Lösungen Aufgabenblatt 7 zur Spieltheorie SS 2017

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1 Lösungen Aufgabenblatt 7 zur Spieltheorie SS 07 Aufgabe 7. Wir betrachten as folgene Spiel zwischen hungrigen Löwen i =,, : Es gibt ein Schaf, as von genau einem Löwen gefressen weren kann. Wenn ein Löwe as Schaf frisst, wir er müe un kann von einem aneren Löwen gefressen weren. Doch ann wir auch ieser Löwe müe un kann vom nächsten Löwen gefressen weren. Einzig ein Löwe, er zuvor noch kein aneres Tier gefressen hat, ist sicher avor, selbst gefressen zu weren. Jeer er Löwen hat ie folgene Nutzenfunktion: Bleibt ein Löwe hungrig, so erhält er 0. Wir er von einem aneren Löwen gefressen, erhält er. Frisst er ein aneres Tier Schaf oer Löwe) un wir nicht selbst gefressen, so erhält er. Das Spiel läuft folgenermaßen ab: Zuerst wir ein Löwe nach em aneren gefragt, ob er as Schaf fressen will. Falls alle ablehnen, enet as Spiel. Anernfalls frisst er erste Löwe, er ja geantwortet hat, as Schaf un wir müe. Danach weren wieerum alle Löwen nacheinaner gefragt, ob sie en müen Löwen fressen wollen. So geht as Spiel weiter bis entweer auf einer Stufe es alle Löwen ablehnen, en müen Löwen zu fressen, oer bis ein einziger Löwe übrig bleibt. Lösen Sie ieses Spiel unter vollkommener Information urch Rückwärtsinuktion. Lösung: Das Spiel bis zum Fressen es Schafes kann urch folgenen Spielbaum abgebilet weren. Dabei beeutet fsi f riss Schaff), ass Löwe i as Schaf frisst, währen nsi beeutet, ass er lieber hungrig bleibt nicht as S chaf frisst). Innerhalb er Kreise finen Teilspiele TSPi statt, wobei i ie Nummer es Löwen angibt, er in TSPi als erstes am Zug ist. L ns fs ns L fs TSP ns fs TSP TSP 0,0,0) Das Teilspiel TSP, as entsteht wenn Löwe as Schaf frisst un Löwe vor er Frage steht, ob er en müen Löwen fressen soll fl ) oer nicht nl ), hat folgenen Spielbaum: L nl fl nl fl nl fl,0,0) L n f -,,0) -,-,) -,0,) -,,-)

2 Auf er letzten Stufe ieses Teilspiels ist Löwe am Zug un er wir en Löwen, er zuvor Löwe verspeist hat, lieber verspeisen als hungrig zu bleiben: L nl fl nl,0,0) fl -,,-) nl -,,0) fl -,-,) Im rechten unteren Teilspiel gilt ie gleiche Logik wie zuvor: Löwe, er ort am Zug ist, wir Löwe, er zuvor Löwe verspeist hat, verspeisen statt hungrig zu bleiben. Im linken Teilspiel riskiert er, wenn er Löwe verspeist, selbst von Löwe verspeist zu weren un wir eswegen lieber hungrig bleiben: L,0,0) nl fl -,-,) Am Anfangsknoten es Teilspiels stellt Löwe fest: Wenn er Löwe zusammen mit em Schaf) verspeist, wir er später von Löwe gefressen weren. Macht er s nicht, bleibt er hungrig, was besser für ihn ist. Das Teilspiel reuziert sich auf Payoff,0,0) am Anfangsknoten. Keiner er beien Löwen oer, ie am Anfangsknoten noch nichts gefressen haben, sollte sich satt fressen, a er sonst selbst gefressen wir. Die gleiche Logik gilt auch für ie Teispiele TSP un TSP: Die Teilspiele reuzieren sich arauf, ass ie beien Löwen, ie am Anfangsknoten noch nichts gefressen haben, besser hungrig bleiben, weil sie sonst selbst gefressen weren. Nach er Rückwärtsinuktion in en Teilspielen reuziert sich as gesamte Spiel auf en links gezeichneten Spielbaum: L L L ns 0,0,0) ns L fs ns 0,0,) fs 0,,0) fs L,0,0) ns 0,0,) ns fs 0,,0) fs,0,0) ns 0,,0) Die Rückwärtsinuktion im linken Spielbaum liefert sukzessive ie Spielbäume rechts: Löwe sollte as Schaf fressen, wenn es noch leben würe, ann Löwe un ann Löwe. Ergebnis ist somit, ass Löwe as Schaf frisst un ann im TSP) von keinem er aneren beien Löwen gefressen wir. Dies ist er GG-Pfa, ie Strategien im teilspielperfekten Nash-GG sin komplizierter anzugeben). fs,0,0)

3 Aufgabe 7. Zwei Spieler haben Zugriff auf eine i.w.) nicht-erneuerbare Ressource z.b. saubere Luft oer Grunwasser oer Eröl ), ie aktuell im Umfang von A verfügbar ist. Wenn SPi x i Einheiten er Ressource verbraucht, hat er einen irekten Nutzen von lnx i ). Beie Spieler haben arüber hinaus noch einen Nutzen aus em Rest A x x, en sie nachfolgenen Generationen lassen. SP gewichtet iesen Nutzen mit em Nachhaltigkeitsfaktor, währen SP einen hohen Wert auf Nachhaltigkeit legt un mit gewichtet: u x, x ) = lnx ) + lna x x ) u x, x ) = lnx ) + lna x x ) a) Die Spieler wählen simultan u. unabhängig voneinaner. Bestimmen Sie as Nash-GG. Lösung: Partielle Ableitungen er Nutzen er SP nach ihrem Strategieparameter u x = x = x u x u A x x u A x x ) x x = x = x Be..Orn. hinreichen, a. part. Ableitungen negativ): u! x u! x A x x A x x ) = 0 x = A x x x = A x x ) = A x x = 0 x = A x x x = A x x ) = A x x Die Be..Orn. führen auf folgenes lineare Gleichungssystem: ) ) ) x + x = A x + x = A x = A x Determinante er Matrix rechts ist: = 9 = 7 Lösung es LGS also: ) x = A ) ) = A ) 6 = A ) 4 x Nash-GG es Simultan-Spiels also: = ) 4 /7A /7 A x a) = 4 7 A, x a) = 7 A Wie viel er Ressource verbrauchen beie Spieler zusammen im Nash-GG? X a) = x a) + x a) = 4+ 7 A = 5 7 A b) Spieler beobachtet zunächst, wie viel SP von er Ressource verbraucht un wählt ann seinen Verbrauch x. Bestimmen Sie urch Rückwärtsinuktion as teilspielperfekte Nash-GG. Lösung: Rückwärtsinuktion beeutet hier, ass SP seine beste Antwort R x ) auf jees von SP gewählte x gibt, un ass SP ies weiß un aher u x, R x )) über x maximiert. Aus er Be..Orn. u x = x A x x = 0 ermittelt sich ie Reaktionsfunktion von SP zu: x = A x x ) x = A x ) x = A x ) =: R x )

4 Damit Be..Orn: x u x, R x ) ) = lnx ) + ln A x R x ) ) x u x, R x ) ) = x u x, R x ) ) = x = lnx ) + ln A x A x ) ) = lnx ) + ln A x ) ) = lnx ) + lna x ) + ln ) A x A x ) < 0 x u x, R x ) ) = 0 x = A x ) x = A x = A =: x Jetzt noch: Ermittlung von x = R x ) mit x = A un R x ) = A x ): x = R x ) = A x ) = A A) = A = A 9 x b) = A, x b) = 9 A Wie viel er Ressource verbrauchen beie Spieler zusammen im teilspielperfekten Nash- GG? X b) = x b) + x b) = 6+ 9 A = 7 9 A c) Wie lautet as Ergebnis in b), wenn man ie Rollen von Spieler un vertauscht? Aus er Be..Orn. u x = x A x x = 0 ermittelt sich ie Reaktionsfunktion von SP zu: x = A x x ) x = A x ) x = A x ) =: R x ) Damit Be..Orn: ) u R x ), x = lnx ) + ln A R x ) x ) ) = lnx ) + ln A A x ) ) x = lnx ) + ln A x ) ) = lnx ) + lna x ) + ln ) ) x u R x ), x = x x u R x ), x ) = x A x A x ) < 0 x u R x ), x ) = 0 x = A x ) x = A x = A =: x Jetzt noch: Ermittlung von x = R x ) mit x = A un R x ) = A x x): x = R x ) = A x ) = A A) = A = 4 A 9 Zusammengefasst: x c) = 4 9 A, x c) = A 4

5 Anmerkung: Hier ist SP er first mover. Da A > 7 A = x a), nimmt auch hier er first mover mehr als bei simultaner Wahl. Wie viel er Ressource verbrauchen beie Spieler zusammen im teilspielperfekten Nash- GG? X c) = x c) + x c) = 4+ A = 7 A 9 9 Unabhängig avon, ob SP oer SP er first mover ist: Der gesamte Verbrauch X ist 7 9 A; beim Tausch er Rollen von SP un SP teilt er sich nur aners auf. Auch: Der gesamte Verbrauch X c) = X b) im sequentiellen GG ist größer als X NGG im Nash-GG es Simultanspiels: Der first mover bekommt mehr un er secon mover weniger als im Simultanspiel, wobei er Zuwachs es first movers höher ist als ie Reuktion beim secon mover. ) Was würe ein wohlwollener sozialer Planer en Spielern verornen, um ie Maximierung von ux, x ) = u x, x ) + u x, x ) zu erreichen? Lösung: Es ist: ux, x ) = lnx ) + lnx ) + lna x x ) + lna x x ) = lnx ) + lnx ) + 5 lna x x ) Partielle Ableitungen: u A x x x = x 5 u x = x 5 A x x Be..Orn. sie ist auch hinreichen, a ie Zielfunktion u global konkav ist): u! x u! x = 0 x = 5 A x x ) = 0 x = 5 A x x ) Für ie Lösung gilt offensichtlich x = x =: x un ieses x lässt sich ermitteln aus: Wir erhalten: x = 5 A x) + 4 5) x = 5 A x = 9 A x ) = 9 A, x ) = 9 A Wie groß ist abei er gesamte Ressourcenverbrauch? Für ie Summe ergibt sich sofort: X ) = x ) + x ) = 4 9 A e) Jeman argumentiert, ass ein nachhaltiger Planer en Spielern ie Maximierung von vx, x ) = lnx ) + lnx ) + lna x x ) verornen sollte. Wie groß ist abei er gesamte Ressourcenverbrauch? Welches Ergebnis liefert ie Verallgemeinerung ieses Ansatzes auf n Spieler? Für vx,..., x n ) = n i= lnx i) + n ln A n i= x i) ist ie Be..Orn: 0 =! v x i = x i n A x... x n x i = n A n i= x ) i Alle x i sin gleich. x = A n x) = A x x = A x = A. n n n n Der gesamte Ressourcenverbrauch beträgt abei: X e) = A/ für alle n). 5