Lösungsskizze Aufgabe 8. Gesucht sind alle Konsumpläne, die es gestatten, das gesamte Einkommen in t = 0 und t = 1 auszugeben: = 16,67; 10

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Maria Busch
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1 Lösungsskizze Aufgabe 3 Gesucht sind alle Konsumpläne, die es gestatten, das gesamte Einkommen in t = 0 und t = 1 auszugeben: [ c 0 = 10 h 0, h 0 20 ] = 16,67; 10 1,2 c 1 = ,2 h 0. Stellt man die erste Gleichung nach h 0 um und setzt das Resultat in die zweite Gleichung ein, resultiert als Menge effizienter Konsumpläne: c 1 = ,2 (10 c 0 ) = 32 1,2 c 0, c 0 [0; 26,67]. Lösungsskizze Aufgabe 8 Der Preis eines Zerobonds mit Laufzeit T und Nominale N unter Verwendung stetiger Kassazinssätze lautet P = e T ϱ 0,T Für die stetigen Kassazinsen gilt damit N und somit ϱ 0,T = 1 T ln ( P N ( ) 97 ϱ 0,1 = ln = 3,046% ϱ 0,2 = 1 ( ) 93, 7 2 ln = 3,254% ϱ 0,2 = 1 3 ln ( 90 ) = 3,512% Für die stetigen Terminzinssätze gilt die Bestimmungsgleichung und somit 0ϱ s,t = s ϱ 0,s t ϱ 0,t s t ). 0ϱ 1,2 = 3,46% 0ϱ 1,3 = 3,547% 0ϱ 2,3 = 4,028%. 1

2 Lösungsskizze Aufgabe 11 Schritt 1: Wir betrachten zunächst ausschließlich die Vermögensaufteilung X γ = γ X 1 + (1 γ) X 2, γ [0, 1] (1) der beiden riskanten Anlagen und stellen sie im (σ, µ)-diagramm dar. Der Erwartungswert des Portfolios X γ lautet E(X γ ) = γ E(X 1 ) + (1 γ) E(X 2 ). (2) Die Standardabweichung des Portfolios X γ ist durch std(x γ ) = V ar(x γ ) = a = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) 2 b = V ar(x 1 ) c = V ar(x 2 ). γ 2 a + 2 γ b + c, (3) V ar(x 1 ) V ar(x 2 ) corr(x 1, X 2 ), V ar(x 2 ) corr(x 1, X 2 ) V ar(x 2 ), gegeben (siehe auch Folie 213 des Skripts). Um die Portfolio-Varianz und den Portfolio- Erwartungswert in einen funktionalen Zusammenhang zu bringen, stellen wir (2) nach γ um γ = E(X γ) E(X 2 ) (4) und setzen das Resultat in (3) ein: std(x γ ) = ( E(Xγ ) E(X 2 ) ) 2 a + 2 E(X γ) E(X 2 ) b + c. (5) Die riskanten Anlagealternativen liegen damit auf einer nach rechts geöffneten Hyperbel im (σ, µ)-diagramm (siehe Folie 214 des Skripts für eine graphische Darstellung des Sachverhaltes). Schritt 2: Wir betrachten nun die Vermögensaufteilung X β = β X 1 + (1 β) X 0, β [0, 1] (6) 2

3 zwischen einer riskanten und einer risikofreien Anlage und wollen sie wieder im (σ, µ)- Diagramm darstellen. Der Erwartungswert des Portfolios X β lautet E(X β ) = β E(X 1 ) + (1 β) X 0, (7) die Standardabweichung von X β beträgt std(x β ) = β std(x 1 ). (8) Wir stellen (8) nach β um, setzen das Resultat in (7) ein und erhalten E(X β ) = E(X 1) E(X 0 ) std(x 1 ) std(x β ) + X 0. (9) Die Anlagealternativen riskant versus risikofrei liegen auf einer Geraden im (σ, µ)-diagramm. Schritt 3: Wir führen jetzt die Schritte 1 und 2 zusammen. Aus Schritt 1 ist bekannt, dass jede Mischung der beiden riskanten Alternativen auf einer nach rechts geöffneten Hyperbel liegt. Mischen wir nun die risikofreie Anlage mit einem beliebigen riskanten Teilportfolio, so liegt die Gesamtmischung auf einer Geraden, die durch die risikofreie Anlage und das riskante Teilportfolio auf der Hyperbel verläuft (Schritt 2). Je steiler diese Gerade verläuft, desto attraktiver sind die jeweiligen Mischungen aus risikofreier Anlage und dem jeweiligen riskanten Teilportfolio, da sie bei gleicher Standardabweichung einen größeren Erwartungswert aufweisen. Die attraktivste Mischung ist diejenige, die den unter allen Mischungen den größten Anstieg aufweist. Dort berührt die Gerade (9) die Hyperbel (5) in nur noch einem Punkt, weshalb das riskante Teilportfolio auch als Tangentialportfolio bezeichnet wird. Formal finden wir das Tangentialportfolio, indem wir den Anstieg maximieren: γ T = arg max γ [0,1] γ E(X 1 ) + (1 γ) E(X 2 ) X 0. (10) γ2 a + 2 γ b + c Wir differenzieren nach γ und erhalten als Bedingung erster Ordnung (die Betrachtung des Zählers (Produktregel) ist hinreichend) () γ 2 a + 2 γ b + c ((γ E(X 1 ) + (1 γ) E(X 2 )) X 0 ) γ a + b γ2 a + 2 γ b + c! = 0, (11) 3

4 die wie folgt nach dem Tangentialportfolio γ aufgelöst werden kann: γ T = (E(X 2) X 0 ) b () c () b (E(X 2 ) X 0 ) a. (12) Alle Investoren, die nach (µ, σ)-effizienten Anlagealternativen suchen, stellen ihr Portfolio durch Kombination von risikofreier Anlage und dem Tangentialportfolio (12) zusammen. Die individuelle Risikoeinstellung kommt ausschließlich in den Anteilen, die ein Investor in die risikofreie Anlage und das Tangentialportfolio investiert, zum Ausdruck (Tobin-Separation). Das Beispiel: In unserem Beispiel erhalten wir a = 0, 73, b = 0, 56 und c = 0, 64. Als Tangentialportfolio haben wir damit γ T = (0, 12 0, 06) ( 0, 56) (0, 07 0, 12) 0, 64 (0, 07 0, 12) ( 0, 56) (0, 12 0, 06) 0, 73 = 0, 1012, (13) d.h. alle rationalen Investoren stellen ihr riskantes Teilportfolio zu 10, 12% aus der riskanten Anlage 1 und zu 89, 88% aus der riskanten Anlage 2 zusammen. Der Erwartungswert des Tangentialportfolios beträgt E(X γt ) = 0, 1149, die Standardabweichung std(x γt ) = 0, 7308 (wird gleich noch benötigt). Die individuelle Portfoliozusammenstellung: Das optimale Portfolio eines Investors befindet sich dort, wo der Anstieg seiner (individuellen) Indifferenzkurve dem Anstieg des effizienten Randes entspricht (Grenzrate der Transformation = Grenzrate der Substitution). Wir ermitteln den Anstieg der vom hybriden Modell Φ(W ) = E(W ) λ 2 V ar(w ) (14) (W bezeichnet hier zunächst abstrakt das Vermögen des Investors, es ist gleich noch weiter zu konkretisieren (siehe (19))) induzierten Indifferenzkurven durch Bildung des totalen Differentials und erhalten Φ E + Φ std dstd = 1 λ std(w ) dstd! = 0 (15) dstd = λ std(w ). (16) 4

5 Der Anstieg des effizienten Randes lautet ausweislich (9) dstd = E(X γ T ) E(X 0 ), (17) std(x γt ) wobei γ T weiter das Tangentialportfolio aus (12) bezeichnet. Im Beispiel beträgt der Anstieg des effizienten Randes dstd = 0, , 06 0, 7308 = 0, (18) Dieser Wert wird mit dem Anstieg der Indifferenzkurve gleichgesetzt. Konkret erhalten wir für die Vermögensaufteilung zwischen der risikofreien Anlage und dem Tangentialportfolio λ std(w ) = 1 β std(x γt )! = 0, β = 0, , 7308 = 0, (19) Der Investor investiert somit 10, 28 Geldeinheiten riskant die er wiederum zu 10, 12% in die riskante Anlage 1 und zu 89, 88% in die riskante Anlage 2 investiert und 89, 72 Geldeinheiten risikofrei. 5

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