7. Arithmetische Funktionen. Möbiussche Umkehrformel

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1 O. Forster: Einführung in ie Zahlentheorie 7. Arithmetische Funktionen. Möbiussche Umkehrformel 7.1. Definition. Unter einer arithmetischen Funktion versteht man eine Abbilung α : N 1 C. Die arithmetische Funktion α heißt multiplikativ, falls α(1 = 1 un α(m 1 m 2 = α(m 1 α(m 2 für alle m 1, m 2 N 1 mit gc(m 1, m 2 = 1. α heißt vollkommen multiplikativ, falls sogar α(m 1 m 2 = α(m 1 α(m 2 für alle m 1, m 2 N 1. Bemerkung. Viele er zu betrachtenen arithmetischen Funktionen haben ihre Werte bereits in Z oer R Als erstes Beispiel betrachten wir ie Eulersche Phi-Funktion ϕ : N 1 Z. Sie wure bereits im vorigen Paragraphen efiniert, un zwar ist ϕ(m ie Anzahl er Elemente er multiplikativen Gruppe (Z/m, also gleich er Anzahl erjenigen unter en Zahlen 1, 2,..., m ie zu m teilerfrem sin. Satz. Die Eulersche Phi-Funktion ϕ : N 1 Z ist multiplikativ. Dies folgt unmittelbar aus em Chinesischen Restsatz, a für teilerfreme m 1, m 2 N 1 gilt (Z/m 1 m 2 = (Z/m1 (Z/m 2 Da jee natürliche Zahl n N 1 sich als Proukt von (zueinaner teilerfremen Primzahlpotenzen schreiben lässt, ist eine multiplikative arithmetische Funktion schon eineutig bestimmt, wenn man sie für Primzahlpotenzen p k kennt. Für ie Eulersche Phi-Funktion ist ( ϕ(p k = p k p k 1 = p k 1 1, p enn ie nicht zu p k teilerfremen unter en Zahlen 1, 2,..., p k sin genau ie p k 1 Zahlen νp, 1 ν p k 1. 7 zuletzt geänert am:

2 7. Arithmetische Funktionen Folgerung. Ist n = p k 1 1 p k p kr r ϕ(n = n j=1 (1 1pj. Beweis. Wegen er Multiplikativität von ϕ ist Z.B. ist ϕ(n = j=1 { } p k j j (1 1pj ϕ(2 = 2 (1 1 2 = 1, ϕ(6 = 6 (1 1 2 (1 1 3 = 2, ie Primfaktorzerlegung von n, so gilt = n ϕ(12 = 12 (1 1 2 (1 1 3 = 4. j=1 (1 1pj, q.e.. Dies zeigt auch, ass ϕ nicht vollkommen multiplikativ ist, enn ϕ(2ϕ(6 ϕ( Als nächstes betrachten wir ie Teileranzahl-Funktion τ : N 1 Z. Nach Definition ist τ(n ie Anzahl aller natürlichen Zahlen, ie Teiler von n sin (einschließlich 1 un n,.h. ie Anzahl er Elemente er Menge T (n := { N 1 : n}. Für eine Primzahl p gilt also τ(p = 2, allgemeiner für eine Primzahlpotenz τ(p k = k + 1, a ie Teiler von p k genau ie Zahlen p j, j = 0, 1,..., k, sin. Satz. Die Teileranzahl-Funktion τ ist multiplikativ. Genauer gilt: Sin m 1, m 2 N 1 teilerfrem, so ist ie Abbilung bijektiv. T (m 1 T (m 2 T (m 1 m 2, ( 1, Dies sieht man unmittelbar urch Betrachtung er Primfaktor-Zerlegungen von m 1 un m 2 sowie er Teiler. Folgerung. Ist n = p k 1 1 p k p kr r τ(n = (k j + 1. j=1 ie Primfaktorzerlegung von n, so gilt 7.2

3 O. Forster: Einführung in ie Zahlentheorie Bemerkung. Die τ-funktion ist nicht vollkommen multiplikativ, a z.b. für eine Primzahl τ(p = 2, aber τ(p 2 = 3 τ(p Wir geben jetzt einige Beispiele von vollkommen multiplikativen arithmetischen Funktionen an, ie wir später noch brauchen weren. (1 u : N 1 Z, u(n := 1 für alle n N 1. (2 ι : N 1 Z, ι(n := n für alle n N 1. (3 ε : N 1 Z, { 1 für n = 1, ε(n := 0 sonst. Es ist klar, ass iese Funktionen vollkommen multiplikativ sin Definition. Sei f : N 1 C eine arithmetische Funktion. Unter er summatorischen Funktion von f versteht man ie Funktion F : N 1 C, ie urch F (n = f( efiniert ist. Dabei wir über alle positiven Teiler von n summiert, z.b. ist F (6 = f(1 + f(2 + f(3 + f(6. Beispiele. a Die Teileranzahl-Funktion τ ist ie summatorische Funktion von er in 7.4 efinierten Funktion u, enn τ(n = 1. b Die summatorische Funktion er Funktion ι ist ie sog. Teilersummen-Funktion σ(n = Satz (Summatorische Funktion er Eulerschen Phi-Funktion. ϕ( = n für alle n N 1. Beweis. Für jeen Teiler n sei A(n, := {k N 1 : k n un gc(k, n = }. Da A(n, = {1, 2,..., n}, gilt #A(n, = n. 7.3

4 7. Arithmetische Funktionen Die Elemente k A(n, sin alle urch teilbar. Da ( k gc(k, n = gc, n = 1, steht A(n, in bijektiver Beziehung zu A(n/, 1. Es folgt #A(n, = #A(n/, 1 = ϕ(n/, also n = #A(n, = ( n ϕ = ϕ(, q.e Satz. Sei f : N 1 C eine multiplikative arithmetische Funktion un F : N 1 C ie summatorische Funktion von f. Dann ist auch F multiplikativ. Beweis. Seien m 1, m 2 N 1 teilerfrem. Dann erhalten wir unter Benutzung von Satz 7.3 F (m 1 m 2 = f(m 1 m 2 m 1 m 2 = f(m 1 m 2 = f(m 1 f(m 2 1 m 1 2 m 2 1 m 1 2 m 2 = f(m 1 f(m 2 = F (m 1 F (m 2. 1 m 1 2 m 2 Beispiel. Da ie in 7.4 efinierte Funktion ι multiplikativ ist, ist auch ie Teilersummen- Funktion σ(n = = ι( multiplikativ. Wir benützen ies zur Herleitung einer Formel für σ(n. Für eine Primzahlpotenz gilt σ(p k = k j=0 p j = pk+1 1 p 1, eshalb folgt für n = p k 1 1 p k p kr r σ(n = j=0 p k j j 1 p j Vollkommene Zahlen. Eine Zahl n N 1 heißt vollkommen, falls σ(n = 2n. Dies lässt sich auch so ausrücken: Bezeichnet σ (n := <n = σ(n n 7.4

5 O. Forster: Einführung in ie Zahlentheorie ie Summe er echten Teiler von n, so ist eine vollkommene Zahl n aurch charakterisiert, ass σ (n = n. Die kleinsten vollkommenen Zahlen sin 6 = , 28 = Die vollkommenen Zahlen hängen eng mit en Mersenneschen Primzahlen zusammen, wie folgener Satz zeigt: Satz. a (Eukli Ist M p = 2 p 1 eine Primzahl, so ist N := 2 p 1 (2 p 1 eine vollkommene Zahl. b (Euler Umgekehrt lässt sich jee gerae vollkommene Zahl als 2 p 1 (2 p 1 mit einer Mersenneschen Primzahl 2 p 1 schreiben. Beweis. a Wegen er Multiplikativität von σ gilt σ(n = σ(2 p 1 σ(2 p 1. Nun ist σ(2 p 1 = 2 p 1 un, a 2 p 1 nach Voraussetzung prim ist, σ(2 p 1 = 2, also insgesamt σ(n = 2N. b Sei N eine gerae vollkommene Zahl. Sie lässt sich scheiben als N = 2 s n mit s 1 un n ungerae. Nun ist 2N = σ(n = σ(2 s σ(n = (2 s+1 1σ(n. Da 2N = 2 s+1 n, folgt araus σ(n = 2s+1 2 s+1 1 n = n + n 2 s+1 1 = n + mit := n/(2 s+1 1 N 1. Da ein Teiler von n ist, folgt aus er Gleichung σ(n = n +, ass n un ie einzigen Teiler von n sin; also muss = 1 un n eine Primzahl sein. Aus = 1 folgt weiter n = 2 s+1 1, also ist n eine Mersennesche Primzahl, insbesonere ist p := s + 1 prim (vgl Daraus folgt Teil b es Satzes. Bemerkung. Die vollkommenen Zahlen 6 un 28 gehören zu en Mersenneschen Primzahlen M 2 = 3 un M 3 = 7, ie nächsten Beispiele vollkommener Zahlen sin also 2 4 (2 5 1 = 496 un 2 6 (2 7 1 = Es ist unbekannt, ob es ungerae vollkommenene Zahlen gibt. 7.5

6 7. Arithmetische Funktionen 7.9. Möbius-Funktion. Eine Zahl n N 1 heißt quaratfrei, wenn n von keiner Quaratzahl > 1 geteilt wir,.h. wenn es keine Primzahl p mit p 2 n gibt. Die Möbius- Funktion µ : N 1 Z wir nun efiniert urch { 0, falls n nicht quaratfrei, µ(n := ( 1 r, falls n quaratfrei un r verschieene Primteiler hat. Für n 14 ergeben sich folgene Werte n µ(n Es folgt unmittelbar aus er Definition, ass µ multiplikativ ist. Satz. Die summatorische Funktion er Möbius-Funktion ist ie in 7.4 efinierte Funktion ε,.h. { 1 für n = 1, µ( = 0 sonst. Beweis. Wir bezeichnen für en Augenblick mit M ie summatorische Funktion von µ,.h. M(n = µ(. Die Funktion M ist nach Satz 7.7 multiplikativ, ebenso ie Funktion ε. Um also M = ε zu beweisen, genügt es M(p k = ε(p k für alle Primzahlpotenzen p k zu zeigen. Der Fall k = 0 ist trivial. Für k 1 ist M(p k = k µ(p j = µ(1 + µ(p = 1 1 = 0 = ε(p k, j=0 q.e Dirichlet-Faltung. Sin f, g : N 1 C zwei arithmetische Funktionen, so ornet man ihnen eine neue arithmetische Funktion f g : N 1 C, ie sog. Dirichlet-Faltung von f un g zu, ie urch (f g(n := ( n f( g = ( n f g( efiniert ist. Die letzte Gleichung ist so zu begrünen: Durchläuft alle Teiler von n, so urchläuft auch n/ alle Teiler von n. Die Dirichlet-Faltung lässt sich in symmetischer Form auch als (f g(n = f( 1 g( =n schreiben. Die Summe ist über alle Paare 1, 2 N 1 mit 1 2 = n zu erstrecken. Satz. Die Dirichlet-Faltung arithmetischer Funktionen ist kommutativ un assoziativ. Die Funktion { 1 für n = 1, ε : N 1 Z, ε(n := 0 sonst, 7.6

7 O. Forster: Einführung in ie Zahlentheorie ist neutrales Element für ie Dirichlet-Faltung. Beweis. i Die Kommutativität f g = g f ist trivial. ii Zur Assoziativität. Seien f, g, h : N 1 C rei arithmetische Funktionen. Dann ist ((f g h(n = (f g(kh(l = f(ig(jh(l k,l k,l i,j kl=n kl=n ij=k Ebenso gilt = i,j,l ijl=n (f (g h(n = i,m im=n = i,j,l ijl=n f(ig(jh(l. f(i(g h(m = i,m im=n f(ig(jh(l, f(ig(jh(l j,l jl=m also (f g h = f (g h. iii Neutrales Element: (f ε(n = f ( n ε( = f(n ε(1 = f(n, q.e.. Bemerkung. Mithilfe er Dirichlet-Faltung lässt sich ie summatorische Funktion F (n = f( einer arithmetischen Funktion f : N 1 C auch einfach ausrücken als F = f u, wobei u : N 1 Z ie schon in 7.4 betrachtete Funktion mit u(n = 1 für alle n N 1 ist, enn (f u(n = ( n f(u = f( Satz (Möbiussche Umkehrformel. Sei f : N 1 C eine arithmetische Funktion un F (n = f( ihre summatorische Funktion. Dann gilt für alle n N 1 f(n = ( n µ(f = ( n µ F (. 7.7

8 7. Arithmetische Funktionen Beweis. Da F ie summatorische Funktion von f ist, gilt F = f u. Multiplikation (bzgl. Dirichlet-Faltung ieser Gleichung mit µ ergibt F µ = (f u µ = f (u µ = f ε = f. Dies ist aber ie Behauptung Beispiele. Wir geben einige Anwenungen er Möbiusschen Umkehrformel. a Wir hatten für ie Eulersche Phi-Funktion abgeleitet (Satz 7.6, ass ϕ( = n. Daraus folgt ϕ(n = µ( n Dies lässt sich auch in er Form ϕ(n n = µ( schreiben. b Für ie Teileranzahl-Funktion τ(n = 1 erhält man ( n µ τ( = 1. c Für ie Teilersummen-Funktion σ(n = ergibt sich ( n µ σ( = n. 7.8