Binomische Formel mod p

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1 Binomische Formel mo p Lemma Binomische Formel mo p Seien a, b Z un p P. Dann gilt (a+b) p a p + b p mo p. Nach Binomischer Formel gilt (a+b) p = p p ) i=0( i a i b p i = a p + b p + p 1( p ) i=1 i a i b p i. Wir wollen zeigen, ass p ( p i) für 1 i < p. Daraus folgt (a+p) p a p + b p mo p. Es gilt ( p i ) i! = p! (p j). (p i)! = i 1 j=0 Wegen i 1 teilt p ie rechte Seite er Gleichung. Da p ie rechte Seite teilt, muss p auch ie linke Seite teilen. Wegen i < p un p prim gilt aber p i!. Damit folgt p ( p i). Anmerkung: Die Abbilung f : Z Z, x x p mo p ist linear,.h. f(a+b) f(a)+f(b) mo p. (f heißt Frobenius.) Zahlentheorie - V Kleiner Satz von Fermat, lineare Gleichungen, Chinesischer Restsatz 48 / 110

2 Kleiner Satz von Fermat Satz Kleiner Satz von Fermat Sei p P. Dann gilt a p a mo p für alle a Z. Wir führen zunächst eine Inuktion für a 0 urch. IA a = 0: 0 p 0 mo p. IS a a+1: Nach vorigem Lemma gilt (a+1) p a p + 1 p a+1 mo p. Für a < 0 gilt ( a) p a mo p mit a > 0. Für p = 2 ist a = a+2a a mo 2. Daraus folgt ie Aussage. Für ungeraes p folgt a ( a) p = ( 1) p a p = a p mo p. Multiplikation mit ( 1) liefert ie gewünschte Ientität. Zahlentheorie - V Kleiner Satz von Fermat, lineare Gleichungen, Chinesischer Restsatz 49 / 110

3 Kleiner Satz von Fermat Korollar Kleiner Satz von Fermat (Variante) Sei p P. Dann gilt a p 1 1 mo p für alle a Z mit p a. Wir wissen p a p a bzw. p a(a p 1). Da p prim un p a folgt p a p 1 un amit a p 1 1 mo p. Anwenung: Bei Rechnung moulo p reuziere Exponenten moulo p 1. Moulo p = 5 gilt z.b = = 2 3 (2 4 ) = mo 5. Zahlentheorie - V Kleiner Satz von Fermat, lineare Gleichungen, Chinesischer Restsatz 50 / 110

4 Teiler un Vielfache Lemma über Teiler un Vielfache Für a, b Z un n, m N gilt: 1 Falls a b mo n un m n, ann ist a b mo m. 2 Es gilt a b mo n gw ma mb mo mn. (1) Aus n a b un m n folgt m a b. (2) : Aus n a b folgt mn m(a b). : Aus nm m(a b) folgt nmc = m(a b) un amit nc = a b. Zahlentheorie - V Kleiner Satz von Fermat, lineare Gleichungen, Chinesischer Restsatz 51 / 110

5 Lösbarkeit linearer Gleichungen Satz Lösbarkeit linearer Gleichungen Seien a, b Z un n N mit ax b mo n. Sei = ggt(a, n). 1 Falls eine Lösung x Z existiert, so gilt b. 2 Sei b. Seien y, z Z mit ya+zn = ggt(a, n) =. Ein x Z ist Lösung gw x y b mo n. (1) Sei x eine Lösung mit ax b mo n. Dann gilt ax = b+kn bzw. b = ax kn. = ggt(a, n) teilt beie Summanen rechts. Damit gilt b. (2) : Sei x y b mo n. Dann gilt ax ay b zn b b zn b mo a n Damit folgt ax b mo n,.h. x ist eine Lösung. Zahlentheorie - V Kleiner Satz von Fermat, lineare Gleichungen, Chinesischer Restsatz 52 / 110

6 Lösbarkeit linearer Gleichungen (Fortsetzung) : Sei x eine Lösung mit ax b mo n. Dann gilt yax ( nz)x x yb mo n. Aus er letzten Kongruenz folgt x y b mo n. Anmerkung: Für ggt(a, n) = 1 existiert stets genau eine Lösung x yb mo n. Bsp: Berechne ie Lösungsmenge von 4x 2 mo 6. Der Erw. Eukliische Algorithmus liefert ggt(4, 6) = = 2. Damit gilt x mo 3. D.h. ie Lösungsmenge ist 2+3Z. Zahlentheorie - V Kleiner Satz von Fermat, lineare Gleichungen, Chinesischer Restsatz 53 / 110

7 Lösung von simultanen Kongruenzen Ziel: Bestimme alle Lösungen es Kongruenzensystems cx a mo n x b mo m Falls c 1 löse nach x auf (voriger Satz), ersetze n urch D.h. wir können oba annehmen, ass c = = 1. Satz Chinesischer Restsatz (CRT, Version 1) n ggt(c,n). Seien a, b Z un n, m N. Sei = ggt(n, m) = yn+zm, y, z Z. 1 Falls as System x a mo n x b mo m lösbar ist, gilt a b mo. 2 Sei a b mo. Ein x Z ist eine Lösung gw x a yn a b mo nm. Beachte: Für teilerfreme n, m ist as System immer lösbar. Zahlentheorie - V Kleiner Satz von Fermat, lineare Gleichungen, Chinesischer Restsatz 54 / 110

8 Chinesischer Restsatz (1) Sei x eine Lösung mit x a mo n un x b mo m. Da n un m folgt x a mo x b mo. Damit gilt a b mo. (2) : Sei x a yn a b mo nm. Wegen n un m können wir x moulo n un m betrachten. Moulo n gilt x a yn a b a mo n un moulo m gilt x a yn a b a ( zm) a b a (a b)+zm a b b mo m. Damit ist x eine Lösung es simultanen Kongruenzensystems. : Seien x, x Lösungen. Wir zeigen, ass ann x x mo nm. Wegen x a x mo n un x b x mo m folgt n x x un m x x. D.h. x x ist gemeinsames Vielfaches von n un m. kgv(n, m) ist kleinstes gemeinsames Vielfaches von n un m,.h. kgv(n, m) x x. Wegen kgv(n, m) = nm ggt(n,m) = nm folgt x x mo nm. Zahlentheorie - V Kleiner Satz von Fermat, lineare Gleichungen, Chinesischer Restsatz 55 / 110

9 Chinesischer Restsatz Bsp: Löse as folgene System simultaner Kongruenzen x 3 mo 6 x 7 mo 10. Es gilt = ggt(6, 10) = = 2. Lösung existiert wegen 3 7 mo 2 un besitzt ie Form x ( 6) 27 mo 30. D.h. alle Lösungen sin von er Gestalt Z. Zahlentheorie - V Kleiner Satz von Fermat, lineare Gleichungen, Chinesischer Restsatz 56 / 110

10 Chinesischer Restsatz für mehr Gleichungen Satz Chinesischer Restsatz Die Lösungsmenge es Systems von simultanen Kongruenzen a i x b i mo n i für i = 1,...,n kann berechnet weren. Löse zunächst alle linearen Gleichungen nach x auf. Dies liefert x c i mo n i für c i Z, n i N. Löse mittels Chinesischem Restsatz ie Kongruenzen x c 1 mo n 1 x c 2 mo n 2. Die Lösungen kombinieren wir mit x c 3 mo n 3, usw. D.h. wir fassen jeweils zwei Kongruenzen zusammen, bis nur noch eine Kongruenz verbleibt. Übung: Geben Sie eine explizite Formel für x falls n = 3. Zahlentheorie - V Kleiner Satz von Fermat, lineare Gleichungen, Chinesischer Restsatz 57 / 110