Legendre-Symbol von 2

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1 Legendre-Symbol von Lemma Legendre-Symbol von Sei P\{}. Dann gilt ( ) = { +1 falls ±1 mod 8 1 falls ±3 mod 8. Beweis: Nach Euler-Identität wissen wir, dass ( ) 1 mod. In Z[i] gilt = ( i) i = ( i)(1+i). Damit folgt 1 = ( i) 1 (1+i) 1 = ( i) 1 (1+i) (1+i). Modulo (für Real-/Imaginärteil searat) gilt (1+i) (1+i ). Wir schreiben = k + 1 mit k N und erhalten 1 ( i) k 1+i k+1 1+i = ( i) k 1+( 1)k i 1+i mod ( ). Zahlentheorie - V14 14 / 31

2 Legendre-Symbol von Beweis: (Fortsetzung) Der Term 1+( 1)k i 1+i ist 1 für gerades k. Für ungerade k gilt 1 i 1+i = (1 i) 1 i = i = ( i). In Z[i] ist ord( i) = 4. D.h. es genügt, k mod 4 zu betrachten. Für k 0, 1,, 3 liefert die rechte Seite von ( ) die Werte ( i) 0 = 1, ( i) = ( 1), ( i) = ( 1) und ( i) 4 = 1. Aus k 1 mod 4 folgt k + 1 mod 8. Für k 0, 3 erhalten wir ( ) = 1 und ±1 mod 8. Für k 1, erhalten wir ( ) = ( 1) und ±3 mod 8. { Übung: Zeigen Sie ( 1) 1 +1 falls ±1 mod 8 8 = 1 falls ±3 mod 8. Zahlentheorie - V14 15 / 31

3 Gaußsumme Definition Gaußsumme Sei P\{} und ξ = e πi C eine -te Einheitswurzel. Für a Z mit a 0 mod definieren wir die Gaußsumme g a = 1 j=1 ( j )ξaj Z[ξ]. Lemma Gaußsumme Seien, P\{} verschieden und a Z, a 0 mod. Dann gilt 1 g a = ( a )g 1 Z[ξ] g 1 = ( 1 ) Z 3 g 1 g mod in (Z/Z)[ξ] (mod komonentenweise). Zahlentheorie - V14 16 / 31

4 Gaußsumme Beweis: (1) Wegen ( a ) = ( a ) 1 zeigen wir ( a )g a = g 1. Es gilt ( a )g a = j=1 ( a )( j )ξaj = 1 i=1 ( aj )ξaj. Für a 0 mod ist U U, j aj ein Isomorhismus. D.h. aj durchläuft für j = 1,..., 1 alle Elemente 1,..., 1. Damit folgt ( a )g a = 1 j=1 ( aj )ξaj = 1 l=1 (l )ξl = g 1. () Wir betrachten zunächst 1 j=1 ξlj. Für l 0 mod ist dies ( 1)+ 1 j=0 (ξl ) j = ( 1)+ (ξl ) 1 = ( 1)+ (ξ ) l 1 = ( 1). ξ l 1 ξ l 1 Für l 0 mod gilt 1 j=1 ξlj = 1 g 1 = ( 1 j=1 ( j )ξj )( 1 k=1 ( k )ξk ) j=1 1j = 1. Wir rechnen = 1 1 j=1 k=1 ( jk )ξj+k. Zahlentheorie - V14 17 / 31

5 Gaußsumme Beweis: (Fortsetzung) Wir nutzen wieder den Isomorhismus k jk für j U 1 1 j=1 k=1 ( jk )ξj+k = 1 1 k=1 j=1 ( j k )ξj+jk = 1 k=1 ( k ) 1 j=1 ξj(1+k). Unter Ausnutzen unserer Identitäten für 1 j=1 ξlj formen wir um zu ( ) ( ) k=1 ( k )( 1)+ 1 ( 1) = 1 1 k=1 ( k ). Genau die Hälfte aller ā U sind uadratische Reste. Somit enthält die Summe je ( 1 Wir erhalten insgesamt g 1 = ( 1 )-mal die Summanden 1 und 1. ) ( ) 1 k=1 ( k ) = 1. (3) Mit unserer Binomischen Formel mod (Frobenius) erhalten wir ( g 1 ) 1 = j=1 ( j ( ) )ξj 1 j=1 ( j )ξj = 1 j=1 ( j ) ξ j = 1 j=1 ( j )ξj = g mod. Zahlentheorie - V14 18 / 31

6 Quadratisches Rezirozitätsgesetz (Gauß) Satz Quadratisches Rezirozitätsgesetz (Gauß) Seien, P\{} mit. Dann gilt ( ) = ( 1) 1 1 ( ) = { ( ) für 3 mod 4 ( ) sonst. Beweis: In Z[ξ] gilt nach dem vorigen Lemma ( ) ( )g 1 = g g 1 = g 1(g1 ) 1 g g 1 1 Multilikation mit g 1 liefert ( )g 1 g 1 ( g 1 ) mod. Alle Terme sind nun in Z. Wegen gilt g1 = ( 1 Kürzen von g1 liefert ( ) ( g 1 ) = (( 1) 1 ) = ( 1) 1 1 ( ) mod ( ) 1 ( = 1 ( ) mod. ) 0 mod. ( 1) 1 ) 1 ( ) Zahlentheorie - V14 19 / 31

7 Quadratisches Rezirozitätsgesetz (Gauß) Beweis: (Fortsetzung) Bs: Alle Terme sind ±1, d.h. die Kongruenz ist eine Gleichheit. Der Exonent von ( 1) ist ungerade gdw 1 und 1 ungerade. Es gilt 1 1 mod gdw 3 mod 4. (analog für ) Frage: Besitzt die Gleichung x 19 mod 31 Lösungen? Dazu berechnen wir ( ) = ( 19 ) = ( 19 ) = ( 19 )( 19 )( 3 19 ) = ( 19 3 ) = ( 1 3 ) = 1. Durch Ausrobieren erhalten wir die beiden Lösungen (±9) = mod 31. Problem: Berechnung des Legendre-Symbols erfordert Faktorisierung in Z. Zahlentheorie - V / 31

8 Das Jacobi-Symbol Definition Jacobi-Symbol Sei n N ungerade mit Primfaktorzerlegung n = s definieren das Jacobi-Symbol ( a ( ) ri n) := s a i=1 i. i=1 r i i. Wir Anmerkungen: Falls a uadratischer Rest mod n ist, dann gilt a b mod n und ( a n ) = ( b n ) = s i=1 ( b i ) r i = s i=1 ( b i ) r i = 1. Falls ( a n ) = 1, dann muss a kein uadratischer Rest mod n sein. Es gilt z.b. ( 15 ) = ( 3 )( 5 ) = ( 1) = 1. Nach CRT müsste jede Lösung von x mod 15 auch eine Lösungen von x mod 3 und x mod 5 sein. Beide Kongruenzen besitzen aber keine Lösungen. Übung: ( a n ) ist multilikativ in a und n. D.h. für a = a 1a und n = n 1 n gilt ( a n ) = ( a n 1 )( a n ) = ( a 1 n 1 )( a n 1 )( a 1 n )( a n ). Zahlentheorie - V / 31

9 Rezirozität für Jacobi-Symbol Satz Rezirozität Seien m n 3 ungerade natürliche Zahlen. Dann gilt 1 ( 1 n 1 n ) = ( 1). ( n ) = ( 1) n ( m n ) = ( 1) m 1 n 1 ( n m ). Beweis: Obige Identitäten gelten für rime n, m. Die linken Seiten sind multilikativ in n, m, können also in die Primteiler zerlegt werden. Genügt zu zeigen: Die rechten Seiten sind multilikativ in n, m. Sei n = n 1 n ungerade, d.h. n 1, n sind ebenfalls ungerade. (1) Wir zeigen ( 1) n 1 n 1 = ( 1) n 1 1 ( 1) n 1. Dies ist äuivalent zu n 1 n 1 n 1+n mod n 1 n n 1 n + 1 = (n 1 1)(n 1) 0 mod 4 Da n 1 1 und n 1 beide gerade sind, folgt die Korrektheit. Zahlentheorie - V14 13 / 31

10 Rezirozität für Jacobi-Symbol Beweis: (Fortsetzung) () zu zeigen: ( 1) n 1 n 1 8 = ( 1) n ( 1) n 1 8. Dies ist äuivalent zu n1 n 1 8 n n 1 8 mod n1 n n 1 n mod 16. Wir formen weiter um zu (n 1 1)(n 1) = (n 1 + 1)(n 1 1)(n + 1)(n 1) 0 mod 16. Die Korrektheit folgt, da alle vier Terme n 1 ± 1, n ± 1 gerade sind. (3) Aus (1) folgt die Multilikativität von ( ( 1) m 1 n 1 = ( 1) m 1 ) n 1 in n und m. Anmerkung: Für ungerades n und m = k m mit ungeradem m gilt ( m ) ( n = ) k ) n ( m n = ( ) k (m 1)(n 1) ( n ( 1) 4 n ) m. Zahlentheorie - V / 31