8. Vorlesung Spieltheorie in der Nachrichtentechnik

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1 8. Vorlesung Spieltheorie in der Nachrichtentechnik Vorlesung: Eduard Jorswieck Übung: Rami Mochaourab Sommersemester 2010

2 Kooperative Spieltheorie Kooperative Spiele haben die Möglichkeit verbindlicher Abmachungen, d.h. Kommunikation und exogene Durchsetzung. Bisher wurden individualistisch-kooperative Spiele betrachtet Teilmengen von Spielern konnten keine Koalitionen bilden und daher genügte es 2-Personen Spiele zu betrachten. Jetzt: Mitglieder jeder echten Teilmenge von Spielern (nicht leer) können verbindliche Abmachungen treffen. daher werden nun N-Personen Spiele untersucht. 1

3 Man unterscheidet für ein Spiel Γ Koalitionsspiele Einerkoalitionen {i} für alle i N, die große Koalition N, die Nullkoalition und die Koalition aus einer echten Teilmenge von N. Man unterscheidet weiter in Spiele mit und ohne transferierbaren Nutzen. Innerhalb einer Koalition kann der Nutzen durch Seitenzahlungen unter den Spielern aufgeteilt werden. Im allgemeinen sind Spiele mit transferierbaren Nutzen einfacher zu handhaben als solche ohne. Daher konzentrieren wir uns im folgenden auf kooperative Spiele mit transferierbaren Nutzen. 2

4 Koalitionsspiele mit transferierbaren Nutzen Definition 1. Ein Koalitionsspiel mit transfer. Nutzen besteht aus einer endlichen Menge N (die Menge der Spieler) einer Funktion v die jeder nicht leeren Teilmenge S (Koalition) von N eine reelle Zahl v(s) (Wert) zuordnet. Aber der Wert der Koalition hängt ab von den Aktionen der anderen Spielern, die nicht in der Koalition sind. Der Wert v(s) kann dem Maximinwert der Koalition entsprechen. Aumann schlug 1967 vor, zwischen Auszahlungen, die sich die Koalition sichern kann (α-char. Fkt.) und Auszahlungen, die die Gegenseite nicht verhindern kann (β-char. Fkt.), zu unterscheiden. 3

5 u 2 A B B A u 2 A u 1 B A u 1 4

6 Definition 2. v(s) wird charakteristische Funktion des Spiels genannt und beschreibt dessen Koalitionsform, wenn folgende Bedingungen erfüllt werden: v( ) = 0 und für alle Teilmengen S,T von N mit S T = (superadditiv) v(s T) v(s)+v(t). Ein Spezialfall der Superadditivität ist ein zusammenhängendes Spiel: Definition 3. Ein Koalitionsspiel {N, v} mit transferierbaren Nutzen ist zusammenhängend, wenn für jede Partition {S 1,...,S K } von N gilt v(n) K v(s k ). k=1 5

7 Definition 4. Ein Koalitionsspiel {N, v} ist unwesentlich, wenn v({i}) = v(n) und wesentlich, wenn v(n) > v({i}). Definition 5. Ein Koalitionsspiel {N, v} ist konvex, wenn eine der beiden Bedingungen gilt: v(s T)+v(S T) v(s)+v(t) für alle Koalitionen S und T von N oder v(s {i}) v(s) v(t {i}) v(t) für alle i N und alle S,T N {i}, falls S T. Ein konvexes Spiel drückt ein intuitives Konzept von steigenden Erträgen aufgrund von Kooperation aus. 6

8 Ein Auszahlungsvektor u, der individuell rational und Pareto optimal ist heißt Imputation (oder Zurechnung). Die Menge der Imputationen für ein Spiel (N,v) bezeichnen wir mit I(N,v). In einem Spiel Γ = (N,v) dominiert ein Auszahlungsvektor u den Vektor u bezüglich der Koalition K, wenn u i u i für alle i K und für mindestens ein i K die Ungleichung u i > u i gilt und u i v(k) erfüllt ist. Der Vektor u dominiert u, wenn es mindestens eine Koalition gibt, so daß u den Vektor u bezüglich K dominiert. 7

9 Der Kern Die Idee des Kerns ist analog zu der Idee des Nash Gleichgewichts bei nicht-kooperativen Spielen. Definition 6. Der Kern eines Koalitionsspiels mit transferierbaren Nutzen(N,v)istdieMengedererreichbarenNutzenufürdiekeineKoalition S und in S erreichbarer Nutzenvektor y existiert mit y i > x i für alle i N. Alternativ: Der elementare Kern eines Spiels Γ ist definiert als C(Γ) = {u v(k) u i 0 über alle i K und alle K von N}. Der Kern ist eine Menge von Auszahlungsvektoren, die durch ein System von Ungleichungen beschrieben werden. Daher ist der Kern abgeschlossen und kompakt. 8

10 Beispiele zum Kern Beispiel 1: Betrachte das Koalitionsspiel ({1,2,3},v) mit v(n) = 1, v(s) = α wenn S = 2 und v({i}) = 0 für alle i N. Wann ist der Kern nicht leer? Beispiel 2: Eine Expedition mit n Personen hat einen Schatz in den Bergen entdeckt. Jeweils zwei können ein Schatzteil wegtragen. Ein Koalitionspiel für diese Situation ist (N, v) mit { S /2 falls S gerade v(s) =. ( S 1)/2 sonst Wann ist der Kern leer? 9

11 Proposition 1. [Bondareva-Shapley] Ein Koalitionsspiel mit transferierbaren Nutzen hat einen nicht leeren Kern genau dann wenn es ausbalanciert ist. Ein Spiel (N, v) heißt ausbalanciert, wenn λ S v(s) v(n) S C für jede balancierte Sammlung von Gewichten λ und Menge aller Koalitionen C. Eine Sammlung λ mit λ i [0,1] ist balanciert, wenn für jeden Spieler i die Summe der λ S über alle Koalitionen die i enthalten zu Eins summiert: λ S 1 S = 1 N. S C 10

12 Verhandlungsmenge Ein Paar (y,s) mit Koalition S und Nutzenvektor y ist ein Einspruch von i gegen j auf x wenn S enthält i aber nicht j und y k > x k für alle k S. Ein Paar (z,t) mit Koalition T und Nutzenvektor z ist ein Gegeneinspruch gegen den Einspruch (y,s) von i gegen j wenn T enthält j aber nicht i und z k x k für alle k T \S und z k y k für alle k T S. Definition 7. Die Verhandlungsmenge eines Koalitionsspiels mit transferierbaren Nutzen ist die Menge aller Imputationen x mit der Eigenschaft dass für jeden Einspruch (y, S) von irgendeinem Spieler i gegen irgendeinen j auf x ein Gegeneinspruch (y,s) von j existiert. 11

13 Verhandlungsmenge - Beispiel Beispiel 3: Betrachte ({1,2,3,4},v) mit v(s) = 1 genau dann wenn S eine der Koalitionen {2,3,4} oder {1,i} mit i {2,3,4} enthält. Was ist die Verhandlungsmenge? Was ist der Kern? Bemerke: Wenn x in der Verhandlungsmenge liegen soll muss x 2 = x 3 = x 4 = α konstant sein. Es genügt also das Interval von α zu berechnen für das die Eigenschaften der Verhandlungsmenge erfüllt sind. 12

14 Der Kernel Definition 8. Eine Auszahlungskonfigurationen (AK) ist eine Kombination (u, T T) eines Auszahlungsvektors u und einer Koalitionsstruktur TT, so daß u i = u(t j ) für alle i T j und alle T j TT. Definition 9. Für transferierbare Nutzen ist der Überschuß einer Koalition K bezüglich eines Auszahlungsvektors u definiert als e(k,u) = v(k) i Ku i. Das Einwandspotential s ij (u) ist das Maximum über e(k,u) für alle K : i K,j K. 13

15 Definition 10. Der Kernel eines Spiels Γ ist die Menge K aller individuell-rationalen AK (u,tt), für die es keine Koalition T k TT so daß s ij (u) > s ji (u), u i > v({i}) und u j > v({j}). Der Kernel ist die Menge der individuell-rationalen AKs (u,tt), so daß entweder s ij (u) = s ji (u), oder s ij (u) > s ji (u) und u j = v({j}), oder s ij (u) < s ji (u) und u i = v({i}) für alle i,j T k und alle Koaltionen T k TT. 14

16 Beispiele für Kernel Beispiel 4: Gegeben sei ein 3-Personen Abstimmungsspiel, in dem mit einfacher Mehrheit entschieden wird. Jeder Spieler hat eine Stimme und die AK ist (x,{{1,2},{3}}). Für welchen Auszahlungsvektor ist (x,{{1, 2},{3}}) im Kernel K? Wie groß sind die Einwandpotentiale für die Spieler? Wieviele Elemente hat der Kernel dieses Spiels? Beispiel 3ff: Betrachte ({1,2,3,4},v) mit v(s) = 1 genau dann wenn S eine der Koalitionen {2,3,4} oder {1,i} mit i {2,3,4} enthält. Was ist der Kernel? Lemma 1. Der Kernel eines Koalitionsspiels mit TU ist immer eine Teilmenge der Verhandlungsmenge. 15

17 Der Nucleolus Der Nucleolus (NC) ist eine Menge von Auszahlungsvektoren, die die Überschüsse der Koalitionen eines Spiels minimieren. Die Minimierung der Überschüsse bei der Bestimmung von NC erfolgt lexikographisch. Dabei wird von einer Ordnung der Überschüsse θ(u) = [θ 1 (u),...,θ n (u)] ausgegangen, wobei θ k = e(k k,u) mit θ k θ k+1. Definition 11. Der Nucleolus N C(P), bezogen auf den Auszahlungsraum P ist die Menge aller Vektoren x P für die x L y gilt, falls y P. Daraus folgt NC(P) P. 16

18 Nucleolus - Beispiele Beispiel 5: Betrachte ein 3-Personen Abstimmungsspiel mit Nutzensumme 10 bei dem mit einfacher Mehrheit entschieden wird. Dem Auszahlungsvektor u = [6, 3, 1] entspricht die folgende Ordnung der Überschüsse: e(k, u) Koalitionen Beispiel 6: Gegeben ist ein 3-Personen Abstimmungsspiel mit Nutzensumme 6. Lassen wir alle Imputationen zu, was ist der Nucleolus? NC(P) =. 17

19 Nächste Vorlesung 28. Juni 2010 Lösungskonzepte für Koalitionsspiele basierend auf Werten (Shapley- Wert) Beispiel für ein Koalitionsspiel in der Nachrichtentechnik 18