Stetigkeit und Differenzierbarkeit

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1 Kapitel 5 Stetigkeit un Differenzierbarkeit 5.1 Stetigkeit Unstrenge Definitionen : Eine Funktion heißt stetig, wenn - man ihren Graphen mit em Bleistift ohne Absetzen zeichnen kann; - kleine Änerungen er Urbiler nur kleine Änerungen er Biler zur Folge haben. Beispiele für unstetige Funktionen kann man urch ihre Graphen leicht angeben. Definition: Eine Funktion f : D R mit D R heißt stetig in x 0 D : ε > 0 δ > 0 : x D : 1

2 x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε. f heißt stetig, wenn f stetig ist in allen x 0 D. Was braucht man für ie praktische Arbeit? Einen Vorrat an Funktionen, von enen man weiß, ass sie stetig sin. Rechenregeln für stetige Funktionen. Das kommt noch. Frage: Was ist, wenn x 0 nicht im Definitionsbereich D von f liegt? Definition: Eine Funktion f : D R mit D R hat in x 0 en Grenzwert oer Limes y 0 : un δ > 0 : x D mit x x 0 < δ ε > 0 δ > 0 : x D : x x 0 < δ f(x) y 0 < ε. 2

3 Man schreibt ann: lim x x 0 f(x) = y 0. Beispiel: f(x) := x x ist efiniert auf R \ {0}. Es gilt aber lim x 0 f(x) = 1. Die Funktion f ist sogar stetig fortsetzbar auf ganz R. Bemerkung: Eine Funktion f : D R mit D R ist in x 0 D stetig lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Frage: Was ist zum Beispiel mit f(x) = x x? f(x) = { 1 falls x > 0 1 falls x < 0 Offenbar ist es sinnvoll, zu sagen: Der rechtsseitige Grenzwert von f(x) für x gegen 0 ist 1, er linksseitige Grenzwert ist -1, in Zeichen: lim x 0 f(x) = 1, lim f(x) = 1. + x 0 Frage: Was ist zum Beispiel mit f(x) = 1 x? 3

4 Am Graph von f sieht man as Verhalten für x gegen 0 von links un von rechts her. Man sagt: lim x 0 f(x) = + =, lim f(x) =. + x Rechenregeln für Grenzwerte Existieren ie Grenzwerte un ie araus berechneten Ausrücke auf er rechten Seite er folgenen Gleichungen, so auch ie Grenzwerte auf er linken Seite, un es gilt ie angegebene Gleichheit: Dabei ist (Vereinbarung!): > 0, < 0, a+ = für a, a = für a, a = a = für a > 0, a = a = für a < 0, a ( ) = ( ) a = für a > 0, a ( ) = ( ) a = für a < 0, 4

5 a = 0 un a = 0 für a ±., 0 un sin (meist) sinnlose Ausrücke. Rechenregeln: lim(f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) x a x a x a lim(f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x) x a x a x a lim x a f(x) g(x) = lim x a f(x) lim x a g(x) falls lim x a g(x) 0 lim f(g(x)) = f(lim g(x)) x a x a falls lim g(x) = b un lim f(x) = f(b) existieren x a x b Bemerkung: Der Grenzwert einer Konstanten ist natürlich gleich ieser Konstanten! 5.2 Differenzierbarkeit Die Differentialrechnung, un ihre Umkehrung, 5

6 ie Integralrechnung stammen aus em 17. bis 18. Jahrhunert un sin immer noch Forschungsgebiet. Mit ihrer Hilfe kann man effizient Probleme lösen, ie vor 400 Jahren große Probleme bereiteten. Schon ie alten Griechen konnten einzelne Aufgaben er Differential- un er Integralrechnung lösen, aber immer nur für einzelne Kurven mit einer bestimmten Methoe. Gottfrie Wilhelm Leibniz ( ) entwickelte eine Schreibweise, mit er man sehr einfach viele Probleme auf gleiche Weise lösen kann. Isaac Newton (1642/ ), ein Vorläufer von Hawking auf emselben Lehrstuhl, hatte einen Prioritätsstreit mit Leibniz, auch weil seine Methoe unverstänlich war. 6

7 5.2.1 Die Ableitung einer ifferenzierbaren Funktion Seien a, b R, a < b, I :=]a, b[, f : I R eine Funktion un x 0 I. Dann heißt f im Punkt x 0 wenn gilt: ifferenzierbar, Der Differenzenquotient (Figur!) f x := f(x) f(x 0) =: f(x 0 + h) f(x 0 ) x x 0 h hat für x gegen x 0 oer - amit gleichwertig - für h gegen 0 einen eineutig bestimmten enlichen Grenzwert. Dann heißt 7

8 lim x 0 f x = lim f(x) f(x 0 ) = x x 0 x x 0 lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h ie Ableitung oer er Differentialquotient von f an er Stelle x 0 oer in x 0, un wir auch bezeichnet mit: f (x 0 ) oer f(x) x x 0 oer x f(x) x 0. In Worten liest man: f(x) nach x oer nach x von f(x) an er Stelle x 0. Schreibt man y = f(x), so schreibt man auch kurz y statt f (x). Achtung: Der Differentialquotient ist kein Quotient. Er heißt nur so, 8

9 un in er Leibnizschen Schreibweise sieht er auch so aus. Das ist praktisch, weil es Rechnungen gibt, in enen man so tun kann, als ob man in einem Bruch kürzen würe. Die Funktion f heißt auf I ifferenzierbar, wenn f in jeem Punkt von I ifferenzierbar ist. Dann ist f : I R, x f (x) eine Funktion. Die Funktion f heißt ie Ableitung von f. Ist f wieer ifferenzierbar, so kann man ie Ableitung von f bilen, also f, ie zweite Ableitung von f. Ist f ifferenzierbar, kann man f bilen. Ist f ifferenzierbar, kann man f =: f (4) bilen. f =: f (2), f =: f (3),... heißen auch höhere Ableitungen von f. Ergänzung zur Bezeichnung: f =: f (1), f =: f (0). 9

10 (Das ist oft praktisch bei Verwenung es Summenzeichens.) Satz: Ist eine Funktion f an einer Stelle x 0 ifferenzierbar, so ist f in x 0 auch stetig. Beweis: ohne Stetigkeit ist notwenig für Differenzierbarkeit, aber nicht hinreichen! Geometrische Deutung: Die Ableitung von f an er Stelle x 0 ist ie Steigung er Tangente es Graphen von f an er Stelle x 0. Daraus lesen wir ab: Ist f auf em Intervall I ifferenzierbar un ist ie Steigung von f auf ganz I > 0, so ist f streng monoton steigen, < 0, so ist f streng monoton fallen, 10

11 0, so ist f monoton steigen, 0, so ist f monoton fallen. Statt steigen sagt man auch wachsen, statt fallen auch abnehmen, (auch in Zusammensetzungen!) Die Kettenregel Vor.: I, J Intervalle, f : I J, g : J R ifferenzierbare Funktionen. Dann ist h := g f, ie Komposition oer Nacheinanerausführung von f un g in ieser Reihenfolge efiniert urch: g f : I R, (g f)(x) := g(f(x)). Es gilt: (g f) = (g f) f, also oer (g f) (x) = (g f)(x) f (x), 11

12 (g f) (x) = g (f(x)) f (x). Beweis: (g f)(x) (g f)(x 0 ) x x 0 = g(f(x)) g(f(x 0 )) x x 0 = g(f(x)) g(f(x 0 )) f(x) f(x 0 ) f(x) f(x 0) x x 0. Schreibt man nun y statt f(x), y 0 statt f(x 0 ), un gilt lim x x0 f(x) = f(x 0 ), so erhält man (g f)(x) (g f)(x 0 ) lim = x x 0 x x 0 also g(y) g(y 0 ) lim y y 0 y y 0 f(x) f(x 0 ) lim, x x0 x x 0 (g f) (x 0 ) = g (y 0 ) f (x 0 ). 12

13 Q.E.D Ableitung er Umkehrfunktion Vor.: f auf einem Intervall efiniert, in einem Punkt x 0 ifferenzierbar, in einem Intervall um x 0 umkehrbar. Bemerkung: Die Umkehrbarkeit erreicht man meist urch Verkleinerung es Definitionsintervalls. Skizze! Dann gilt: Ist f (x 0 ) 0, so ist auch ie Umkehrabbilung g ifferenzierbar, un zwar im Punkt f(x 0 ), un für ie Ableitung von g gilt: g (f(x 0 )) = 1 f (x 0 ). 13

14 Begrünung: g(y) g(y 0 ) = g(f(x)) g(f(x 0)) y y 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 f(x) f(x 0 ) = 1. f(x) f(x 0 ) x x 0 = Auf beien Seiten Übergang zum Grenzwert! Anere Begrünung: x : g(f(x)) = x Ableiten auf beien Seiten gibt: g (f(x)) f (x) = 1, (Kettenregel!) also: g (f(x)) = 1 f (x). 14

15 5.2.4 Beispiele für Ableitungen a) y = c = const. y = 0. Klar! b) y = x y = 1, a y = x. c) y = ax + b y = a, a y = y y 0 = ax+b (ax 0 +b) = a(x x 0 ) = a x. ) y = x 2 y = 2x, a y = y y 0 = x 2 x 2 0 = (x + x 0 )(x x 0 ) = (x + x 0 ) x. Übergang zum Grenzwert! e) y = x y = 1 2 x für x > 0, 15

16 a y = x ie Umkehrfunktion er Quaratfunktion ist. y = x x = y 2 x y = 2y y = y x = 1 x = 1 2y = 1 2 x. y Einfache Ableitungsregeln (f(x) + g(x)) = x x f(x) + x g(x) Die Ableitung einer Summe ist ie Summe er Ableitungen. Prouktregel: x (f(x) g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) Daraus folgt mit einer konstanten Funktion: 16

17 x (c f(x)) = cf (x) Ein konstanter Faktor bleibt bei Ableitung erhalten. Quotientenregel: f(x) x g(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) (g(x)) 2 (Nenner mal Ableitung es Zählers minus Zähler mal Ableitung es Nenners) urch Quarat es Nenners Ableitungen elementarer Funktionen Angabe einiger Ableitungen ohne Herleitung, zur späteren Verwenung: Zum Beispiel aus einer Formelsammlung entnimmt man: 17

18 x xn = nx n 1 für n R un erlaubte x R (Welche x R sin erlaubt? Zum Beispiel: Für n N 0 alle x R. Für n Z alle x R \ {0}. Für n Q mit geraem Nenner: x R +. Für n R: x R +.) speziell: x ax = a x ln a für a > 0 x ex = e x x log a x = 1 x log a e = 1 x ln a speziell: für a > 0, a 1, x > 0 x ln x = 1 x für x > 0 x sin x = cos x 18

19 x cos x = sin x x tan x = 1 cos 2 x für x kπ + π 2, k Z Dabei ist tan x = sin x cos x x cot x = 1 sin 2 für x kπ, k Z x Dabei ist cot x = cos x sin x Dabei ist x arcsin x = 1 1 x 2 x arccos x = 1 1 x 2 x arctan x = x 2 x arccotx = x 2 x sinh x = cosh x sinh x = ex e x 19 2 für x < 1 für x < 1

20 un Dabei ist cosh x = ex + e x x 2 cosh x = sinh x x tanh x = 1 cosh 2 x tanh x = sinh x cosh x x coth x = 1 sinh 2 x für x 0 Dabei ist coth x = cosh x sinh x Weitere Ableitungen elementarer Funktionen finet man in Formelsammlungen, vielleicht auch später in en Übungen. 20

21 5.3 Kurveniskussion Definitionsbereich Eine Abbilung f : D W ist gegeben, wenn gegeben sin: D, W un ie Zuornungsvorschrift f. Oft kennt man nur eine Rechenvorschrift y = f(x). Dann will man wissen, für welche x R er Ausruck f(x) sinnvoll ist. Man sucht D := {x R : Der Ausruck f(x) ist efiniert. } Man spricht von Ermittlung es Definitionsbereichs D von f. Anschließen kann man en Definitionsbereich wählen als beliebige Teilmenge von D - 21

22 passen zur Aufgabenstellung. Beispiel: f(x) = x + 1 x Notwenig ist x 0 un x 0. D = R Definitionslücken Sei er Ausruck f(x) efiniert auf einem Intervall I mit Ausnahme eines Punktes x 0 I. Dann nennt man x 0 eine Definitionslücke. Bsp: f 1 (x) = x x un f 2(x) = x x Da Division urch Null nicht erlaubt ist, ist in beien Fällen x 0 = 0 eine Definitionslücke. Falls lim x x0 f(x) R existiert, kann man f in x 0 stetig ergänzen. Man sagt auch: Die Definitionslücke ist stetig hebbar. 22

23 Bsp: Die Definitionslücke bei f 1 ist stetig hebbar, ie bei f 2 nicht Nullstellen Ist f(x 0 ) = 0, so heißt x 0 Nullstelle er Funktion f. Nullstellen linearer un quaratischer Funktionen können wir ausrechnen: ax + b = 0 mit a 0 x = b a. ax 2 +bx+c = 0 mit a 0 x 1,2 = b ± b 2 4ac. 2a Für Nullstellen von Polynomen ritten un vierten Graes gibt es bekanntlich ie Caranoschen Formeln, ie aber für en Tagesgebrauch zu umstänlich sin. Bei schönen Polynomen höheren Graes finet man Nullstellen mit viel Glück urch Probieren. Tipp: (Wieerholung) Sin im Polynom p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n 23

24 alle Koeffizienten ganzzahlig, setze man ie Teiler von a 0 in p ein. Kennt man eine Nullstelle x 0 von p, so ist q(x) := p(x) x x 0 ein Polynom kleineren Graes, un ie weiteren Nullstellen von p sin ie Nullstellen von q. Aus em Giftschrank: Systematisches Ausprobieren mit em Taschenrechner: Ist f stetig un f(a) < 0 un f(b) > 0, so liegt zwischen a un b eine Nullstelle von f. Ist ann f( a+b a+b 2 ) < 0, so liegt zwischen 2 un b eine Nullstelle von f; ist f( a+b a+b 2 ) > 0, so liegt zwischen a un 2 eine Nullstelle von f. Warum Giftschrank? Man finet eine Nullstelle, aber in er Regel nicht alle, 24

25 un vielleicht ie falsche. Wenn man mehr weiß (z.b., ass es genau eine Nullstelle gibt), ann ist Ausprobieren zulässig Pole Ist f(x) = P (x) Q(x), wobei P un Q Polynome sin, so heißt f gebrochen rationale Funktion. Ist Q(x 0 ) = 0 un P (x 0 ) 0, so ist ie Definitionslücke in x 0 nicht hebbar. Dann nennt man x 0 eine Polstelle oer einen Pol von f. In einer Polstelle ist lim x x + 0 f(x) {, } un lim x x 0 f(x) {, }. 25

26 Der Graph von f nähert sich er Geraen a mit er Gleichung x = x 0 immer mehr, ohne sie je zu erreichen, kommt ihr aber beliebig nahe. a heißt eine Asymptote es Graphen von f oer (kürzer:) von f. Genauer: eine senkrechte Asymptote von f Extremwerte Sei I ein Intervall, f : I R un x 0 I. Dann sagt man: f nimmt in x 0 ein lokales Maximum f(x 0 ) an, wenn gilt: ein Intervall J :=]x 0 δ, x 0 + δ[, so ass f(x) f(x 0 ) x J I. Man nennt x 0 ann lokale Maximalstelle. f nimmt in x 0 ein lokales Minimum f(x 0 ) an, wenn gilt: ein Intervall J :=]x 0 δ, x 0 + δ[, so ass 26

27 f(x) f(x 0 ) x J I. Man nennt x 0 ann lokale Minimalstelle. f nimmt in x 0 ein globales Maximum f(x 0 ) an, wenn gilt: f(x) f(x 0 ) x I. Man nennt x 0 ann globale Maximalstelle. f nimmt in x 0 ein globales Minimum f(x 0 ) an, wenn gilt: f(x) f(x 0 ) x I. Man nennt x 0 ann globale Minimalstelle. Statt Maximum oer Minimum sagt man auch Extremum, statt Maximalstelle oer Minimalstelle sagt man auch Extremalstelle, auch in Verbinung mit en Ajektiven lokal un global. Feststellung: Ist x 0 eine globale Extremalstelle, so ist x 0 auch eine lokale Extremalstelle, 27

28 aber nicht notwenig umgekehrt. Feststellung: Ist f ifferenzierbar, x 0 kein Ranpunkt von I un x 0 eine lokale Extremalstelle, so ist ie Tangente an en Graphen von f im Punkt (x 0, f(x 0 )) horizontal, also f (x 0 ) = 0. Feststellung: Ist x 0 eine Extremalstelle von f, so gilt: x 0 ist Ranpunkt von I oer f ist in x 0 nicht ifferenzierbar oer f (x 0 ) = 0. Feststellung: Ist f stetig ifferenzierbar, x 0 kein Ranpunkt von I un f (x) < 0 für x < x 0 un f (x) > 0 für x > x 0, 28

29 so ist x 0 eine lokale Minimalstelle. Feststellung: Ist f stetig ifferenzierbar, x 0 kein Ranpunkt von I un f (x) > 0 für x < x 0 un f (x) < 0 für x > x 0, so ist x 0 eine lokale Maximalstelle. Zusammenfassung: Sei f auf einem offenen Intervall efiniert un ifferenzierbar. Dann gilt: f (x 0 ) = 0 ist notwenig afür, ass x 0 lokale Extremalstelle ist. Ein Vorzeichenwechsel von f (x) bei x = x 0 ist afür hinreichen. Vorzeichenwechsel beeutet lokales Minimum. Vorzeichenwechsel beeutet lokales Maximum. Mitteilung: Sei f in x 0 zweimal stetig ifferenzierbar. Dann gilt: 29

30 f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) < 0 x 0 ist lokale Maximalstelle. f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) > 0 x 0 ist lokale Minimalstelle Links- un Rechtskrümmung es Graphen, Wenepunkte Linkskrümmung: Ist f auf I zweimal stetig ifferenzierbar un f (x) > 0 auf einem Intervall J I, so nimmt f (x) auf J monoton zu. Die Steigung von f nimmt auf J monoton zu Fährt man auf em Graphen von f von links nach rechts, so ist er eine Linkskurve. Rechtskrümmung: Ist f auf I zweimal stetig ifferenzierbar un f (x) < 0 auf einem Intervall J I, 30

31 so nimmt f (x) auf J monoton ab. Die Steigung von f nimmt auf J monoton ab Fährt man auf em Graphen von f von links nach rechts, so ist er eine Rechtskurve. Bemerkung: Eine ebene Linkskurve ist bei umgekehrter Fahrtrichtung eine ebene Rechtskurve un umgekehrt. Wenepunkt: Ist f in x 0 zweimal stetig ifferenzierbar un wechselt f (x) in x 0 sein Vorzeichen, so heißt er Punkt (x 0, f(x 0 )) ein Wenepunkt es Graphen von f. Feststellung: In einem Wenepunkt wechselt er Graph von Links- auf Rechtskrümmung oer umgekehrt. Mitteilung: Ist f in x 0 reimal stetig ifferenzier- 31

32 bar, un ist f (x 0 ) = 0 un f (x 0 ) 0, so hat f in x 0 einen Wenepunkt Schräge Asymptoten Sei g mit er Gleichung g : y = ax + b eine Gerae, er sich er Graph einer ifferenzierbaren Funktion f : R R für x oer x immer mehr nähert un er er beliebig nahe kommt. Eine solche Gerae hilft sehr, wenn man en Verlauf es Graphen überblicken (oer zeichnen) will. Dann ist also un lim (f(x) ax b) = 0, x lim x f(x) x = a b = lim x (f(x) ax). 32

33 Mitteilung: Wenn lim x f (x) R existiert, ann ist notwenig lim f (x) = a. x Selbe Überlegungen für x! Oft stimmen Asymptoten für x un x überein, aber nicht immer! Verfahren zur Ermittlung nicht vertikaler Asymptoten: 1. Schritt: Ermittle a := lim x f(x) x 2. Schritt: Falls a existiert: Ermittle b := lim x (f(x) ax) Falls auch b existiert: 1. Ergebnis: y = ax + b ist eine Gleichung einer gesuchten Asymptote. 3. Schritt: Ermittle c := lim x f(x) x 4. Schritt: Falls c existiert: Ermittle := lim x (f(x) cx) 33

34 Falls auch existiert: 2. Ergebnis: y = cx + ist eine Gleichung einer gesuchten Asymptote. Anregung: Versuchen Sie es mit f(x) := 4x 2 + x. 5.4 Regel von e l Hôpital Seien f, g in a ifferenzierbar un f(a) = g(a) = 0. Falls ann g (a) 0 ist, gilt: Warum as? lim x a f(x) g(x) = f (a) g (a). f(x) g(x) = f(x) 0 f(x) f(a) g(x) 0 = x a g(x) g(a) x a Links un rechts Übergang zum Grenzwert liefert ie Behauptung. Falls f (a) = g (a) = 0, kann man ie Regel wieerholen. Dann gilt:. 34

35 Un so weiter! lim x a f(x) g(x) = f (a) g (a). Ist lim x a f(x) = ± un lim x a g(x) = ±, so gilt ebenfalls f(x) lim x a g(x) = f (a) g (a). Ist lim x a f(x) = 0 un lim x a g(x) = ±, so schreibt man oer lim f(x) g(x) = lim x a x a f(x) 1 g(x) lim f(x) g(x) = lim x a x a g(x) 1 f(x) un wenet ie Regel von e l Hôpital an. 35