git oder nicht, weiß man noch nicht das will man ja erst heraus finden! Deswegen schreit man ei der Aleitung der aschnittsweise definierten Funktion nicht mehr zw., sondern nur noch < zw. >! o Von der Aleitung erechnet man dann wiederum den links- und den rechtsseitigen Grenzwert (den Funktionswert kann man hier nicht erechnen, weil s ja hier gerade darum geht, o es diesen Wert üerhaupt git!). Sind eide Werte gleich (und ist die Funktion außerdem stetig ei, s. o.), so ist sie differenzierar ei. (Anmerkung: wenn diese eiden Grenzwerte nicht eistieren, kann die Funktion trotzdem an dieser Stelle differenzierar sein (siehe Beispiel in Wikipedia!) das sollte an der Schule aer eigentlich nie vorkommen...)