Mikroökonomik B 7. Kooperative Spiele

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1 Mikroökonomik B 7. Kooperative Spiele Paul Schweinzer 14. Juli 2009, Vorabversion. 1 / 32

2 Literaturangaben Osborne, M.J. & Rubinstein, A. (1994) A Course in Game Theory, MITP, Kapitel 13, 14, & 15. Das frei zugängliche Skriptum von Thomas Ferguson: tom/game Theory/coal.pdf. 2 / 32

3 Themen So die Zeit ausreicht, werden wir folgende Themen behandeln a Der Kern b Shapley Wert c Verhandlungssituation d Nash-Verhandlungslösung e Monotone Verhandlungslösung. Ein Spiel heißt kooperativ, wenn die Spieler durch abgestimmtes Vorgehen, dh durch die gemeinsame Wahl einer Strategie (in einer sog Koalition), einen Zusatzgewinn gegenüber jenen Situationen erzielen können in denen jeder nur für sich spielt. Wir stellen uns die Fragen (a) welche Koalitionen stabil sind und unter (b e) wie ein allfälliger Zusatzgewinn aufzuteilen wäre. 3 / 32

4 Der Kern Der Kern ist ein Lösungskonzept der kooperativen Spieltheorie. Er basiert auf der Idee, dass keine Teilmenge an Spielern eine für sie vorteilhafte Koalition bilden kann in der jedes Koalitionsmitglied besser gestellt wäre als dies ohne die Koalition der Fall ist. Wir beginnen mit einigen Definitionen. 4 / 32

5 SKF-TU Def: Ein Spiel in Koalitionsform mit transferierbarem Nutzen (SKF-TU) (N,v) besteht aus 1. einer endlichen Spielermenge N = {1,2,...,n}, 2. einer charakteristischen Funktion v die jeder nichtleeren Koalition S N einen Wert v(s) zuordnet v : S N R. 5 / 32

6 Beispiel SKF-TU Betrachten sie folgendes SKF-TU mit drei Spielern N = {1,2,3} interpretiert als P1: Verkäufer P2: potentieller Käufer P3: potentieller Käufer. P1 verkauft ein einzelnes Gut dessen Herstellung ihr e4 kostet. Die Käufer sind am Kauf höchstens eines Gutes interessiert und wertschätzen dieses mit P2: e9, P3: e11. 6 / 32

7 Beispiel SKF-TU: Charakterisitsche Funktion Wir definieren nun die charakteristische Funktion v wie folgt v({1,2}) =e9 -e4 =e5, v({1,3}) =e11 -e4 =e7, v({2,3}) =e0, v({1}) = v({2}) = v({3}) =e0, v({1,2,3}) =e7. 7 / 32

8 Marginale Beiträge Def: Der marginale Beitrag von Spieler i N ist MC i = v(n) v(n {i}). Wir schreiben den marginale Beitrag von Koalition S N als v(n) v(n S). In unserem Beispiel sind die marginalen Beiträge gegeben durch MC 1 = v({1,2,3}) v({2,3}) =e7 -e0 =e7, MC 2 = v({1,2,3}) v({1,3}) =e7 -e7 =e0, MC 3 = v({1,2,3}) v({1,2}) =e7 -e5 =e2. 8 / 32

9 Weitere Definitionen Def: Gegeben das SKF-TU (N,v), ordnet die Allokation (x 1,x 2,...,x n ) jedem Spieler eine reelle Zahl zu. Def: Im SKF-TU (N,v) heißt die Allokation (x 1,x 2,...,x n ) individuell rational, wenn x i v({i}) für alle i N. Def: Im SKF-TU (N,v) heißt die Allokation (x 1,x 2,...,x n ) n effizient, wenn x i = v(n). i Def: Eine individuell rationale und effiziente Allokation (x 1,x 2,...,x n ) des SKF-TU (N,v) erfüllt das marginale Beitragsprinzip, wenn x i MC i für alle i N. 9 / 32

10 Beispiel SKF-TU In unserem Beispiel ist der insgesamt erzeugte Wert gleich e7. Die marginalen Beiträge waren MC 1 = v({1,2,3}) v({2,3}) =e7 -e0 =e7, MC 2 = v({1,2,3}) v({1,3}) =e7 -e7 =e0, MC 3 = v({1,2,3}) v({1,2}) =e7 -e5 =e2. Das marginale Beitragsprinzip sagt uns nun, daß P2 keinen Wertanteil bekommen soll, da ihr marginaler Beitrag zu Koalition v({1,2,3}) gleich Null ist, P3 trägte2 bei und kann deshalb nicht mehr alse2 erhalten, P1 kann sich damit ein Minimum vone7 -e2 =e5 sichern, wir wissen allerdings nichts darüber, wie die e2 zwischen P1 und P3 aufgeteilt werden sollen. (Dies ist Verhandlungssache.) 10 / 32

11 Der Kern Basierend auf der Allokation (x 1,x 2,...,x n ), definieren wir nun für jede Teilmenge S N die Schreibweise x(s) = i S x i. Def: Eine Allokation (x 1,x 2,...,x n ) liegt im Kern des SKF-TU (N,v) wenn sie effizient ist und für jede Teilmenge S N gilt, daß x(s) v(s). Beachten sie: Kernallokationen sind also individuell rational, und Kernallokationen erfüllen das marginale Beitragsprinzip. 11 / 32

12 Der Kern Satz: Eine effiziente Allokation (x 1,x 2,...,x n ) liegt im Kern des SKF-TU (N,v) wenn und nur wenn für jede Teilmenge S N gilt, daß x(s) MC S. 12 / 32

13 Der Kernbeweis 1. Die Allokation (x 1,x 2,...,x n ) sei effizient und im Kern. Dann folgt x(n) = v(n) aus der Effizienz. Wir betrachten nun N S und benutzen die Kernbedingung x(n S) v(n S). Da x(n) = x(n S)+x(S), können wir die Terme zu x(s) v(n) v(n S) = MC S umformen. 2. Im umgekehrten Fall nehmen wir an, daß die Allokation (x 1,x 2,...,x n ) effizient ist und für jede Teilmenge S aus N gilt, daß x(s) MC S. Dann folgt wiederum x(n) = v(n) aus der Effizienz. Wir betrachten nun N S und benutzen die Bedingung x(n S) MC N S = v(n) v(s). Da x(n) = x(n S)+x(S) gilt, können wir diese zu x(s) v(s) umformen. 13 / 32

14 Der Kern einer kompetitiven Ökonomie Satz: (Aumann 1964, Kern-Äquivalenzsatz) Die Menge der Kernallokationen in einer (passend definierten) Edgeworth-Ökonomie ist identisch zur Menge der Walras schen Gleichgewichtsallokationen. 14 / 32

15 Shapley Wert Shapley (1953) definiert sein Lösungskonzept axiomatisch: A1 Pareto-Effizienz: Der Wert der großen Koalition wird an die Spieler verteilt. A2 Symmetrie: Spieler mit gleichen marginalen Beiträgen erhalten das gleiche. A3 Null-Spieler: Ein Spieler mit marginalem Beitrag null zu jeder Koalition erhält null. A4 Additivität: Wenn das Spiel in zwei unabhängige Spiele zerlegt werden kann, mit den charakteristischen Funktionen v 1 und v 2, dann soll die Auszahlung jedes Spielers im zusammengesetzten Spiel v 1 +v 2 der Summe der Auszahlungen in den aufgeteilten Spielen entsprechen. 15 / 32

16 Shapley Wert Satz: (Shapley 1953) Spieler i s Shapley Wert q i im SKF-TU (N,v) ist gegeben durch q i (N,v) = S N ( S 1)! (n S )! n! (v(s) v(s {i})). Der Shapley Wert q i ist die einzige Auszahlungsfunktion, welche die Axiome A1 A4 erfüllt. 16 / 32

17 Interpretation des Shapley Wertes q i (N,v) = S N ( S 1)! (n S )! n! } {{ } A (v(s) v(s {i})). }{{} B 1. (n S )!( S 1)! gibt die Anzahl der möglichen Permutationen, in denen Spieler i zu einer in beliebiger Reihenfolge entstandenen Koalition von Spielern aus S hinzukommt. 2. n! gibt die Anzahl aller möglichen Permutationen. Also entspricht A dem Anteil an Permutationen, in denen Spieler i nach den anderen Spielern aus S und vor den Spielern aus N S auftritt. 3. B gibt den marginalen Beitrag an, der durch i s Beitritt zu Koalition S entsteht. 17 / 32

18 Shapley Wert vs Kern Der Shapley Wert liegt nicht notwendigerweise im Kern. Dh. obwohl der Shapley Wert aus Fairness-Gründen normativ attraktiv sein mag, bietet er unter umständen keine stabile Handlungsanleitung! 18 / 32

19 Beispiel: Abstimmungsspiel A, B, C und D bekommen je 45, 25, 15 und 15 Stimmen. Mindestens 51 Stimmen werden benötigt um eine e100m Zahlung zu erlangen. Wie würden die e100m durch den Shapley Wert aufgeteilt werden? B, C und D sind symmetrisch: sie geben den gleichen marginalen Beitrag zu jeder Koalition sie tragen 100M zu {A}, {C,D}, {B,D} und {B,C} bei, während sie nichts zu allen anderen Koalitionen beitragen. Einsetzen in die Formel für q i (N,v) ergibt die Auszahlungen { 50, 50 3, 50 3, 50 } / 32