23. Kürzeste Wege. Flussüberquerung (Missionare und Kannibalen) Das ganze Problem als Graph. Formulierung als Graph

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1 Fluüberquerung (Miionare und Kannibalen). Kürzete Wege Problem: Drei Kannibalen und drei Miionare tehen an einem Ufer eine Flue. Ein dort bereittehende Boot fat maimal zwei Peronen. Zu keiner Zeit dürfen an einem Ort (Ufer oder Boot) mehr Kannibalen al Miionare ein. Wie kommen die Miionare und Kannibalen möglicht chnell über den Flu? Motivation, Dijktra Algorithmu auf Ditanzgraphen, Algorithmu von Bellman-Ford, Algorithmu von Floyd-Warhall [Ottman/Widmayer, Kap. 9. Cormen et al, Kap ,.-.] K K K M M M B 644 E gibt leichte Variationen diee Problem, e it auch äquivalent zum Problem der eiferüchtigen Ehemänner 64 Formulierung al Graph Zähle alle erlaubten Konfigurationen al Knoten auf und verbinde diee mit einer Kante, wenn Überfahrt möglich it. Da Problem it dann ein Problem de kürzeten Pfade Beipiel Da ganze Problem al Graph link recht Miionare 0 Kannibalen 0 Boot Überfahrt möglich link recht Miionare Kannibalen Boot 6 Peronen am linken Ufer 4 Peronen am linken Ufer

2 Beipiel Schiebepuzzle Problem al Graph Wollen die chnellete Löung finden für Routenfinder Gegeben Städte A - Z und Ditanzen zwichen den Städten. D 4 4 Einfachter Fall Kontante Kantengewicht (obda) Löung: Breitenuche B G 8 A 6 E I Z C H 7 4 S t F Wa it der kürzete Weg von A nach Z? 60 6

3 Poitiv gewichtete Graphen Beobachtung Gegeben: G = (V, E, c), c : E R +,, t V. Geucht: Länge eine kürzeten Wege (Gewicht) von nach t. Weg: = v 0, v,..., v k = t, (v i, v i+ ) E (0 i < k) Gewicht: k i=0 c((v i, v i+ )) u v 4 7 obere Schranken t t w kleinte obere Schranke globale Minimum! S Weg mit Gewicht Grundidee Eitenz eine kürzeten Wege Menge V aller Knoten wird unterteilt in die Menge M von Knoten, für die chon ein kürzeter Weg von bekannt it die Menge R = v M N + (v) \ M von Knoten, für die kein kürzeter Weg bekannt it, die jedoch von M direkt erreichbar ind. die Menge U = V \ (M R) von Knoten, die noch nicht berückichtigt wurden. Annahme: E eitiert ein Weg von nach t in G Behauptung: E gibt einen kürzeten Weg nach t in G Bewei: E kann zwar unendlich viele Wege von nach t geben. Da aber c poitiv it, it ein kürzeter Weg zyklufrei. Damit it die Maimallänge eine kürzeten Wege durch ein n N bechränkt und e gibt nur endlich viele Kandidaten für kürzete Wege. Bemerkung: e kann eponentiell viele Wege geben. Beipiel t 64 6

4 Induktion Algorithmu Dijktra(G, ) Induktion über M : Wähle Knoten au R mit kleinter oberer Schranke. Nimm r zu M hinzu, und update R und U. Korrektheit: It innerhalb einer Wellenfront einmal ein Knoten mit minimalem Pfadgewicht gefunden, kann kein Pfad gröeren Gewicht über andere Knoten zu einer Verbeerung führen. Input : Poitiv gewichteter Graph G = (V, E, c), Startpunkt V Output : Minimale Gewichte d der kürzeten Pfade. M = {}; R = N + (), U = V \ R d() 0; d(u) u while R do r arg min r R min m N (r) M d(m) + c(m, r) d(r) min m N (r) M d(m) + c(m, r) M M {r} R R {r} N + (r) \ M return d Beipiel Zur Implementation: Naive Variante 0 a 6 c 8 e M = {, a} R = {b, c} U = {d, e} Minimum finden: Alle Kanten (u, v) für u M, v R durchlaufen. Geamtkoten: O( V E ) b d 68 69

5 Zur Implementation: Beere Variante Update aller augehenden Kanten beim Einfügen eine neuen w in M: foreach (w, v) E do if d(w) + c(w, v) < d(v) then d(v) d(w) + c(w, v) Updatekoten: O( E ), Minima finden: O( V ), alo Geamtkoten O( V ) Zur Implementation: Datentruktur für R? Benötigte Operationen: EtractMin (über R) DecreaeKey (Update in R) foreach (m, v) E do if d(m) + c(m, v) < d(v) then d(v) d(m) + c(m, v) if v R then DecreaeKey(R, v) ele R R {v} // Update eine d(v) im Heap zu R // Einfügen eine neuen d(v) im Heap zu R 660 Heap Datentruktur bietet ich an. Problem: Unklar, wo v in R teht (für DecreaeKey). 66 DecreaeKey Laufzeit DecreaeKey: Aufteigen im MinHeap in O(log V ) Poition im Heap, Möglichkeit (a): Speichern am Knoten Poition im Heap, Möglichkeit (b): Hahtabelle über Knoten V EtractMin: O( V log V ) E Inert oder DecreaeKey: O( E log V ) Init: O( V ) Ingeamt: O( E log V ). Kann verbeert werden unter Verwendung einer für EtractMin und DecreaeKey optimierten Datentruktur (Fibonacci Heap), dann Laufzeit O( E + V log V )

6 Kürzeten Weg Rekontruieren Beipiel Beim Updatechritt im obigen Algorithmu jeweil beten Vorgänger merken, an Knoten oder in eparater Datentruktur. Beten Pfad rekontruieren durch Rückwärtlaufen der beten Kanten 0 a 6 c 8 e M = {, a, b} R = {c, d} U = {e} b d Allgemeine Bewertete Graphen Beobachtungen Relaieren geht genauo: Rela(u, v) (u, v V, (u, v) E) if d (v) > d (u) + c(u, v) then d (v) d (u) + c(u, v) return true return fale Problem: Zyklen mit negativen Gewichten können Weg verkürzen: e mu keinen kürzeten Weg mehr geben u d (u) v d (v) Beobachtung : Teilpfade von kürzeten Pfaden ind kürzete Pfade: Sei p = v 0,..., v k ein kürzeter Pfad von v 0 nach v k. Dann it jeder der Teilpfade p ij = v i,..., v j (0 i < j k) ein kürzeter Pfad von v i nach v j. Bewei: wäre da nicht o, könnte man einen der Teilpfade kürzen, Widerpruch zur Vorauetzung. Beobachtung : Wenn e einen kürzeten Weg gibt, dann it dieer einfach, hat alo keine doppelten Knoten. Folgt direkt au Beobachtung

7 Dynamic Programming Anatz (Bellman) Dynamic Programming Anatz (Bellman) Induktion über Anzahl Kanten. d [i, v]: Kürzete Weglänge von nach v über maimal i Kanten. d [i, v] = min{d [i, v], min (u,v) E (d [i, u] + c(u, v)) d [0, ] = 0, d [0, v] = v. v w n 0 Algorithmu: Iteriere über letzte Zeile bi die Relaationchritte keine Änderung mehr ergeben, maimal aber n mal. Wenn dann noch Änderungen, dann gibt e keinen kürzeten Pfad. 4 7 u w v Algorithmu Bellman-Ford(G, ) Input : Graph G = (V, E, c), Startpunkt V Output : Wenn Rückgabe true, Minimale Gewichte d der kürzeten Pfade zu jedem Knoten, ont kein kürzeter Pfad. d(v) v V ; d() 0 for i to V do f fale foreach (u, v) E do f f Rela(u, v) if f = fale then return true return fale; Alle kürzeten Pfade Ziel: Berechne da Gewicht eine kürzeten Pfade für jede Knotenpaar. V Anwendung von Dijktra ShortetPath: O( V E log V ) (Mit Fibonacci-Heap:: O( V log V + V E )) V Anwendung von Bellman-Ford: O( E V ) E geht beer! Laufzeit O( E V )

8 Induktion über Knotennummer. DP Induktion Betrachte die Gewichte aller kürzeten Wege S k mit Zwichenknoten in V k := {v,..., v k }, wenn Gewichte zu allen kürzeten Wegen S k mit Zwichenknoten in V k gegeben ind. v k kein Zwichenknoten eine kürzeten Pfade von v i v j in V k : Gewicht eine kürzeten Pfade v i v j in S k dann auch da Gewicht eine kürzeten Pfade in S k. v k Zwichenknoten eine kürzeten Pfade v i v j in V k : Teilpfade v i v k und v k v j enthalten nur Zwichenknoten au S k. d k (u, v) = Minimale Gewicht eine Pfade u v mit Zwichenknoten au V k Induktion d k (u, v) = min{d k (u, v), d k (u, k) + d k (k, v)}(k ) d 0 (u, v) = c(u, v) wie beim Algorithmu für die refleive tranitive Hülle von Warhall DP Algorithmu Floyd-Warhall(G) Umgewichtung Input : Azyklicher Graph G = (V, E, c) Output : Minimale Gewichte aller Pfade d d 0 c for k to V do for i to V do for j to V do d k (v i, v j ) = min{d k (v i, v j ), d k (v i, v k ) + d k (v k, v j )} Idee: Anwendung von Dijktra Algorithmu auf Graphen mit negativen Gewichten durch Umgewichtung Da folgende geht nicht. Die Graphen ind nicht äquivalent im Sinne der kürzeten Pfade. t t Laufzeit: Θ( V ) Bemerkung: Der Algorithmu kann auf einer einzigen Matri d (in place) augeführt werden. u v c c+ = u v

9 Umgewichtung Andere Idee: Potentialfunktion (Höhe) auf den Knoten G = (V, E, c) ein gewichteter Graph. Funktion h : V R Neue Gewichte c(u, v) = c(u, v) + h(u) h(v), (u, v V ) Umgewichtung Beobachtung: Ein Pfad p it genau dann kürzeter Pfad in G = (V, E, c), wenn er in G = (V, E, c) kürzeter Pfad it. c(p) = k c(v i, v i ) = i= = h(v 0 ) h(v k ) + k c(v i, v i ) + h(v i ) h(v i ) i= k c(v i, v i ) = c(p) + h(v 0 ) h(v k ) i= Alo c(p) minimal unter allen v 0 v k c(p) minimal unter allen v 0 v k. Zyklengewichte ind invariant: c(v 0,..., v k = v 0 ) = c(v 0,..., v k = v 0 ) Johnon Algorithmu Hinzunahme eine neuen Knoten V : G = (V, E, c ) V = V {} E = E {(, v) : v V } c (u, v) = c(u, v), u c (, v) = 0(v V ) Johnon Algorithmu Fall keine negativen Zyklen: wähle für Höhenfunktion Gewicht der kürzeten Pfade von, h(v) = d(, v). Für minimale Gewicht d eine Pfade gilt generell folgende Dreieckungleichung: d(, v) d(, u) + c(u, v). Einetzen ergibt h(v) h(u) + c(u, v). Damit c(u, v) = c(u, v) + h(u) h(v)

10 Algorithmu Johnon(G) Input : Gewichteter Graph G = (V, E, c) Output : Minimale Gewichte aller Pfade D. Neuer Knoten. Berechne G = (V, E, c ) if BellmanFord(G, ) = fale then return graph ha negative cycle foreach v V do h(v) d(, v) // d au BellmanFord Algorithmu foreach (u, v) E do c(u, v) c(u, v) + h(u) h(v) foreach u V do d(u, ) Dijktra( G, u) foreach v V do D(u, v) d(u, v) + h(v) h(u) Analye Laufzeiten Berechnung von G : O( V ) Bellman Ford G : O( V E ) V Dijktra O( V E log V ) (Mit Fibonacci-Heap:: O( V log V + V E )) Ingeamt O( V E log V ) (O( V log V + V E ))