Stochastische Überraschungen beim Spiel BINGO

Transkript

1 Stochatiche Überrachungen beim Spiel BINGO NORBERT HENZE, KARLSRUHE, UND HANS HUMENBERGER, WIEN Zuammenfaung: In dieem Beitrag wird da bekannte Spiel BINGO erläutert und näher analyiert. Augehend vom konkreten BINGO-Spiel wird die Situation auch allgemein unterucht. Dabei ergeben ich o manche Apekte, die auch in der Schule verwirklicht werden können, andere werden der Aubildung von Mathematiklehrkräften vorbehalten bleiben. Jedenfall treten prima vita überrachende Reultate auf (die zugehörigen Schätzungen werden i. A. relativ weit entfernt von den tatächlichen Werten liegen, und die it bekanntlich oft ein Motor für die Motivation, wa chon in zahlreichen Aufätzen über tochatiche Paradoxa und kontraintuitive Phänomene zu leen it. 1 Einleitung BINGO 1 it ein ehr einfache Spiel. Man hat dabei eigentlich keine Strategien zu verfolgen, ondern mu nur chnell ein, da it alle, wa man elbt teuern kann. Trotzdem beitzt BINGO intereante tochatiche Apekte, die im Folgenden heraugearbeitet werden ollen, z. B. wie viele Ziehungen mu man im Durchchnitt abwarten, bi man BINGO! rufen kann? Oder: Wie wahrcheinlich it e, da man ert nach der letzten gezogenen Kugel BINGO! rufen kann? Welche Anzahl der nötigen Ziehungen, bi man BINGO! rufen kann, it die wahrcheinlichte? Beim BINGO gibt e verchiedene Verionen, wobei wir un peziell für die Verion außerhalb Amerika intereieren. Die amerikaniche Verion it z. B. in Ethier (2010, S. 496 bechrieben. Viele Peronen können gleichzeitig pielen, entweder online oder in einer Halle. Man kauft zuert einen realen oder (bei der online-verion elektronichen BINGO-Schein, dieer beteht bei der un intereierenden Verion au drei Zeilen (Reihen zu e fünf Zahlen (von 1 bi 90: Die Scheine haben meit neun Felder in einer Reihe, aber in nur fünf tehen Zahlen, o da man die leeren Felder eigentlich aublenden kann (iehe Abb. 1: Abbildung 1: Spielchein au Spanien In der erten Spalte können nur die Zahlen 1 10, in der zweiten 11 20,..., in der neunten tehen (die hat für unere Überlegungen keine Auwirkungen, e wurde wahrcheinlich au Überichtlichkeitgründen eingeführt. Nun zieht ein Quizmater (Halle oder ein Zufallzahlengenerator (online betändig Zahlen au der Menge {1,2,...,90} (ohne Zurücklegen. In der Regel wird alle zehn Sekunden eine Gewinnzahl aufgerufen, o da ich der BINGO-Spieler während de Spiel permanent konzentrieren mu und rach reagieren ollte. Die wird inbeondere dann chwieriger, wenn man mit mehreren BINGO-Scheinen gleichzeitig pielt, wa durchau möglich und üblich it. Dabei it e dann gar nicht o leicht, einen chnellen und guten Überblick zu bewahren. E gibt verchiedene Stufen von BINGO, wobei immer nur die/der Erte gewinnt, die/der chreit (bzw. klickt bei der Onlineverion: 1. Wenn alle Zahlen einer beliebigen Reihe de BINGO-Schein gezogen wurden. 2. Wenn alle Zahlen zweier beliebiger Reihen de BINGO-Schein gezogen wurden. 3. Wenn alle Zahlen de BINGO-Schein gezogen wurden ( coverall. E gibt auch andere BINGO-Formen (z. B. in Amerika: Dabei tehen nicht 90, ondern nur 75 Zahlen zur Verfügung, der BINGO-Schein it ein quadratiche 5 5-Rater, bei dem da mittlere Feld meit keine Zahl enthält. Die Überchrift beteht paend au den fünf Buchtaben BINGO, wobei in der B- Spalte nur Zahlen im Bereich 1, in der I-Spalte 16 30, in der N-Spalte 31 45, in der G-Spalte 46 1 Wir danken Jan H. Müller (Riviugymnaium Attendorn und TU Dortmund, da er un auf die entprechende Fragetellung aufmerkam gemacht hat: Erwartungwert der Anzahl nötiger Ziehungen, bi man BINGO! rufen kann. Stochatik in der Schule XX (XXXX X S. 1?? 1

2 60 und in der O-Spalte Werte im Bereich tehen, die wieder zur beeren Orientierung iehe Abb Möglicher Eintieg im Schulunterricht Zu Beginn könnten Schüler(innen chätzen: 1. Wie viele Ziehungen ind im Durchchnitt nötig, bi man alle hat ( coverall? Abbildung 2: Amerikanicher BINGO-Schein BINGO hat man hier entweder bei verchiedenen Mutern (üblich: eine Linie, d. h. fünf in einer Reihe, waagrecht, enkrecht oder diagonal, da mittlere Feld it dann ozuagen ein Joker für die mittlere Zeile, mittlere Spalte und für die Diagonalen oder auch beim ganzen Feld ( coverall, die mu vorher augemacht werden. Wir bechränken un auf die Verion mit den drei Reihen zu e fünf Zahlen und verzichten für die mathematiche Unteruchung auf die Felder ohne Zahlen (Seepferdchen al Symbole, iehe Abb.1: Gechichte 2 de BINGO: Begonnen hat da BINGO-Spiel in Amerika. Der New Yorker Spielwarenverkäufer Edwin S. Lowe ah 1929 in Jackonville auf einem Jahrmarkt einen Stand, bei dem ein Spiel mit Bohnen gepielt wurde: Die Spieler bedeckten die durch einen Caller oder Pitchman gezogenen Zahlen auf ihrem Spielchein mit kleinen Bohnen, und zwar o lange, bi einer eine volltändige Reihe von Bohnen hatte und freudetrahlend Beano! rief. Sehr viele Menchen pielten diee Spiel, und auch Lowe war begeitert. Er produzierte diee Spiel dann auch mit Spielcheinen und Bohnen elbt und probierte e zunächt im privaten Bereich mit Freunden. Einer ehr euphorichen Spielerin fehlte nur noch eine Zahl bei einer Reihe, ie war chon ehr angepannt und prompt kam diee Zahl, ie rief verehentlich Bingo! tatt Beano!. Dieer Auruf gefiel Lowe viel beer, und dann blieb e auch bei dieem Namen. 2. Welche Anzahl benötigter Ziehungen (unter den folgenden it am wahrcheinlichten: 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90? 3. Wie groß it die Wahrcheinlichkeit, da man alle 90 Ziehungen benötigt? Die meiten werden ich hier ziemlich verchätzen, und da it auch nicht chlimm, e zeigt nur, da wir 3 in tochatichen Situationen oft ein nur ehr chlechte Gefühl haben. Anderereit ind die aber oft Anläe, e genauer wien zu wollen, d. h. ie können ehr förderlich für die Motivation ein. Hier gilt e zu bedenken: E handelt ich nicht um die Frage, nach durchchnittlich wie vielen Ziehungen bei einem BINGO-Spiel irgendemand BINGO ruft. Die it abhängig von der Anzahl mitpielender Peronen. Wenn viele BINGO-Scheine beteiligt ind, o kann chneller mal emand BINGO rufen. Hier tellen wir aber die Frage nach der durchchnittlichen Wartezeit, bi der eigene BINGO-Schein voll it. Wenn emand fetgetellt hat (Erfahrung!, da immer nach ca. X Ziehungen BINGO gerufen wird, o bedeutet die für unere Fragetellung noch nicht ehr viel, man wird dadurch eher zu einem zu niedrigen Schätzwert für die Anzahl nötiger Ziehungen für einen fetgelegten BINGO-Schein verleitet. Die auf den erten Blick verblüffenden Antworten auf obige Fragen ind: 1. ca. 85, (die it die wahrcheinlichte unter allen möglichen Anzahlen nötiger Ziehungen, die Wahrcheinlichkeiten nehmen von bi 90 treng monoton zu, d. h. von allen möglichen Fällen it e am wahrcheinlichten, da man bi zur letzten Kugel warten mu! 3. 1/6 2 Siehe auch: artikel/bingo/bingo piele.ap 3 Hier ind nicht nur Schüler(innen gemeint, ondern auch mit Stochatik vertrautere Peronen. 2 Bevor hier tochatich weitergearbeitet wird, können ich natürlich auch Simulationen (z. B. mit EXCEL anchließen, auch diee ind wertvolle Hilfmittel, um Einicht, Vertrauen und Motivation zu chaffen. So eine Simulation it allerding auch eine relativ anpruchvolle Aufgabe.

3 3 Fünfzehn Zahlen am 90-BINGO-Schein coverall Die Zufallvariable X bezeichne die Anzahl nötiger Ziehungen, bi alle Zahlen b 1,...,b eine betimmten BINGO-Schein gezogen werden, klarerweie gilt X 90. Für den intereierenden Erwartungwert E(X benötigt man zunächt die Wahrcheinlichkeiten P(X =, =,...,90. E gibt mehrere Möglichkeiten, diee Wahrcheinlichkeiten zu betimmen, wa bei einem möglichen Einatz im Schulunterricht natürlich poitiv hervorzuheben it. Trotzdem bleibt die Aufgabe relativ chwierig, o da ihre erfolgreiche Bearbeitung in der Regtel nicht in elbtändiger Schüler(innenarbeit möglich ein wird. Die bezieht ich auf alle drei folgenden Verionen 3.1 bi 3.3, viele Hinweie müen hier icher von der Lehrkraft kommen. Ingeamt möchten wir betonen, da da Thema primär für tochatiche Vertiefungen in Wahlpflichtfächern und Facharbeiten gedacht it, weniger für den verpflichtenden Regelunterricht. Selbtvertändlich aber auch für die Lehrer(innenau- und -fortbildung. 3.1 Beginn hinten bei = 90 Ein möglicher Hinwei, beteht hier darin, bei der Berechnung der Wahrcheinlichkeiten P(X =, =,...,90 hinten zu beginnen, d. h. zuert P(X = 90 zu berechnen. Da Ereigni {X = 90} tritt nämlich genau dann ein, wenn die letzte gezogene Kugel (bzw. Zahl eine von den Zahlen b 1,...,b am BINGO-Schein it. Da keine der 90 Zahlen für irgendeine Stelle der Ziehungreihenfolge bevorzugt it (auch für die letzte Stelle nicht, it die Wahrcheinlichkeit, al letzte gezogen zu werden, für ede Zahl gleich, nämlich 1/90. Die Wahrcheinlichkeit, da eine der -BINGO-Schein-Zahlen al letzte gezogen wird, it daher /90 (auch o: für die letzte Zahl gibt e 90 Möglichkeiten, davon ind güntig für da Ereigni {X = 90}: P(X = 90 = 90 = 1 6 Für {X = 89} mu an der 90. Stelle eine au den anderen 75 Zahlen gezogen werden, die 89. Ziehung mu eine Zahl au b 1,...,b ergeben. Daher folgt Analog erhalten wir P(X = 88 = P(X = 89 = , P(X = 87 = und allgemein bzw. P(X = = P(X = = ( ! 5! 90!!, =,...,90. (1 Mit dieen Wahrcheinlichkeiten kann man einereit die Verteilung von X betimmen und anderereit auch den zugehörigen Erwartungwert. Dabei mu klarerweie ein Computer eingeetzt werden (EX- CEL, CAS, Tabelle 1 zeigt einige Werte. P(X = P(X = 90 0, , , , , , , , , ,0329 Tabelle 1: Verteilung der Wartezeit auf Zahlen beim 90-BINGO Inbeondere folgen die auf den erten Blick verblüffenden Reultate: Die Wahrcheinlichkeiten wachen treng monoton mit, 90 it alo die wahrcheinlichte Anzahl nötiger Ziehungen! Diee Monotonie it mit unerem Anatz auch leicht zu begründen, denn e gilt: P(X = + 1 = P(X = 14 } {{ } >1 Die Wahrcheinlichkeiten P(X = beginnen ert für ehr große, ich relevant von 0 zu untercheiden: Sie liegen zum erten Mal über 5% bei = 84 Ziehungen, zum erten Mal über 10% bei = 88 Ziehungen. Man kann beim 90-BINGO getrot darauf wetten, da man mindeten 87 Kugeln abwarten mu, bi alle Zahlen eine -BINGO- Schein gezogen wurden, denn P(X 87 0, 5243 > 0, 5 (vgl. Tab. 1. Für den Erwartungwert ergibt ich mit Computer: E(X = 90 P(X = = ,3 = 3

4 Dieer Erwartungwert cheint auf den erten Blick ehr groß zu ein, und vermutlich würde kaum emand au dem Bauch herau eine o hohe Zahl dafür chätzen. Gleichwohl lät er ich aber plauibel machen. Dazu betrachten wir gedanklich alle 90 BINGO-Kugeln in zeitlicher Reihenfolge gezogen und nacheinander aufgereiht. Für die folgende Überlegung hilft die Vortellung, da alle 90 Kugeln au e zwei Hälften zuammengeetzt ind und äußerlich gleich auehen. Unere Kugeln auf dem Tippchein interpretieren wir al innen rote Kugeln, die übrigen al chwarze. Die innen angebrachte Farbe, rot oder chwarz, kann man ert fettellen, wenn man die Kugelhälften aueinanderzieht. Wenn man die Kugeln, beginnend mit der neunzigten, nacheinander auf ihre innere Farbe unterucht, nimmt die Zufallvariable X den Wert 91 k an, wenn die k- te unteruchte Kugel die erte rote Kugel it. Erfolgte da Ziehen mit Zurücklegen, o benötigte man durchchnittlich 6 Kugeln, bi man zum erten Mal eine rote Kugel zieht, denn die zugehörige Erfolgwahrcheinlichkeit it 1/6. Wenn man bei der 6. Ziehung ertmal eine rote Kugel zieht, nimmt aber die Zufallvariable X den Wert 85 an! Da wir ohne Zurücklegen ziehen, ollte man im Durchchnitt etwa weniger al ech Veruche bi zur erten Kugel warten, wa den etwa oberhalb von 85 liegenden Erwartungwert auch plauibel machen dürfte. Später tellen wir noch eine andere Möglichkeit de Plauibelmachen vor. 3.2 Mit Binomialkoeffizienten bzw. hypergeometricher Verteilung Wenn Kombinationen (Binomialkoeffizienten bzw. hypergeometriche Wahrcheinlichkeiten im Vordergrund tehen ollen, o kann die Berechnung der Wahrcheinlichkeiten P(X =, =,...,90, auch ander gechehen, indem man die Überlegungen vorne beginnt bei =. Der erte der intereierenden Wahrcheinlichkeitwerte it ehr einfach zu erhalten: P(X = = 1. Genau eine der möglichen Ziehungergebnie bei Ziehungen (au der Menge {1,...,90} ohne Zurücklegen, Reihenfolge irrelevant it güntig. Wie berechnet man P(X = 16? Bei 16 Ziehungen gibt e 16 mögliche Ziehungergebnie, güntig davon ind ene, bei denen Zahlen au der gewünchten Menge b 1,...,b tammen und eine Zahl au den retlichen 75 Zahlen: ( ( Aber hier it im Zähler bei der Anzahl der güntigen Möglichkeiten auch noch ene (für X = 16 zu Unrecht inkludiert, da man chon nach Ziehungen eine BINGO-Zahlen hat, d. h. wir haben eintweilen nur P(X 16 augerechnet. Davon müen wir nur P(X = = P(X abziehen und erhalten P(X = 16: P(X = 16 = 1 ({ }}{ ( } {{ } P(X 16 1 }{{} P(X Da ( = 1 (e müen a alle Zahlen de BINGO-Schein gezogen werden, und dafür gibt e nur eine Möglichkeit bei Ziehungen, braucht man hier eigentlich gar nicht hypergeometriche Wahr- cheinlichkeiten der Art gleich chreiben ( Analog erhält man zunächt bzw. allgemein P(X = P(X 17 = ( 75 ( ( ( , ondern kann =: f (, =,...,90, denn da Ereigni {X } tritt genau dann ein, wenn nach Ziehungen alle Zahlen de BINGO- Schein vorliegen und omit die güntigen Fälle darin betehen, au den übrigen 75 Kugeln noch Kugeln zu ziehen. Dabei oll wie in der Mathematik wegen 0! := 1 üblich ( 75 0 := 1 geetzt werden. Damit lät ich allgemein P(X = = f ( f ( 1 (2 berechnen, wobei ich hier EXCEL oder ein CAS hervorragend einetzen laen. Man kann ich leicht davon überzeugen, da (1 und (2 äquivalent ind. Der entcheidende Trick bei dieer Herangehenweie it, da man zu den eigentlich intereierenden Wahrcheinlichkeiten P(X = über die Wahrcheinlichkeiten P(X durch Differenzbildung kommen kann (Hinwei von der Lehrkraft!. Schüler(innen haben chon ehr viel geleitet, wenn ie elbtändig Wahrcheinlichkeiten der Art P(X berechnen können, dazu it ein ehr vertändiger Umgang mit Auwahlen ohne Beachtung der Reihenfolge, d. h. Kombinationen ohne Wiederholung bzw. Binomialkoeffizienten nötig. 4

5 3.3 Uminterpretation al BINGO-Lotto Man kann auf die Formel für P(X = auch noch auf eine dritte Art kommen. Wir betrachten die Zahlen de Spieler (auf einem BINGO-Schein al rote Kugeln und die übrigen 75 Zahlen al chwarze Kugeln. Für unere Fragetellung kommt e nämlich gar nicht auf die genauen Zahlen an. E werden nun der Reihe nach rein zufällig alle Kugeln gezogen, und e wird von link nach recht in zeitlicher Reihenfolge der Ziehungen ein 90-Tupel (c 1,c 2,...,c 90 gebildet, wobei c rot bzw. chwarz it, fall die -te gezogene Kugel rot bzw. chwarz it. E entteht ein 90-Tupel, in dem Mal rot und 75 Mal chwarz teht, wobei keine der Ziehungmöglichkeiten bevorzugt it, d. h. ie ind alle gleich wahrcheinlich. Die Nummer de Platze, auf dem am weiteten recht rot liegt, it die Realiierung der obigen Zufallvariablen X. Diee Anordnung kann man aber auch al Realiierung eine BINGO-Lotto au 90 anehen, denn die Nummern der Plätze, auf denen die roten Kugeln liegen, ind verchiedene Zahlen im Bereich von 1 bi 90, wobei alle -Auwahlen gleich wahrcheinlich ind. X hat alo die gleiche Verteilung wie die größte BINGO-Lotto-Zahl. Die Wahrcheinlichkeit, da allgemein bei einem au 90 Lotto die größte Gewinnzahl gleich it, it gleich 14, denn die güntigen Fälle ind die, bei denen von den 1 Zahlen, die kleiner al ind, 14 augewählt werden. Die Geamtzahl aller Möglichkeiten it. Man erhält alo hier al Ergebni P(X = = 14, =,...,90. (3 Wie in Abchnitt 3.1 liefert auch diee Überlegung direkt eine Formel für P(X =, ohne da wir zuert die Wahrcheinlichkeiten P(X betimmen müen. Man kann ich wiederum leicht davon überzeugen, da (3 äquivalent zu (1 und (2 it. Damit tehen drei verchiedene Varianten zur Verfügung, alo Richtungen, in die Schüler(innen arbeiten können. Die Lehrkräfte können ihre icher nötigen Hinweie (ohne gleich alle zu verraten e nach Schüler(innengruppe auch in drei verchiedene Richtungen teuern. Selbt wenn hier Selbtändigkeit bei der Schüler(innenarbeit nicht im Zentrum tehen wird, edenfall wird dabei ein vertändiger Umgang mit Zufallvariablen, Binomialkoeffizienten und mit dem Begriff de Erwartungwert gefördert und gefordert, dabei handelt e ich um drei ehr wichtige Bereiche der Obertufentochatik. Wir möchten an dieer Stelle nochmal auf die Möglichkeit eine innvollen Computer- Einatze hinweien (Berechnung der Einzelwahrcheinlichkeiten und de Erwartungwerte und auf die Tatache, da die kontraintuitiven Ergebnie nach Aufklärung verlangen und o al Motivationquelle dienen können. Nun könnten Schüler(innen auch chon da analoge Problem beim Amerikanichen BINGO löen: Hier hat man 75 mögliche Zahlen, au denen gezogen wird, und man wartet auf 24 pezielle Zahlen auf dem eigenen BINGO-Schein ( coverall. Die meiten Schüler(innen werden von ich au mit dieem Reultat beim 90-BINGO (Einzelwahrcheinlichkeiten und Erwartungwert zufrieden ein, aber die Lehrkraft kann hier noch viele weitere Aktivitäten anregen, z. B. da man eine allgemeine Formel erarbeitet iehe Abchnitt 5. Diee Reultate (Monotonie, großer Erwartungwert ind icher für viele ehr unerwartet und kontraintuitiv, wobei man eine Erhöhung der Plauibilität z. B. dadurch erreicht, da man eine einfachere Situation wie im folgenden Abchnitt betrachtet. 4 Wie wäre die Situation, wenn der BINGO-Schein nur eine Zahl hätte? Wie viele Ziehungen müte man hier im Durchchnitt warten? Die Zufallvariable X bezeichne die Anzahl nötiger Ziehungen, bi diee eine betimmte Zahl gezogen wird. Al diee betimmte Zahl können wir un tellvertretend die 1 vortellen. Die möglichen Auprägungen von X ind die Zahlen 1,...,90. Für den Erwartungwert brauchen wir die einzelnen Wahrcheinlichkeiten P(X = i für i = 1,...,90. Hier it die Situation noch ehr leicht: Da Ereigni {X = i} bedeutet, da die 1 al i-te Kugel gezogen wird. Ein einfache Symmetrieargument (keine Kugel it für die Ziehung an i-ter Stelle bevorzugt ergibt P(X = i = 1 90 für alle i = 1,...,90. Etwa umtändlicher ieht man da auch o: P(X = 1 = 1 90, P(X = 2 = , P(X = 3 = Daher lät ich der zugehörige Erwartungwert E(X leicht aurechnen: E(X = = 45,5. Man mu alo durchchnittlich chon 45,5 Ziehungen abwarten, bi eine einzige (betimmte Zahl kommt vielleicht waren erte intuitive Schätzungen 5

6 davon gar nicht o weit weg für den Fall, da man auf alle Zahlen de BINGO-Schein wartet? Man ieht hier alo chon, da diee Zahl icher deutlich höher ein mu! Ohne da man genauer überlegt, wird man bei den Zahlen de BINGO-Schein intuitiv die oben chon angedeutete trenge Monotonie vermutlich nicht erahnen, man wird eher vermuten, da die Wahrcheinlichkeitwerte P(X = i beginnend bei einem ehr kleinen Wert für i = langam wachen werden, irgendwo ein Maximum erreichen und dann wieder zu P(X = 90 abfallen. Aber chon bei einer Zahl gibt e keine Phae de Abfallen der Wahrcheinlichkeiten (Kontanz!, und wenn man auf mehr Zahlen wartet, o wird ich die Wahrcheinlichkeitmae klarerweie nach recht verchieben, da e mit teigender Anzahl von Zahlen immer chwieriger wird, da diee alle bald gezogen werden. Die it chon eine erte Plauibilitäterklärung für die überrachende Monotonie der Wahrcheinlichkeiten P(X = i. Vielleicht hilft hier auch die Erkenntni, da die Wahrcheinlichkeit, da die größte der beiden Augenzahlen beim zweifachen Würfelwurf gleich k it, monoton mit k wächt. In unerem Fall handelt e ich um die größte von Wartezeiten (ede der Zahlen auf dem BINGO- Schein mu gezogen werden!. Natürlich könnte man nun fragen: Wie wäre die Situation, wenn der BINGO-Schein zwei bzw. drei Zahlen enthielte? Leider it hier die Sache nicht mehr o einfach wie bei einer Zahl, und man mu hier prinzipiell chon in eine der drei angedeuteten Richtungen denken (iehe oben bei Zahlen, oder allgemein iehe unten. Trotzdem wäre e im Unterricht vielleicht hilfreich, Schüler(innen den Tipp zu geben, e zuert einmal mit einem BINGO-Schein mit zwei Zahlen zu veruchen 4, um diee Erkenntnie dann auf einen BINGO-Schein mit Zahlen zu übertragen. 5 Allgemeine Betrachtungen Nun löen wir un vom konkreten BINGO-Problem mit Zahlen auf dem Schein und 90 möglichen Zahlen bzw. Kugeln in einer Urne und betrachten die Situation allgemein. 4 Ein bichen leichter it e a vermutlich doch?! E wird au einer Urne mit den Zahlen {1,2,...,} gezogen, auf dem BINGO-Schein tehen r Zahlen. Klarerweie darf man dabei tellvertretend an die Zahlen {1,2,...,r} denken wegen der Gleichwahrcheinlichkeit aller Reihenfolgen von Nummern gezogener Kugeln. In Analogie zu den Abchnitten werden nun die zugehörigen allgemeinen Überlegungen bzw. Formeln erarbeitet. Obwohl die Schritte im Prinzip nicht komplizierter ind al im konkreten Fall, it e für Schüler(innen vermutlich eine ehr anpruchvolle Aufgabe, da in elbtändiger Arbeit zu erledigen, auch wenn vorher da konkrete au 90-BINGO thematiiert wurde. Man kommt aber zu allgemein gültigen Formeln und Verallgemeinern it ein ehr wichtige Prinzip in der Mathematik. 5.1 Beginn hinten Man kann die Denkweie hinten beginnen leicht verallgemeinern und kommt zu folgendem Ergebni: P(X = = r Für {X = 1} mu an der -ten Stelle eine au den anderen r Zahlen gezogen werden, die vorletzte Ziehung mu eine Zahl au b 1,...,b r bringen. Daher ergibt ich Analog erhalten wir P(X = 1 = r r 1. P(X = 2 = r r 1 r 1 2 P(X = 3 = r r 1 r 1 2 r 2 3 und allgemein P(X = = bzw. P(X = = r r ( r ( r 1... ( r + 1 ( 1... ( r! ( r!!! = r,...,. (4 5.2 Binomialkoeffizienten hypergeometriche Wahrcheinlichkeiten In der Denkweie mit Binomialkoeffizienten bzw. hypergeometrichen Wahrcheinlichkeiten (vorne beginnen ergibt ich analog: P(X = Durch Differenzbildung ( r r (, = r,..., P(X = = P(X P(X 1 6

7 erhält man dann nach direkter Rechnung da Reultat P(X = = r 1 ( r, = r,...,. (5 Man kann ich leicht davon überzeugen, da diee Ergebni gleichwertig zu (4 it. Die Beziehung P(X = = r/ teht a am Anfang der Methode hinten beginnen, ie folgt aber auch direkt au Formel (5. Auch die chon angeprochene Monotonie der Wahrcheinlichkeiten (bei hinten beginnen direkt klar it hier zu erhalten, denn au (5 ergibt ich unmittelbar der Zuammenhang (Rekurionformel, = 1, 2,...,r: P(X = + 1 = P(X = r + 1 } {{ } >1 = ( 1 r r = 1 ( r r = =r r ( + 1 r + 1. ( r ( + 1 r + 1 Dabei ergibt ich da dritte Gleichheitzeichen am einfachten au (5, wenn man r und durch r + 1 bzw. + 1 eretzt und bedenkt, da die Summe über alle Wahrcheinlichkeiten gleich 1 it 5 : P(X = = +1 r ( +1 =r+1 r+1 r ( +1 r+1 = 1, = r + 1,..., + 1 =r ( = r ( + 1 r BINGO-Lotto Wir betrachten die r Zahlen de Spieler (r Zahlen am BINGO-Schein al rote Kugeln und die übrigen r Zahlen al chwarze Kugeln, denn für unere Fragetellung kommt e gar nicht auf die genauen Zahlen an. Wenn man nun den Text von Abchnitt 3.3 wörtlich übernimmt und ich dabei r tatt bzw. tatt 90 denkt, o erhält man ganz analog: P(X = = r 1 ( r, = r,..., (6 Diee Ergebni timmt mit (5 überein und it äquivalent zu (4. Auch diee Überlegung liefert direkt Formel für P(X =, ohne da wir zuert die Wahrcheinlichkeiten P(X betimmen müen. 5.4 Erwartungwert Für den Erwartungwert E(X = P(X = (7 =r ergibt ich der gechloene Audruck E(X = r ( + 1 r + 1. (8 Dieen erhält man wie folgt au (6 und (7: E it E(X = ( 1 ( 1 r r 1 =r 5 Altenativ dazu kann man auch da Geetz der oberen Summation n k=m S. 62 verwenden. Ein intuitive Vertändni von (8 gewinnt man wie folgt: Wir tellen un alle Zahlen von 1 bi in einer rein zufälligen Reihenfolge in einem -Tupel (a 1,a 2,...,a angeordnet vor (dabei ei a die Nummer der al -te gezogenen Kugel. Bezeichnet Z i die zufällige Poition, an der zum i-ten Mal eine Zahl au der Menge {1,2,...,r} gezogen wird, o definieren die Differenzen Z 1 0, Z 2 Z 1, Z 3 Z 2,...,Z r Z r 1 und (+1 Z r Abtände im Intervall [0,+1]. Diee Abtände haben au Symmetriegründen die gleiche Verteilung (iehe auch Henze (1995 und omit den gleichen Erwartungwert. Da die Summe der Abtände gleich + 1 it und ingeamt r + 1 Abtände vorliegen, beitzt eder von ihnen den Erwartungwert ( + 1/(r + 1. Da e bi zur letzten der r Zahlen eben r olche Abtände gibt, folgt E(X = r ( + 1/(r + 1. Man erhält dadurch auch, da die Wartezeit, bi irgendwelche k der r vorgegebenen Zahlen de BINGO-Schein aufgetreten ind, den Erwartungwert k ( + 1/(r + 1 beitzt. E it beim Unterricht zu dieem Thema auch ehr gut möglich, ich auf den konkreten Fall mit r = und = 90 zu bechränken und diee allgemeinen Betrachtungen nicht durchzuführen (dabei it dann auch chon viel geleitet worden, vielleicht noch ergänzt durch eine ohnehin relativ anpruchvolle Simulation (z. B. mit EXCEL. Anderereit ind die allgemeinen Betrachtungen in dieem Abchnitt auch kaum komplizierter al im konkreten Fall (iehe Abchnitt 3, daher halten wir e auch für möglich (anpruchvolle Aufgabe!, da Schüler(innen den ( k ( m = n+1 m+1 für Binomialkoeffizienten (iehe Henze (2010, 7

8 allgemeinen Fall dann elbtändig bearbeiten, nachdem der konkrete Fall gemeinam mit der Lehrkraft behandelt wurde. Sie brauchen bei den Wahrcheinlichkeiten P(X = im Weentlichen a nur durch r und 90 durch zu eretzen. Den gechloenen Audruck (8 für den Erwartungwert können Schüler(innen natürlich nicht in elbtändiger Arbeit finden. 6 Wartezeit, bi alle Zahlen irgendeiner Reihe auftreten Die folgenden Überlegungen ind nicht mehr für den Schulunterricht gedacht, ondern eher für die Lehrer(innenaubildung. Sie greifen die erten beiden Stufen von BINGO auf der erten Seite diee Aufatze auf, ind aber tochatich geehen doch an- pruchvoller und ollen hier nur in aller Kürze dargeetllt werden (ohne fachdidaktiche Kommentare. Bezeichnet X k die Anzahl der nötigen Kugeln, die gezogen werden müen, bi alle fünf Zahlen der k-ten Reihe auftgetreten ind (k = 1,2,3, o müen Y := min(x 1,X 2,X 3 Kugeln gezogen werden, bi alle fünf Zahlen irgendeiner Reihe vorgekommen ind. Man beachte, da Y die möglichen Werte 5,6,...,88 annimmt, denn päteten im 88. Zug wird eine von drei Fünferreihen komplettiert. Da da Ereigni {Y } genau dann eintritt, wenn mindeten eine der Ereignie A k := {X k }, k = 1,2,3, (9 eintritt, liefert die Formel de Ein- und Auchließen (iehe Henze (2010, S. 73 P(Y = P(A 1 + P(A 2 + P(A 3 P(A 1 A 2 P(A 1 A 3 P(A 2 A 3 + P(A 1 A 2 A 3. Dabei wurde da Durchchnittzeichen zwichen Ereignien der Kürze halber weggelaen. Da die Ereignie A 1, A 2, A 3 au Symmetriegründen die gleiche Wahrcheinlichkeit beitzen (man wartet eweil darauf, da 5 der 90 Zahlen gezogen werden und auch die Durchchnitte A 1 A 2, A 1 A 3 und A 2 A 3 gleich wahrcheinlich ind (in dieem Fall wartet man eweil darauf, da 10 der 90 Zahlen gezogen werden, gilt P(Y = 3P(A 1 3P(A 1 A 2 + P(A 1 A 2 A 3. Offenbar it A 1 A 2 A 3 gleich dem Ereigni {X } mit X wie in Abchnitt 5, wa bedeutet, da P(A 1 A 2 A 3 durch die rechte Seite von Gleichung (1 (mit = 90 und r = gegeben it. Da man im Fall von A 1 bzw. A 1 A 2 darauf wartet, da vorgegebene 5 bzw. 10 Nummern gezogen werden, ind P(A 1 und P(A 1 A 2 ebenfall durch die rechte Seite von (1 gegeben, wobei = 90 owie einmal r = 5 und einmal r = 10 einzuetzen it. E folgt alo P(Y = 3 ( ( ( 75, = 5,6,...,88. Hierbei verwenden wir die Konvention, da ein Binomialkoeffizient ( n m im Fall m < 0 zu Null geetzt wird. Durch Bildung der Differenz P(Y P(Y 1 = P(Y = erhält man analog zu Abchnitt 5 da Reultat P(Y = = (10 ( = 5,6,...,88. Hierbei vereinbaren wir, einen Binomialkoeffizienten ( n m mit n < m zu Null zu etzen. Im Gegenatz zur Verteilung von X au Abchnitt 5 hängen die Wahrcheinlichkeiten P(Y = nicht monoton von ab, e gibt ein Maximum bei = 71. Mit Computer und (10 erhält man die in der folgenden Tabelle 2 angegebenen Werte P(Y =. P(Y = P(Y = 88 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0166 Tabelle 2: Verteilung der Wartezeit auf irgendeine Reihe von fünf Zahlen beim 90-BINGO 8

9 Der Erwartungwert von Y ergibt ich zu E(Y = 88 P(Y = =5 = ,63 7 Wartezeit, bi alle 10 Zahlen zweier beliebiger Reihen auftreten E bezeichne Z die Wartezeit, bi alle 10 Zahlen zweier beliebiger Reihen de BINGO-Schein auftreten. Da da Ereigni {Z } genau dann eintritt, wenn mindeten zwei der drei in (9 eingeführten Ereignie A 1, A 2 und A 3 eintreten und letztere Ereigni die Wahrcheinlichkeit P(A 1 A 2 + P(A 1 A 3 + P(A 2 A 3 2P(A 1 A 2 A 3 beitzt (Venn-Diagramm!, o folgt aufgrund der Gleichwahrcheinlichkeit der Ereignie A 1 A 2, A 1 A 3 und A 2 A 3 P(Z = 3 P(A 1 A 2 2 P(A 1 A 2 A 3 = 3 ( hierbei läuft von 20 bi ( 75 ; Durch Differenzbildung wie oben ergibt ich die Verteilung von Z zu P(Z = = 3 ( = 20,21,..., (11 Tabelle 3 zeigt einige Werte für P(Z =. Auch hier hängen die Wahrcheinlichkeiten P(Z = nicht monoton von ab, e gibt ein Maximum bei = 83. Analog zu früher erhält man au (11 den Erwartungwert von Z zu Literatur E(Z = ,56. Ethier, S.N. (2010: The Doctrine of Chance Probabilitic Apect of Gambling. Springer, New York u. a. Henze, N. (1995: The ditribution of pace on lottery ticket. The Fibonacci Quarterly 33, Henze, N. (2010: Stochatik für Einteiger. 8. Auflage: Verlag Vieweg-Teubner. Anchriften der Verfaer: Prof. Dr. Norbert Henze Intitut für Stochatik Karlruher Intitut für Technologie (KIT Kaiertr Karlruhe Henze@kit.edu Prof. Dr. Han Humenberger Fakultät für Mathematik Univerität Wien Nordbergtr. A-1090 Wien han.humenberger@univie.ac.at P(Z = P(Z = 89 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0230 Tabelle 3: Verteilung der Wartezeit auf irgendwelche zwei der drei Reihen von fünf Zahlen beim 90-BINGO 9