Propädeutikum Wahrscheinlichkeitsrechnung

Transkript

1 Winter 010/011 Propädeutikum Wahrscheinlichkeitsrechnung Ferdinand Zahn Johannes Jaspersen Vijay Aseervatham Arthur Seibold Maximilian Engel

2 Ansprechpartner Andreas Richter Sprechstunde: siehe Homepage Ferdinand Zahn Sprechstunde: Do 16:00-18:00 Johannes Jaspersen Sprechstunde: Di 10:00-1:00 Vijay Aseervatham Sprechstunde: Mo 10:00-1:00 Maximilian Engel Sprechstunde: nach Vereinbarung Arthur Seibold Sprechstunde: nach Vereinbarung Richter: Grundlagen der BWL, Winter 010/11

3 Übungstermine zur Vorlesung Übung Termin Raum Übungsleiter 1 Mo Uhr HGB A 10 Vijay Aseervatham Mo Uhr HGB B 106 Maximilian Engel 3 Di Uhr HGB A 10 Johannes Jaspersen 4 Di 1-14 Uhr Schellingstr. 3 Raum 007 Vijay Aseervatham 5 Di 18-0 Uhr Schellingstr. 3 Raum 007 Maximilian Engel 6 Mi Uhr HGB A 10 Arthur Seibold 7 Do Uhr Luisenstr. 37 Raum 131 Johannes Jaspersen 8 Do 1-14 Uhr HGB A 15 Ferdinand Zahn 9 Do 18-0 Uhr HGB A 10 Ferdinand Zahn 10 Fr 10-1 Uhr HGB A 15 Arthur Seibold Richter: Grundlagen der BWL, Winter 010/11 3

4 Organisatorisches Vorlesungsunterlagen finden Sie bis auf weiteres auf der Veranstaltungsseite unserer Hompage. Dort ist auch eine Mailing-Liste eingerichtet: Das Passwort der Unterlagen wird in Vorlesung und erster Übung bekannt gegeben. Klausur: voraussichtlich Dienstag, um 8:30 9:30 Uhr. Richter: Grundlagen der BWL, Winter 010/11 4

5 Literatur Neus, Werner (009): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre, 6. Auflage, Tübingen Lehrbuch, auf dem im Wesentlichen die Inhalte der Vorlesung basieren Richter: Grundlagen der BWL, Winter 010/11 5

6 Inhalte der Vorlesung Termin Inhalt Kapitel im Neus KW Organisatorisches / 1. Gegenstand und Methoden der BWL Kap. 1 KW KW KW KW Grundlagen der Entscheidungstheorie Kap. und Kap. 10 KW KW Kooperationsvorteile und Austausch über Märkte Kap. 3 KW KW Warum Unternehmungen? Kap. 4 KW KW KW Unternehmensverfassung und Shareholder Value Kap. 5 KW Grundbegriffe der Spieltheorie Kap. 11 KW tba Richter: Grundlagen der BWL, Winter 010/11 6

7 Inhalte des Propädeutikums I. Einführendes Beispiel: Monopoly II. III. IV. Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsverteilung Lagemaße V. Aufgaben # 7

8 I. Einführendes Beispiel: Monopoly Bei seinem Lieblingsspiel Monopoly ist Lukas gerade wieder auf GO gelandet und hat dabei $00 in seiner Tasche. Er wirft einen 6-seitigen Würfel um voranzukommen. Er hat vor zu kaufen unabhängig davon worauf er auch landen wird. Bevor er würfelt, stellt sich Lukas zwei Fragen: Wie viel Geld werde ich nach der Runde noch haben? Und kann ich mir dabei sicher sein? # 8

9 II. Zufallsvariable Sowohl das Würfelergebnis als auch Lukas Geldbetrag am Ende der Runde sind Zufallsvariablen. Sie werden analog zu gewöhnlichen Variablen mit Buchstaben, z.b. X, bezeichnet. Die unterschiedlichen Ausprägungen j = 1 n, die eine Zufallsvariable annehmen kann, heißen Ergebnisse x j. Der Eintritt der Ergebnisse ist mit Unsicherheit p(x j ) behaftet. Wirft Lukas beispielsweise eine, dann zahlt er $100 für das Elektrizitätswerk und ihm verbleiben $00 - $100 = $100. # 9

10 II. Zufallsvariable Wir gehen von einem fairen Würfel aus, d.h. jede Seite fällt gleichwahrscheinlich. Da der Würfel sechs Seiten hat, wird sich in einem sechstel aller Fälle eine als Ergebnis einstellen. Dieses sechstel, 0,1667 oder 16,67% bezeichnet die Wahrscheinlichkeit p(x ) des Ergebnisses x : Würfel ergibt eine zwei. Eine Wahrscheinlichkeit erklärt, dass in einer endlosen Reihe von Wiederholungen eines Vorgangs das Ereignis in p% der Fälle eintreten wird. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses x j wird als p(x j ) geschrieben. # 10

11 Wahrscheinlichkeiten folgen einigen Regeln: Eine Wahrscheinlichkeit ist eine positive Zahl, die zwischen null und eins liegt. Es muss immer ein Ereignis eintreten, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass überhaupt ein Ereignis eintritt (das sogenannte sichere Ereignis) ist gleich eins. Zwei Ereignisse sind überschneidungsfrei, wenn sie nicht beide gleichzeitig eintreten können. Sind Ereignisse überschneidungsfrei, ist die Wahrscheinlichkeit, dass eines von beiden eintritt, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse. Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen nicht die Wahrscheinlichkeit des Eintreten des anderen beeinflusst. Sind zwei Ereignisse stochastisch unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten, gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse. Richter: Grundlagen der BWL, Winter 010/11 # 11

12 II. Zufallsvariable Das Ergebnis des Würfels bestimmt das Ergebnis des Endvermögens. Aus unterschiedlichen Würfen kann aber das gleiche Endvermögen resultieren. Um einem bestimmten Endvermögen eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen, sind die Wahrscheinlichkeiten der dieses Endvermögen erzeugenden Würfelergebnisse zu addieren. # 1

13 II. Zufallsvariable $00 - $100 = $100 $00 - $00 = $0 $00 - $100 = $100 $00 - $60 = $140 $00 - $100 = $100 $00 - $60 = $140 # 13

14 III. Wahrscheinlichkeitsverteilung Die korrekte Darstellung eines derartigen Zufallsvorgangs erfordert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung oder Dichtefunktion. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet jedem möglichen Ergebnis eine Wahrscheinlichkeit zu. Bei unserem Monopolybeispiel handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, da die Menge an Ergebnissen abzählbar ist. Die Dichtefunktion lässt sich sowohl in mathematischer Notation als auch in graphischer Form darstellen. p(y) 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0 $0 $100 $140 y # 14

15 III. Wahrscheinlichkeitsverteilung Um das Prinzip der Wahrscheinlichkeitsverteilung zu verstehen, wird der Begriff der Funktion eingeführt. Strikt mathematisch gesprochen ist eine Funktion eine Abbildung einer Menge in eine andere Menge. Das heißt, einer Zahl eines gewissen Formates wird eine Zahl eines anderen Formates zugeordnet. Dabei kann es passieren, dass sich die Art der Zuordnung ab einem gewissen Wert ändert. Dies wird durch unterschiedliche Definitionsbereiche dargestellt. Eine derartige Funktion wird als abschnittsweise definiert bezeichnet. Als Beispiel kann man sich einen Telefonvertrag vorstellen, der zunächst 0 Cent pro Minute kostet und sobald die Kosten 0 erreichen, diese nicht überschreitet. Kosten in Euro Minuten # 15

16 III. Wahrscheinlichkeitsverteilung Im Fall von Lukas Monopoly Problem wird jedem möglichen Endvermögenswert eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird. Die Funktion ist diskret, da es nur drei mögliche Geldwerte gibt. Die drei möglichen Endvermögenswerte bilden den Definitionsbereich. p(y j ) für y für y für y 3 1 $0 $100 $140 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0 p(y) $0 $100 $140 y # 16

17 IV. Lagemaße Nun können wir Lukas erste Frage beantworten: Wie viel Geld wird er nach der Runde noch haben? Dabei verwenden wir das statistische Konzept des Erwartungswerts. Dieser wird häufig als µ bezeichnet und hat den mathematischen Operator E(x). Der Erwartungswert ist die Summe der mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichteten Ergebnisse. In mathematischer Notation: E(x) μ x Zum Verständnis dieser Formel folgt eine Einführung des Summenzeichens. n j1 x j p x j # 17

18 IV. Lagemaße n j1 a j # 18

19 IV. Lagemaße Zwei Beispiele verdeutlichen die Verwendung des Summenzeichens. Hat man eine indizierte Variable, so bedarf es einer Wertezuordnung zur Berechnung der Summe. 3 Variable Wert a j a 1 j1 a 5 a 3 8 Es ist zu beachten, dass j nicht nur als Index verwendet werden kann, sondern auch direkt in der Summe. 5 j1 j # 19

20 IV. Lagemaße Der Erwartungswert ergibt das durchschnittliche Ergebnis aus einer großen Anzahl Wiederholungen eines Experimentes. Strikt mathematisch gesprochen entspricht er dem Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Für Lukas ergibt sich folgender Wert: p(y j ) für y für y für y 3 1 $0 $100 $140 n y p E y j1 j y j Lukas sollte also mit $ am Ende seines Zuges rechnen. # 0

21 IV. Lagemaße Doch wie lässt sich ein solcher Wert interpretieren? Es ist offensichtlich, dass dieser spezielle Wert unerreichbar ist. Der Wert dient jedoch als Anhaltspunkt für das zu erwartende Ergebnis. Lukas zweite Frage ist also klar mit nein zu beantworten. Er kann sich dieses Wertes nicht sicher sein. Um eine Aussage über die Unsicherheit des Endvermögens treffen zu können, ist die Streuung der Verteilung zu untersuchen. Hierzu benutzen wir die statistischen Konzepte der Varianz und der Standardabweichung. # 1

22 IV. Lagemaße Die Varianz, auch σ² genannt, ist der Erwartungswert der quadrierten Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert. Es ist ein Streumaß, welches mit der Streuung der Verteilung zunimmt. Der quadratische Term wird verwendet, um zum einen das gegenseitige Aufheben von negativen und positiven Abweichungen zu verhindern und zum anderen stärkeren Abweichungen vom Mittel mehr Gewicht zu geben. σ x p(y j ) 6 6 Vary n n x j μx px j xj px j μx j1 für für für y y y 3 1 $0 j1 $100 $140 #

23 IV. Lagemaße Betrachtet man die Einheit der Varianz, so fällt auf, dass diese nicht mit der Einheit des Erwartungswertes übereinstimmt. Das Konzept der Standardabweichung, auch σ genannt, löst dieses Problem. Die Standardabweichung entspricht der positiven Wurzel der Varianz. σ n x : Varx Px jx j Ex In Lukas Beispiel: σy j1 # 3

24 IV. Lagemaße Erwartungswerte und Varianzen folgen den anschließenden Rechenregeln: Rechenregeln für Erwartungswerte E(a x) a E(x) E(b x) b E(x) E(x y) E(x) E(y) Rechenregeln für Varianzen Var(x) E(x Var(a x) Var(x) Var(b x) b ) [E(x)] Var(x) Verschiebungssatz # 4

25 V. Aufgaben Aufgabe 1 (aus: Toutenburg, Fieger, Kastner, 1998): Die Preise für eine Portion Kaffee werden in München in 8 und in Basel in 7 Cafés festgestellt: Preise in München in Euro,10 1,95 1,75 1,65 1,70,30 1,80,00 Preise in Basel in SFR 3,95 4,00 3,5 3,70 3,10 3,85 3,45 Errechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Kaffeepreise in den beiden Städten (hierfür kann man annehmen, dass die Preise in der Tabelle sozusagen gleich wahrscheinlich sind). Was fällt Ihnen auf? Aufgabe : Eine faire Münze wird drei Mal geworfen. Es wird jeweils notiert, ob Bild (B) oder Zahl (Z) oben lag. Die Zufallsvariable S zählt, wie häufig Z oben lag. Wie ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von S? Berechnen Sie zusätzlich Erwartungswert und Varianz von S! # 5