Übungen zur Vorlesung. Einführung in Dynamische Systeme. Musterlösungen zu Aufgabenblatt 9

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1 Prof. Rolan Gunesch Sommersemester 2010 Übungen zur Vorlesung Einführung in Dynamische Systeme Musterlösungen zu Aufgabenblatt 9 Aufgabe 1: Eine Isometrie eines metrischen Raums X ist eine Abbilung f : X X, so ass für alle x, y X gilt ( f (x), f (y)) = (x, y). Sei f : T k T k eine Isometrie es k-torus. Zeigen Sie: Es existiert δ > 0, so ass für alle ε > 0 ein ε-pseuo-orbit (x i ) i N existiert, welches nicht von einem echten Orbit δ- beschattet wir. D.h. für jeen Punkt y T k gibt es i N mit ( f i (y), x i ) > δ. Zunächst zeigen wir ie Aussage für Isometrien, ie Translationen sin,.h. es gibt es einen Translationsvektor γ R k, so ass f ie Translation f γ ist, mit f γ ([x]) := [x + γ]. Sei also f = f γ so eine Translation f = f γ : [x] [x + γ]. Dann gilt für alle i Z, ass f i ([x]) = [x + iγ]. Sei δ := 1/10. Sei e ein beliebiger Einheitsvektor im R k, z.b. e = (O.B..A ε < 1/10). Definiere as Orbit (p i ) i Z in T k urch p i := [i(γ + εe = f i γ+εe([0]) Sei ε > 0 beliebig Dann ist (p i ) i Z ein Orbit von f γ+εe auf em Torus. Außerem ist (p i ) i Z ein 2ε-Pseuo- Orbit für f γ, enn (p i+1, f γ (p i )) = ([(i + 1) (γ + εe, [i(γ + εe) + γ]) = εe =ε. 1

2 Aber (p i ) i Z wir nicht von einem echten Orbit beschattet, enn (p i+j, f j γ(p i )) = ([(i + j) (γ + εe, [i(γ + εe) + jγ]) = jεe =jε >δ für j geignet, z.b. j = Damit ist ie Behauptung für Translationen f gezeigt. Nun zeigen wir ie Aussage für beliebige Isometrieen: 1. 2ε Wenn f Isometrie es k-torus ist, ann gibt es einen Translationsvektor γ R k un eine Isometrie I es k-würfels [0, 1] k, so ass f ie Verkettung er Torus-Translation f γ un I ist,.h. f ([x]) = [I(x) + γ]. Jee Isometrie es k-würfels bilet Eckpunkte auf Eckpunkte ab. Außerem ist iese Isometrie eine Verkettung von starren Drehungen un Spiegelungen. Es gibt also nur enlich viele Isometrien es k-würfels. Diese sin außerem Bijektionen. Also ist I m = i für ein m N. Daraus un aus er Gleichung f ([x]) = [I(x) + γ] folgt, ass f m eine Translation ist. Deshalb ist ie Behauptung für f m schon gezeigt. Damit gilt sie automatisch auch für f, enn jees δ-beschattene Orbit für f ist auch ein δ-beschattenes Orbit für f m. Umgekehrt gesagt, wenn wir eine Punktefolge (p i ) i Z konstruiert haben, so ass (p i ) i Z ein ε-pseuo-orbit für f m ist, welches nicht von einem echten Orbit δ-beschattet wir, ann kann auch keine Punktefolge (q i ) i Z, welche ein ε-pseuo-orbit für f ist, nicht von einem echten Orbit δ-beschattet weren. Wir können efinieren q mj+i := f j (p i ) für j {0, 1,..., i 1}. Dies ist per Konstruktion ein ε-pseuo-orbit für f un nicht δ-beschattet von einem echten f -Orbit. Aufgabe 2: a) Zeigen Sie, ass für eine Funktion H C 2 (R 2n, R) er Fluss es hamiltonschen Systems ( ) 0 i u = grah(u), u R i 0 2n,.h. ( H t (u 1,..., u 2n ) T H =,...,, H,..., H ) T, u n+1 u 2n u 1 u n volumenerhalten ist. Das zugehörige Vektorfel f (u) = t (u 1,..., u 2n ) = ( H H,...,, H,..., H ) u n+1 u 2n u 1 u n 2

3 hat Divergenz iv f = + + = 0. u n+1 u 1 u 2n u n u 1 u n+1 u n u 2n b) Zeigen Sie, ass für ieses hamiltonsche System ie Funktion H (genannt Hamilton- Funktion) selbst invariant ist. Zu zeigen ist, ass H(ϕ t (u)) = H(u) für alle t R ist, wobei ϕ er Hamilton-Fluss ist. Es ist H H(u) = u H u 2n t u 1 u 2n = H u 1 = 0. H + + H H u n+1 u n u 2n H H H H u n+1 u 1 u 2n u n c) Zeigen Sie: Für eine Hamilton-Funktion H C 2 (R 2, R) ist jee Niveaumenge von H, ie eine geschlossene Kurve ist un keine kritischen Punkte von H enthält, ein perioisches Orbit es hamiltonschen Systems t (u 1, u 2 ) T = ( H, H ) T, u R 2. u 2 u 1 M c := f 1 (c) ist nach Voraussetzungen eine geschlossene Kurve. Zunächst ist as Vektorfel f (u) = u tangential an ie Kurve, enn f (u) ist nach Konstruktion sekrecht zum Graient von H un ieser senkrecht zu en Niveaulinien. Somit bleibt jees Orbit, as auf M c beginnt, auch auf M c. Nach Voraussetzung enthält M c keine kritischen Punkte, also ist 0 < min f (u) =: K. u M c Wegen er Annahmen an H ist iese Kurve stetig ifferenzierbar, hat also enliche Länge L. Somit muss as Orbit spätestens nach Zeit L/K wieer auf sich selbst treffen. Somit ist es perioisch. Aufgabe 3: Sei f : M M ein Diffeomorphismus einer Mannigfaltigkeit M. Auf M [0, 1] ist ie Äquivalenzrelation so efiniert, ass sie genau ie folgenen Äquivalenzen enthält: Jeer Punkt in M [0, 1] ist zu sich selbst äquivalent, un außerem gilt a) Zeigen Sie: Die Formel ψ t ([(x, θ) := x M : (x, 1) ( f (x), 0). [( mit a := max{k Z : k a} 3

4 efiniert einen Fluss auf S := (M [0, 1])/. Erstens gilt für θ [0, 1), ass ψ 0 ([(x, θ) = [( f 0+θ (x), 0 + θ 0 + θ = [( f 0 (x), θ 0 = [(x, θ. Weiterhin gilt für alle r R un k Z, ass Folglich ist ψ s (ψ t ([(x, θ)) = ψ s ([( [ = = r + k r + k = r r. ) ] ( f s+t+θ t+θ ( f t+θ (x)), t + θ t + θ + s t + θ t + θ + s ) [( f t+θ + s+t+θ t+θ (x), s + t + θ s + t + θ =ψ s+t ([(x, θ). b) Zeigen Sie: Das iesen Fluss erzeugene Vektorfel V : S TS = TM R hat ie Form V (0, 1). Bemerkung: Dieser Fluss heißt ie Suspension bzw. er Suspensionsfluss von f. Das Vektorfel V zu einem Fluss ϕ ist gegeben urch V(p) = t ϕ t (p). Sei p = (x, θ) S. Sei zunächst θ nicht ganzzahlig. Dann ist ie Funktion t t + θ konstant für alle t in einer offenen Umgebung U R von 0. Dann ist auch t f t+θ (x) konstant auf U. Also gilt für alle t U, ass ( ) = (const, t + const). Deshalb ist V(p) = t ϕ t (p) = [( t = ( t =(0, 1). ) 4

5 Aufgabe 4: Sei a n := ie letzte Ziffer von 2 n in Dezimalarstellung, b n,k := ie letzten k Ziffern (k N) von 2 n un c n := ie erste Ziffer von 2 n. Sei n,α := α 2 n (mo 1) (mit α R). Beweisen oer wierlegen Sie: a) a n ist perioisch mit Perioe 4 un urchläuft ie Folge 2,4,8,6. Wenn m urch 10 teilbar ist, ann auch 2m. Deshalb hängt ie letzte Ziffer von 2 n+1 nur von er letzten Ziffer von 2 n ab. Es gibt nur enlich viele Kombinationen, also muss es eine Wieerholung geben un ab a ist a n perioisch. So eine Folge heißt präperioisch. Damit sie wirklich perioisch ist, muss sich a 1 wieerholen. Wegen a 1 = 2, a 2 = 4, a 3 = 8, a 4 = 6, a 5 = 2 = a 1 ist as er Fall un as Orbit ist wie angegeben. b) b n,k ist perioisch für jees k. Die letzten k Ziffern von 2 n+1 hängen ebenfalls nur von en letzten k Ziffern von 2 n ab. Also ist b n präperioisch. b 1 wieerholt sich für k > 1 aber nicht, enn b N = b 1 = impliziert b N 1 = oer b N 1 = , was ungerae ist un somit keine Enziffern einer Potenz von 2. c) c n ist perioisch mit Perioe 10 un urchläuft ie Folge 2,4,8,1,3,6,1,2,5,1. Diese Folge sieht täuschen nach einer perioischen aus, jeoch ist c 46 = 7 un nicht 6. Solche Abweichungen von em perioischen Muster treten auch für beliebig große n auf. ) Wenn α rational ist, ann ist ie Folge n,α prä-perioisch. α = p/q, also hat jees Folgenelement wieer en (ungekürzten) Nenner q un es gibt auf em 1-Torus nur enlich viele Äquivalenzklassen avon. 5