Implementation Sozialer Auswahlregeln Sommersemester Vorlesung,

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1 Implementation Sozialer Auswahlregeln Sommersemester Vorlesung, PD Dr. Jörg Naeve Universität des Saarlandes Lehrstuhl für Nationalökonomie insbes. Wirtschaftstheorie (Mittwoch bis Freitag) 1 / 28

2 : Definition Sei I die Menge der Individuen und ϕ eine soziale Auswahlkorrespondenz ϕ : E X, E = ( 1, 2,..., n) ϕ(e) = A X, wobei wir die Ökonomie E mit dem Präferenzprofil der Individuen identifizieren. Dann ist ϕ Maskin monoton genau dann, wenn für alle x X und alle Paare von Ökonomien E,E E gilt ( x ϕ(e) und = x ϕ ( E ). [ L ( x, i) L ( x, i) ] ) y X, i I Das heißt, eine gemäß ϕ in der Ökonomie E akzeptable Alternative, für die in der Ökonomie E für alle Individuen die Nicht-Besser-Mengen größer geworden ist, muss auch in E von ϕ als akzeptabel ausgewiesen werden. 2 / 28

3 : positive Beispiele Es gibt eine Reihe von sozialen Auswahlregeln, die Maskin monoton sind. Es ist allerdings nicht in jedem Falle leicht, dies nachzuweisen. Maskin monoton sind etwa die folgenden sozialen Auswahlkorrespondenzen. Die individuell rationalen. Die Pareto optimalen in einer Edgeworthbox mit strikt monoton steigenden Präferenzen. Die Walras Gleichgewichte im Innern. Die Lindahl Gleichgewichte im Innern. 3 / 28

4 : individuell rationale Eine Alternative x ist individuell rational, wenn sie für alle Individuen mindestens so gut ist wie ein Status Quo, x X. In einer Tauschökonomie ist dieser Status Quo beispielsweise die Anfangsausstattung ω. Ein Möglichkeit, die Bedingung dafür, dass x X individuell rational ist, formal auszudrücken ist die folgende. x L ( x, i) i I. Daraus wird deutlich, dass diese soziale Auswahlkorrespondenz Maskin monoton ist, was auch intuitiv einleuchtet: Wenn eine Alternative für alle mindestens so gut ist wei der Status quo, bleibt dies so, so lange die Alternative nicht für ein Individuum in seiner Präferenzordnung abrutscht. 4 / 28

5 : (schwache) Pareto Optima Für Korrespondenz, die alle Pareto optimalen auswählt, gilt es zu unterscheiden, welche Definition der Pareto Optimalität ir verwenden. Definition: Eine Alternative a heisst Pareto effizient (Pareto optimal) genau dann, wenn es keine Pareto bessere Alternative gibt. Eine Alternative a heisst schwach Pareto effizient genau dann, wenn es keine strikt Pareto bessere Alternative gibt. 5 / 28

6 : (schwache) Pareto Optima (Forts.) Definition: Alternative a ist strikt Pareto besser als Alternative b genau dann, wenn alle Individuen a gegenüber b vorziehen. a strikt b i : a i b Alternative a ist (schwach) Pareto besser als Alternative b genau dann, wenn alle Individuen a mindestens so gut finden wie b und für mindestens ein Individuum a besser ist als b. a b [ i : a i b und i : b i a ]. 6 / 28

7 : (schwache) Pareto Optima (Forts.) Die schwache Pareto Korrespondenz ist Maskin monoton. Eine Alternative x liegt in dieser Korrespondenz, wenn es keine Altenative gibt, die alle strikt besser finden. Anders ausgedrückt, für jede Alternative y X gibt es mindestens ein Individuum i I für das gilt y L ( x, i). Dies bleibt offenbar so für jedes Präferenzprofil, das den Bedingungen in der Definiton der Maskin monontonie genügt. 7 / 28

8 : (schwache) Pareto Optima (Forts.) Die Pareto Korrespondenz ist nicht Maskin monoton. Eine Alternative x liegt in dieser Korrespondenz, wenn es keine Alternative y gibt, die kein Indiviuum schlechter und die ein Individuum strikt besser findet. Betrachten wir drei X = {x,y,z} und zwei Individuen. Beim Präferenzprofil y 1 x 1 z und z 2 x 2 y ist Alternative x Pareto optimal. 8 / 28

9 : (schwache) Pareto Optima (Forts.) Das Präferenzprofil y 1 x 1 z und z 2 x 2 y genügt den Bedingungen aus der Definition der : L ( x, i) = L ( x, i), für i = 1,2. Die Alternative x ist aber für das neue Präferenzprofil nicht mehr Pareto Optimal, da sie nun durch die Alternative y (schwach) Pareto dominiert wird. 9 / 28

10 : (schwache) Pareto Optima (Forts.) Da in einer Edgeworthbox im Allgemeinen die Pareto Optima eine echte Teilmenge der schwachen Pareto Optima bilden, ist die im Allgemeinen zwar die schwache Pareto Korrespondenz nicht aber die Pareto Korrespondenz Maskin monoton. Für strikt monotone Präferenzen fallen beide Korrespondenzen allerdings zusammen, so dass dann auch die Pareto Korrespondenz Maskin monoton ist. Der Grund ist, dass für strikt monotone Präferenzen aus jeder Alternative y, die x (schwach) Pareto dominiert eine Alternative y konstruiert werden kann, die x strikt Pareto dominiert. Dies geschieht, indem einem Individuum, für das y echt besser ist als x, in der Allokation y von jedem Gut etwas weggenommen wird, so dass es die enstehende Allokation y immer noch strikt gegenüber x vorzieht. Diese Güter werden dann gleichmäßig auf alle anderen verteilt, so dass nun alle y strikt vorziehen. 10 / 28

11 : Die Mehrheitswahl Intuitiv würde man die Mehrheitswahl eventuell für Maskin monoton halten. Erhält eine Alternative x mindestens so viele Stimmen wie alle anderen und wird daher gewählt, so erhält sie ja zumindest nicht weniger Stimmen, so lange sie für niemanden im Präferenzprofil abrutscht. Dies trifft zwar zu, allerdings können andere mehr Stimmen erhalten. 11 / 28

12 : Die Mehrheitswahl (Forts.) Betrachte 7 Individuen und drei X = {x,y,z}. Im Präferenzprofil besitzen drei Präferenzen vom Typ A und je zwei Präferenzen vom Typ B bzw. C. x A y A z, y B z B x, und z C y C x. Gewählt wird x mit drei Stimmen (y und z erhalten je zwei Stimmen). Im Präferenzprofil haben immer noch drei Individuen Präferenzen vom Typ A, aber nun haben vier Präferenzen vom Typ B. Zwar ist x für niemanden schlechter geworden, aber nun gewinnt Alternative y mit vier Stimmen gegen die drei für Alternative x. 12 / 28

13 : Die Mehrheitswahl (Forts.) Die Mehrheitswahl ist (für strikte Präferenzen) ein Spezialfall der sogenannten Scoring rules. Zur Definition einer Scoring rule nehmen wir an, dass die Menge der endlich ist und n Elemente hat. Wir schreiben also X = {x 1,x 2,...,x n }. Eine Scoring rule ist festgelegt durch einen Vektor von Gewichten w = (w 1,w 2,...,w n ), für den gilt w 1 w 2... w n und w 1 > w n. Jeder Wähler gibt seiner besten Alternative w 1 Punkte, der zweitbesten w 2 usw. Gewählt werden diejenigen, die die höchtse Summe von Punkten erhalten. Die Mehrheitswahl ist festgelegt durch den Gewichtsvektor w = (1,0,...,0). 13 / 28

14 : Andere Scoring rules Auch andere Scoring rules sind nicht Maskin monoton. Dazu gehört der Borda count mit dem Gewichtsvektor w = (n 1,n 2,...,1,0), für den das selbe Gegenbeispiel funktioniert, wie für die Mehrheitswahl. Ebenfalls nicht Maskin monoton ist die Anti-Mehrheitswahl mit dem Gewichtsvektor w = (1,1,...,1,0). Betrachte die Präferenzen x A y A z, x B z B y, und y C z C x. Haben je zwei Individuen Präferenzen vom Typ A bzw. B und eines Präferenzen vom Typ C, wird x mit vier Stimmen (gegen je drei für y und z gewählt. Haben vier Individuen Präferenzen vom Typ A und eines Präferenzen vom Typ C, ist x zwar für niemanden schlechter geworden, gewählt wird jetzt aber y mit fünf Stimmen. 14 / 28

15 : Definition Eine soziale Auswahlkorrespondenz ϕ : E X erfüllt die Bedingung kein Vetorecht (no veto power) genau dann, wenn für alle x X und alle Ökonomien E = ( 1,..., n) E gilt [ i I : L ( x, j) ] = X, j I \ {i} = x ϕ (E). Wenn also eine Alternative x für alle Individuen bis auf i die beste Alternative in X darstellt, kann i nicht verhindern, dass diese Alternative x von der sozialen Auswhlkorresponenz ausgewählt wird, d.h., niemand besitzt ein Vetorecht. 15 / 28

16 : Mehrheitswahl Die Mehrheitswahl gibt niemandem ein Vetorecht, wenn alle Präferenzen strikt sind. Ist eine Alternative x für alle Individuen bis auf eines die beste, erhält sie alle Stimmen bis auf eine. Für drei oder mehr Individuen bedeutet das, dass sie jedenfalls gewählt wird, da das verbleibende Individuum nur eine Stimme zu vergeben hat. Lassen wir Indifferenzen zu und nehmen an, dass jeweils die besten eine Stimme erhalten, stimmt dies nicht mehr. Sind x und y für alle Individuen außer i die beiden besten, kann i mit seiner Stimme zwischen x und y entscheiden. 16 / 28

17 : Borda count Der Borda count hingegen efüllt die Bedingung No veto power nicht. Sei X = {a,b,c,d} und I = {1,2,3}. Betrachte das Präferenzprofil a i b i c i d, für i = 1,2 und b 3 c 3 d 3 a. Dann sind die kumulierten scores wie folgt: a : 6, b : 7, c : 4 und d : 1. Somit wird b gewählt, obwohl a für alle Individuen außer 3 die beste Alternative darstellt. 17 / 28

18 : Borda count Auch die Anti-Mehrheitswahl efüllt die Bedingung No veto power nicht. Sei X = {a,b,c,d} und I = {1,2,3}. Betrachte das Präferenzprofil a i b i c i d, für i = 1,2 und b 3 c 3 d 3 a. Dann sind die kumulierten scores wie folgt: a : 2,;b : 3, c : 3 und d : 1. Somit werden b und c gewählt, obwohl a für alle Individuen außer 3 die beste Alternative darstellt. 18 / 28

19 : schwache Pareto Optima Die schwache Pareto Korrespondenz erfüllt die Bedingung No veto power. Sei x X für alle Individuen bis auf eines unter den besten. Dann gibt es für diese Individuen keine Alternative, die sie gegenüber x besser stellen kann. Demnach ist unabhängig von den Präferenzen des letzten individuums keine strikte Pareto Verbesserung möglich. Damit ist die schwache Pareto Korrespondenz Maskin monoton und gibt niemandem ein Vetorecht, so dass die schwache Pareto Korrespondenz voll implementierbar im Nash Gleichgewicht ist. 19 / 28

20 : Pareto Optima Die Pareto Korrespondenz erfüllt die Bedingung No veto power nicht. Seien x und y für alle Individuen bis auf Individuum j I unter den besten. Dann müssten sowohl x als auch y gewählt werden. Hat j I Präferenzen für die gilt x j y, stellt x eine schwache Paeto Verbesserung gegenüer y dar, d. h., y ist nicht Pareto optimal. Damit ist die Pareto Korrespondenz weder Maskin monoton noch erfüllt sie die Bedingung, niemandem ein Vetorecht zu geben. 20 / 28

21 Mechanismus und 21 / 28

22 Mechanismus Der Mechanismus ist der generelle Mechanismus aus dem Beweis des Satzes, wonach und No veto power hinreichende Bedingungen für die volle Nash Implementierbarkeit einer sozialen Auswahlfunktion sind. An verschiedenen Aspekten dieses Mechanismus lässt sich Kritik üben, die jeweils zu unterschiedlichen Ansätzen führt. Wir werden dies abschließend relativ knapp diskutieren, ohne in die explizit näher zu betrachten. 22 / 28

23 Mechanismus: Integer Game Besonders negativ gesehen wird das Integer Game, das den dritten Fall in der Definition der Ergebnisfunktin des Mechanismus bildet. Dessen Sinn ist, unliebsame Nash Gleichgewichte auszuräumen. Es ist allerdings fraglich, ob ein derartiger Mechanismus in der Realität akzeptabel wäre. Grundsätzlich führt dies zu der Frage, wie man gute und schlechte Mechanismen unterscheiden kann, die generell schwer zu beantworten ist. 23 / 28

24 Mechanismus: große Strategieräume Im Mechanismus melden alle Individuen unter anderem eine komplette Beschreibung der Ökonomie. Das heißt im allgemeinen, dass die Signalräume des Mechanismus recht komplex sind. Im konkreten Fall wre es hilfreich, kleinere Signalräume zu konstruieren, die die Kosten der Informationsübermittlung (die wir nicht explizit modelliert haben) senken könnten. Saijo (1988) zeigt, dass es ausreicht, wenn jedes Individum neben seinen Charakteristika noch die zweier anderer meldet (so dass insgesamt für jedes Individuum drei Meldungen vorliegen). (Grundsätzlich führt dies zu der Frage, wie man gute und schlechte Je mehr Individuen es gibt, dest stärker reduziert dies die Größe der Signalräume. 24 / 28

25 Mechanismus: Informationsannahmen Die Idee von Saijo (1988) zeigt, dass ein Mechanismus a la Maskin Repullo auch dann noch funktionieren kann, wenn wir nicht mehr vollkommene Information annehmen. Sein Mechanismus funktioniert, so lange jeder die Charakteristike der zwei anderen kennt, die er melden soll. Im allgemeinen muss die Art der Implementation und damit auch der Mechanismus an die Informationsannahmen angepasst werden. 25 / 28

26 Mechanismus: Verhaltensannahmen Hinter der Nash-Implementation steckt eine Verhaltensannahme, nämlich die, dass die Individuen in dem durch den Mechanismus induzierten Spiel Nash Glechgewichte spielen. Man kann für jede alternative Verhaltensannahme die Implementierbarkeit ebenso definieren und untersuchen, welche sozialen Auswahlfunktionen dann implemetierbar sind. 26 / 28

27 Mehrfache Implementierbarkeit Wenn unterschiedliche Annahmen bezüglich der Informationen der Individuen und ihres Verhaltens möglich sind, stellt sich die Frage, wlche davon der Planer treffen soll. Es wäre denkbar, dass der Planer nicht nur die Präferenzen der Individuen nicht kennt, sndern auch nicht weiß, wie ihre Informationen sind oder nach welchen regeln sie sich verhalten. Daher betrachtet man Mechanismen, die eine gegebene soziale Auswahlfunktion für unterschiedliche Informations- und Verhaltensannahmen implementieren. Derartige Mechanismen kann dann auch ein Planer einsetzen, der nicht weiß, dass vollkommene Information und Nash Verhalten die angemessenen Annahme darstellen. 27 / 28

28 Volle Implementation und eingeschränkter Definitionsbereich In unserer Diskussion der Definition sinnvoller sozialer Auswahlfunktionen hatten wir gesehen, dass eine Einschränkung des Definitionsbereichs oft hilfreich sein kann. Wenn wir volle Implementation im Nash Gleichgewicht (oder einem anderen Gleichgewicht) betrachten, hat eine Einschränkung des Definitionsbereichs aber zwei gegenläufige Effekte. Zum einen macht sie es leichter, die gewünschten als Ergebnis im Geichgewicht zu bekommen. Zum anderen können neue unliebsame Gleichgewichte auftreten, die zu nicht akzeptablen Ergebnissen führen. 28 / 28