3.7 Der AKS-Primzahltest

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1 3.7 Der AKS-Primzahltet Die Frage, ob e einen eterminitichen Primzahltet gibt, er mit polynomialem Aufwan aukommt, war biher nur urch Miller auf ie erweiterte Riemannche Vermutung zurückgeführt woren. Alle aneren bekannten Primzahltet benötigten einen höheren Aufwan oer waren probabilitich. Im Augut 2002 überrachten rei Iner, Maninra Agrawal, Neeraj Kayal un Nitin Saxena, ie Fachwelt mit einem volltänigen Bewei, er auf einem überrachen einfachen Algorithmu beruht. Dieer erhielt ofort en Namen AKS-Primzahltet. Er benötigt in er chnellten biher bekannten Verion einen Aufwan von O(log(n) 6 ). Satz 5 (Grunkriterium) Seien a, n Z teilerfrem, n 2. Dann in äquivalent: (i) n it prim. (ii) (X + a) n X n + a (mo n) im Polynomring Z[X]. Bewei. Au em binomichen Lehratz folgt n ( ) n (X + a) n = a n i X i i i=0 in Z[X]. (i) It n prim, o n ( ) n i für i = 1,..., n 1, alo (X + a) n X n + a n (mo n), un nach em Satz von Fermat it a n a (mo n). (ii) It n agegen zuammengeetzt, o wählt man einen Primfaktor q n un k mit q k n un q k+1 n. Dann it q n un ( ) n q k n (n q + 1) =. q 1 q Alo hat (X + a) n bei X q einen Koeffizienten 0 in Z/nZ. Bemerkungen 1. Der Blick auf a abolute Glie in (ii) zeigt, a a Grunkriterium eine Verallgemeinerung e Satze von Fermat it. 2. Sei q := (n, X r 1) Z[X] (Ieal im Polynomring) für r N. It n prim, o (X + a) n X n + a (mo q). Alo it gezeigt: Korollar 1 It n prim, o gilt im Polynomring Z[X] (X + a) n X n + a (mo q) für alle a Z mit ggt(a, n) = 1 un alle r N. 43

2 Die naive Anwenung e Grunkriterium al Primzahltet würe mit em binären Potenzalgorithmu etwa 2 log n Multiplikationen von Polynomen in Z/nZ[X] erforern, ie aber immer aufweniger weren: Im letzten Schritt in zwei Polynome vom Gra etwa n 2 zu multiplizieren, wa einen Aufwan er Größenornung n erforert. Da Korollar bechränkt en Gra urch r 1, it aber nicht hinreichen. Der Kernpunkt e AKS-Algorithmu it, a man a Korollar im weentlichen umkehren kann, wenn man genügen viele, aber ingeamt nur wenige a bei einem geeigneten feten r urchprobiert: Satz 6 (AKS-Kriterium, Verion von H. W. Lentra) Sei n eine natürliche Zahl 2. Gegeben ei eine zu n teilerfreme Zahl r N. Sei q := Or r n ie Ornung von n in er multiplikativen Gruppe M r = (Z/rZ). Ferner ei gegeben eine natürliche Zahl 1 mit ggt(n, a) = 1 für alle a = 1,..., un ( ) ϕ(r) + 1 n 2 ϕ(r) für jeen Teiler ϕ(r) q. Für a Ieal q = (n, Xr 1) Z[X] gelte (X + a) n X n + a (mo q) für alle a = 1,.... Dann it n eine Primzahlpotenz. Der Bewei (nach D. Berntein) wir in einige Hilfätze zerlegt. Hilfatz 1 Für alle a = 1,... un alle i N gilt: (X + a) ni X ni + a (mo q). Bewei. Da folgt urch Inuktion über i, wenn man in (X + a) n = X n + a + n f(x) + (X r 1) g(x) in Z[X] ie Subtitution X X ni auführt: (X + a) ni+1 (X ni + a) n = X ni n + a + n f(x ni ) + (X ni r 1) g(x ni ) X ni+1 + a (mo q), a X nir 1 = (X r ) ni 1 = (X r 1)(X r (ni 1) + + X r + 1) Vielfache von X r 1 it. Sei jetzt p n ein Primteiler. Ziel it zu zeigen, a n eine Potenz von p it. Da Ieal q = (n, X r 1) Z[X] wir vergrößert zu ˆq := (p, X r 1) Z[X]. Die Ientität au Hilfatz 1 gilt ann auch mo ˆq, un e gilt ogar, a jetzt ja mo p gerechnet wir: 44

3 Korollar 2 Für alle a = 1,... un alle i, j N gilt (X + a) ni p j X ni p j + a (mo ˆq). Sei H := n, p M r ie von en Retklaen n mo r un p mo r erzeugte Untergruppe. Sei := #(M r /H) = ϕ(r) #H. Da q = Or r n #H, it ϕ(r) q ; alo erfüllt ie Vorauetzung von Satz 6. Ein volltänige Repräentantenytem {m 1,..., m } M r von M r /H ei für en Ret e Beweie fet gewählt. Korollar 2 wir ann erweitert zu Korollar 3 Für alle a = 1,..., alle k = 1,..., un alle i, j N gilt + a) ni p j X m kn i p j + a (mo ˆq). Bewei. Nach em gleichen Trick wie in Hilfatz 1 wir X X m k ubtituiert: in Z[X] (X + a) ni p j = X ni p j + a + p f(x) + (X r 1) g(x) in Z[X], + a) ni p j = X m kn i p j + a + p f ) + r 1) g ), un arau folgt ie Behauptung. Für ie Proukte n i p j ϕ(r) N mit 0 i, j gilt 1 n i p j n 2 ϕ(r). ϕ(r) E gibt ( + 1)2 > ϕ(r) olcher Paare (i, j) N 2, un alle n i p j mo r liegen in er Untergruppe H mit #H = ϕ(r) ; alo gibt e verchieene (i, j) (h, l) mit n i p j n h p l (mo r), un afür mu ogar i h ein ont wäre p j p l (mo r), alo p r. Damit it auch chon er erte Teil e folgenen Hilfatze gezeigt: ϕ(r) Hilfatz 2 E gibt i, j, h, l mit 0 i, j, h, l un i h, o a für t := n i p j, u := n h p l ie Kongruenz t u (mo r) erfüllt it, un t u n 2 ϕ(r) 1. Damit gilt + a) t + a) u (mo ˆq) für alle a = 1,..., un alle k = 1,

4 Bewei. Die letzte Kongruenz folgt au X t = X u+cr X u (mo X r 1), alo + a) t X m kt + a X m ku + a + a) u (mo ˆq), für alle a un k. Da r zu n teilerfrem un p ein Primteiler von n it, hat X r 1 im algebraichen Abchlu von F p keine mehrfachen Nultellen, alo r verchieene Nulltellen, ie r-ten Einheitwurzeln mo p. Diee bilen (al enliche multiplikative Untergruppe eine Körper) eine zykliche Gruppe. Sei ζ ein erzeugene Element avon, alo eine primitive r-te Einheitwurzel. E gibt einen irreuziblen Teiler h F p [X] von X r 1 mit h(ζ) = 0. Sei K = F p [ζ] = F p [X]/hF p [X] = Z[X]/ˆq mit em Ieal ˆq = (p, h) Z[X]. Wir haben alo ie aufteigene Kette von Iealen q = (n, X r 1) ˆq = (p, X r 1) ˆq = (p, h) Z[X] un umgekehrt ie Kette von Surjektionen Z[X] Z[X]/q F p [X]/(X r 1) K = F p [ζ] = F p [X]/hF p [X]. Hilfatz 3 In K gilt: (i) (ζ m k + a) t = (ζ m k + a) u für alle a = 1,..., un alle k = 1,.... (ii) It G K ie von en ζ m k + a 0 erzeugte Untergruppe, o gilt g t = g u für alle g Ḡ := G {0}. Bewei. (i) folgt au Hilfatz 2 mit em Homomorphimu Z[X] K, X ζ, er en Kern ˆq ˆq hat. (ii) folgt irekt au (i). Die X +a F p [X] für a = 1,... in paarweie verchieene irreuzible Polynome, a p > nach er Vorauetzung von Satz 6. Alo in auch alle Proukte f e := (X + a) ea für e = (e 1,..., e ) N in F p [X] verchieen. Wa paiert bei er Abbilung mit en Polynomen f e? Φ: F p [X] K, f (f(ζ m 1 ),..., f(ζ m )), 46

5 Hilfatz 4 Für ie f e mit Gra f e = e a ϕ(r) 1 in ie Biler Φ(f e ) K paarweie verchieen. Bewei. Angenommen, Φ(f c ) = Φ(f e ). Nach Korollar 3 gilt für k = 1,..., f c ) ni p j = + a) ni p j c a n i p j + a) ca un ebeno = f c n i p j ) (mo ˆq) f e ) ni p j f e n i p j ) (mo ˆq). ert recht mo ˆq. Anwenung von Φ auf ie linken Seiten ergibt f c n i p j ) f e n i p j ) (mo ˆq). Für ie Differenz g := f c f e F p [X] gilt alo gn i p j ) hf p [X] für alle k = 1,...,. Sei b [1... r 1] zu r teilerfrem alo Repräentant eine Element von M r. Dann it b in einer er Nebenklaen m k H von M r /H enthalten. E gibt alo k, i un j mit b m k n i p j (mo r). Alo it g(x b ) gn i p j ) (X r 1)F p [X] hf p [X], alo g(x b ) hf p [X], alo g(ζ b ) = 0. Daher hat g in K ie ϕ(r) verchieenen Nulltellen ζ b. Der Gra von g it aber < ϕ(r). Alo it g = 0, alo f c = f e. Korollar 4 ( ) ϕ(r) + 1 1/ #Ḡ t u + 1. Bewei. E gibt ( ) ϕ(r)+ 1 Möglichkeiten, ie Exponenten (e1,..., e ) wie in Hilfatz 4 zu wählen. Da alle Φ(f e ) Ḡ, folgt ( ) ϕ(r) + 1 #Ḡ n 2 ϕ(r), nach er Vorauetzung von Satz 6, alo nach Hilfatz 2. #Ḡ n2 ϕ(r) t u + 1 Damit it er Bewei von Satz 6 leicht fertigzutellen: Da g t = g u für alle g Ḡ K, hat a Polynom X t u in K mehr al t u Nulltellen. Da geht nur, wenn t = u. Nach er Definition von t un u in Hilfatz 2 it alo n eine Potenz von p. Damit it Satz 6 bewieen. 47