Prof. Dr. Don Zagier Schätze der Zahlentheorie Ergänzendes Material

Transkript

1 Prof. Dr. Don Zagier Schätze der Zahlentheorie Ergänzendes Material Felix Boes & Anna Hermann 11 Setember 2013 In der zweiten Vorlesung des heutigen Tages beschäftigen wir uns mit einem Beweis des Quadratischen Rezirozitätsgesetzes. Dies ist ein sehr wichtiges Theorem aus dem Bereich der Zahlentheorie, das dessen Entdecker Gauß mit den Worten Das Fundamentaltheorem, welches sicherlich zu den elegantesten Entdeckungen auf diesem Gebiete zu rechnen ist, ist in derselben einfachen Form, in der wir es oben gegeben haben, bisher von Niemand ausgesrochen worden. Dies ist um so mehr zu verwundern, da gewisse andere aus ihm fliessende Sätze, von denen man leicht wieder zu jenem hätte zurückgelangen können, schon Euler bekannt waren. beschrieb. Legendre bewies zwar im Grunde dieselbe Aussage, doch erst Gauß zeigte 1798 im Alter von 21 Jahren das Quadratische Rezirozitätsgesetz, wie wir es heute kennen. Wir sehen in der zweiten Vorlesung einen Beweis von Rousseau aus dem Jahr 1989, der auf wenigen elementaren zahlentheoretischen Konzeten aufbaut, zugleich aber viele schöne Ideen enthält, die verdeutlichen, wie man in der Zahlentheorie vorgeht. Die Grundlagen, die für das Verständnis des Beweis benötigt werden, werden im ersten Vortrag und im ersten Tutorium erarbeitet. Insbesondere dient dieses Skrit ausschließlich der Ausarbeitung der allgemein bekannten zahlentheoretischen Grundlagen, nicht aber der Vorstellung des angestrebten Beweises. 1 Teilbarkeit und Kongruenzen Eine essentielle Grundlage jeglicher Zahlentheorie ist der Begriff der Teilbarkeit. Definition 1.1. Seien m, n Z, wobei m 0 sei. Dann heißt m Teiler von n, falls es eine ganze Zahl q mit n = q m gibt. In diesem Fall heißt n durch m teilbar und ein Vielfaches von m. Wir notieren dies mit m n, srich m teilt n. 1

2 Wir bemerken, dass für jede Zahl m Z sowohl 1 m als auch m m gelten. Positive Zahlen, die außer diesen beiden keine weiteren ositiven Teiler haben, wollen wir gesondert betrachten: Definition 1.2. Sei N. Dann heißt eine Primzahl, wenn sie genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat, nämlich 1 und selbst. Man beachte, dass die Zahl 1 nicht unter unsere Definition einer Primzahl fällt. Dies ist dadurch motiviert, dass wir gern die folgende Aussage über die Darstellung von natürlichen Zahlen als Produkt von Primzahlen verwenden wollen. Satz 1.3. (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl außer 0 und 1 lässt sich als Produkt endlich vieler Primzahlen schreiben. Diese Darstellung, die wir auch Primfaktorzerlegung nennen, ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Würden wir die Zahl 1 in die Menge der Primzahlen aufnehmen, so wäre die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung nicht gewährleistet, da wir an eine gegebene Produktdarstellung einer Zahl beliebig viele Einsen anfügen können, um eine neue Produktdarstellung derselben Zahl zu erhalten. Wir gehen davon aus, dass der Fundamentalsatz der Arithmetik allgemein bekannt ist. Für einen gut verständlichen Beweises, der unsere Definitionen verwendet, verweisen wir auf [1], Kaitel 1, 1. Definition 1.4. Seien m, n N. Wir nennen m und n teilerfremd, wenn es keine ositive Zahl außer 1 gibt, die sowohl m als auch n teilt. Offenbar ist die Zahl 1 zu jeder Zahl teilerfremd. Beisiel 1.5. Die Zahlen 8 und 15 sind teilerfremd. Nach Definition sind je zwei verschiedene Primzahlen teilerfremd. Ist eine Primzahl, so sind alle natürlichen Zahlen 2,..., 1 teilerfremd zu. Im Folgenden werden wir zur Untersuchung des Teilbarkeitsbegriffs ein neues Hilfsmittel einführen, nämlich das Konzet der Kongruenz. Definition 1.6. Seien m, a, b Z, wobei m 2 sei. Man nennt a kongruent (zu) b modulo m, falls a und b sich um ein ganzzahliges Vielfaches von m unterscheiden, d. h. wenn m (a b) gilt. Ist a kongruent zu b modulo m, so schreiben wir auch a b (mod m) oder kürzer a b, wenn aus dem Zusammenhang deutlich wird, modulo welcher Zahl m gerechnet wird. Beisiel 1.7. Es gelten (mod 5), srich 80 ist kongruent zu 45 modulo 5, und 7 33 (mod 13). 2

3 Für eine Zahl a Z gilt die Kongruenz a 0 (mod 2) genau dann, wenn a eine gerade Zahl ist, und a 1 (mod 2) sonst. Aus dem Alltag kennen wir unter Anderem das Rechnen modulo 12, so ist beisielsweise 15 3 mod 12 und wir verwenden im Deutschen oft die Begriffe 3 Uhr und 15 Uhr für die entsrechende Uhrzeit am Nachmittag äquivalent. Wir sehen, dass der Kongruenzbegriff den Begriff der Gleichheit verallgemeinert, denn für a, m Z, m 2, gilt a a (mod m). Wir können mit Kongruenzen tatsächlich weitgehend wie mit Gleichungen rechnen, da folgende Rechenregeln gelten: Proosition 1.8. Seien a, b, c, m Z, wobei m 2 sei. 1. Aus a b (mod m) folgt b a (mod m). 2. Sind a b (mod m) und b c (mod m), so ist auch a c (mod m). 3. Gelten a b (mod m) und c d (mod m), so auch a + c b + d (mod m). 4. Gelten a b (mod m) und c d (mod m), so auch ac bd (mod m). Beweis. Der Beweis ist eine Übungsaufgabe. Beisiel 1.9. Vom Rechnen mit der Uhr ist uns vertraut, dass beisielsweise gilt (mod 12) Seien m, a Z, wobei m 2 sei. Notieren wir mit r den Rest bei der Division von a durch m, so ist r eine eindeutig bestimmte ganze Zahl mit r {0,..., m 1}. Nach Definition von r gibt es ein q Z mit d. h. m (a r), also gilt a = q m + r, a r (mod m). Insbesondere ist a genau dann durch m teilbar, wenn a 0 (mod m)) ist. Mit diesen Beobachtung können wir nun folgende wichtige Definition in Angriff nehmen. Definition Sei m Z, m 2. Wir definieren die Menge Z/mZ := {0,..., m 1}, srich Z modulo m Z. Auf dieser Menge definieren wir eine Addition und eine Multilikation. Dazu seien a, b Z/mZ. Wir notieren mit c := a + b diejenige Zahl c Z/mZ, die kongruent zu der ganzen Zahl a + b ist. Mit anderen Worten, c ist der Rest bei der Division von a + b durch m. Analog meinen wir mit d := ab Z/mZ den Rest bei der Division von ab durch m. Ist a eine ganze Zahl, so definieren wir die Multilikation (Addition) mit a in Z/mZ als die Multilikation (Addition) mit dem Rest r Z/mZ bei Division von a durch m. 3

4 Ist zum Beisiel m = 6, so gelten in Z/6Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5} die Aussagen = 1 und 4 2 = 2. Den Abschnitt über Teilbarkeit und Kongruenzen schließen wir mit einer sehr bekannten Aussage aus der Zahlentheorie. Proosition (Kleiner Satz von Fermat) Sei eine Primzahl, a Z. Dann gilt a a (mod ). Ist a nicht durch teilbar, so gilt weiterhin a 1 1 (mod ). Wir wollen hier auf einen Beweis dieser Aussage verzichten. Er kann aber in den Tutorien besrochen oder in [1], Kaitel 2, 3.3 nachgelesen werden. 2 Permutationen Wir beginnen diesen Abschnitt mit einem kleinen Beisiel. Betrachten wir die Menge S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und ordnen ihre Elemente in einem Bild an Dieses Bild betrachten wir als die Grundanordnung der Elemente von S. Im Folgenden wollen Abbildungen π : S S untersuchen, welche die Elemente 1, 2, 3, 4, 5, 6 untereinander vertauschen. Wenden wir beisielsweise die im folgenden Pfeildiagramm angedeuteten Vertauschungen an, so erhalten wir eine neue Anordnung unserer Zahlen wie in diesem Bild:

5 Die Zahlen 1 und 4 tauschen die Plätze, die Zahl 6 bleibt an ihrer Position und die Zahlen 2, 3 und 5 werden einmal im Kreis ermutiert, wobei jede Zahl in diesem Kreis auf die Position derjenigen Zahl geschickt wird, auf die der Pfeil im Pfeildiagramm gezeigt hat. Dieses Konzet formalisieren wir nun. Definition 2.1. Sei S eine endliche Menge. Wir nennen eine bijektive Abbildung Permutation auf der Menge S. π : S S Wir erinnern uns an die Definition der Bijektivität: Ist π : S S eine Permutation, so wird jedes Element aus S genau einmal getroffen. In unserem Beisiel können wir die Vertauschung der Elemente von S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} auch in Form der Permutation π : S S, 1 4, 2 5, 3 2, 4 1, 5 3, 6 6 ausdrücken. Wir verwenden zwei verschiedene Möglichkeiten, Permutationen komakter zu notieren. Notation 2.2. Sei π eine Permutation auf einer endlichen Menge S. Die Darstellung von π in Zweizeilenform sei definiert durch ) ( s π =, π(s) d. h. wir schreiben die Elemente von S in eine Zeile und notieren unter jedem dieser Elemente, auf welches Element es unter π abgebildet wird. Eine Zweizeilenform für die Permutation aus unserem Beisiel ist also ( ) π = In der zweiten, ebenso wichtigen Notation heben wir hervor, in welcher Reihenfolge die Elemente ermutiert werden. Im obigen Beisiel haben wir und und 6 6. Dies notieren wir komakter als (14)(253)(6). 5

6 Notation 2.3. Sei π eine Permutation auf einer endlichen Menge S. Wir wählen ein beliebiges Element a S und betrachten, auf welche Elemente a nach mehrfacher Ausführung von π abgebildet wird. Den Nachfolger von a nennen wir b, den Nachfolger von b nennen wir c usw. Da S endlich ist, kommen wir irgendwann wieder bei a an. Das letzte Element vor a bezeichnen wir für den Moment mit x. Nun notieren wir mit ( ab x ) den sogenannten Zykel, der a enthält. Gibt es ein Element in S, das wir noch nicht aufgeschrieben haben, so verfahren wir für dieses analog wie mit a, und fahren so lange damit fort, bis jede Zahl genau einmal notiert wurde. Die Zykelschreibweise von π ist: ( ab x )... ( a b x ), wobei wir die einzelnen Zykel in einer beliebigen Reihenfolge hintereinander schreiben. Dabei lassen wir allerdings einelementige Zykel (a) ganz weg, da sie keine neuen Informationen enthalten. Ein solches Element a S wollen wir Fixunkt von π nennen. Wir können nun zum Beisiel π = (41)(253) als Zykeldarstellung von π in S verwenden. Hier können wir nun unter Anderem ablesen, dass 2 auf 5, 5 auf 3 und 3 auf 2 abgebildet wird. Da jedes Element nur in einem Zykel vorkommt, sielt die Reihenfolge der Zykel in unserer Notation keine Rolle. Außerdem können wir innerhalb der Zykel die Elemente zyklisch vertauschen, also beisielsweise (532) oder (325) anstatt (253) schreiben, denn die Notation besagt nur, dass innerhalb eines Zykels jedes Element auf das nach ihm stehende geschickt wird, wobei das letzte Element auf das erste abgebildet wird. Es sei eine weitere Permutation ( ) σ = auf S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} in Zweizeilenform gegeben. Die beiden Permutationen π und σ können wir nun hintereinander ausführen (auch verketten oder verknüfen): Wir starten mit der ursrünglichen Anordnung

7 und wenden dann die Permutation π an. Anschließend zeichnen wir (bezüglich der Grundanordnung!) die Pfeile ein, die von der Permutation σ induziert werden: Nach Anwendung dieser eingezeichneten Permutation erhalten wir folgende Anordnung: Daran können wir ablesen, dass wir diese Anordnung auch direkt aus der Grundanordnung hätten erhalten können, indem wir entlang der Pfeile in vertauscht hätten. Die zugehörige Permutation notieren wir mit σ π (man liest zum Beisiel σ nach π, es wird erst π ausgeführt, dann σ). In der Zweizeilenform können wir die Verkettung von π mit σ ganz einfach ablesen: In der Zweizeilenform von π sehen wir, dass die 1 auf die 4 geschickt wird, in der zu σ verfolgen wir weiter, dass die 4 (wir lesen in der ersten Zeile) auf die 5 geschickt wird. Verfahren wir mir den anderen Zahlen analog, erhalten wir insgesamt die Darstellung ( ) σ π =, die erfreulicherweise mit unserem Pfeildiagramm zu σ π übereinstimmt. Die folgende Proosition dient als wichtiges Argument in vielen Beweisen. Proosition 2.4. Sei S eine endliche Menge. Ist π : S S eine injektive Abbildung, so ist π bereits eine Permutation. Beweis. Da π injektiv ist, wird jedes Element aus S von π höchstens einmal getroffen, mit anderen Worten, die Elemente von S werden unter π alle auf verschiedene Elemente 7

8 von S abgebildet. Also werden S verschiedene Elemente von S von π getroffen, dies sind aber bereits alle Elemente von S, sodass π auch surjektiv und damit eine Permutation ist. Wir wollen ein weiteres Beisiel betrachten. Auf Z/mZ haben wir ein Produkt erklärt. Kann man zu jeder Zahl a immer ein b finden, sodass in Z/mZ die Gleichungen ab = 1 gilt? Die Frage kann man schnell mit Nein beantworten, falls a = 0 ist, doch dieser Fall ist so uninteressant, dass wir a = 0 ausschließen wollen. Im Folgenden beantworten wir die Frage für den Sezialfall, dass m = eine Primzahl ist. Korollar 2.5. Sei N eine Primzahl, a Z zu teilerfremd. Dann ist die Multilikation mit a in Z/Z eine Permutation. Beweis. Nach der vorhergehenden Proosition reicht es, zu zeigen, dass die Multilikation mit a injektiv ist. Betrachten wir also x, y Z/Z mit ax ay mod. Dann teilt die Zahl a(x y). Da eine Primzahl ist, gilt entweder a oder (x y). Aber a ist teilerfremd zu, also gilt (x y), d. h. x und y sind modulo schon gleich, was wir zeigen wollen. Die Zahlen 1,..., 1 sind alle zu teilerfremd, denn ist rim. Aber dann ist die Multilikation mit einem a {1,..., 1} eine Permutation. Insbesondere gibt es ein b, welches auf 1 = a b abgebildet wird. 3 Besondere Permutationen Es gibt zwei besonders wichtige Tyen von Permutationen, die in gewisser Weise die Grundbausteine aller Permutation sind. Definition 3.1. Sei π eine Permutation auf einer endlichen Menge S. Ist π eine Permutation, deren Zykeldarstellung aus genau einem Zykel besteht und keinen Fixunkt besitzt, so heißt π auch zyklische Permutation. Besteht π aus einer zyklischen Permutation einer t-elementigen Teilmenge T S und sonst nur aus Fixunkten, so nennen wir π einen t-zykel. Der 2-Zykel erhält den seziellen Namen Transosition. Ein Beisiel für eine zyklische Permutation der Menge Z/mZ ist gegeben durch x x + 1. Wir zeigen nun, weshalb die Transositionen unter den Permutationen eine besondere Rolle sielen. Proosition 3.2. Sei S eine m-elementige Menge und π eine zyklische Permutation auf S. Dann ist π als Verkettung von m 1 Transositionen darstellbar. 8

9 Beweis. Ist π = (a 1,..., a m ) so sieht ein, dass π auch als geschrieben werden kann. π = (a 1, a 2 )(a 2, a 3 ) (a m 1, a m ) Sei nun die Zykelzerlegung einer Permutation π auf einer endlichen Menge S gegeben. Wir halten einen einzelnen Zykel z fest, der die Elemente einer Teilmenge T S ermutiere. Dann können wir z auch als Permutation auf S auffassen, die eingeschränkt auf T eine zyklische Permutation ist, und alle Elemente von S\T als Fixunkte hat. Da die Zykel in der Zykelzerlegung von π disjunkt sind, ist die Zykelzerlegung also nichts Anderes als eine Darstellung von π als Verkettung solcher sezieller Permutationen. Aus der vorangehenden Proosition ergibt sich Korollar 3.3. Sei S eine endliche Menge. Jede Permutation auf S kann als Verkettung endlich vieler Transositionen dargestellt werden. 4 Das Vorzeichen einer Permutation Wir definieren mithilfe der Zweizeilenform-Schreibweise nun ein Maß für die Unordnung, die eine gegebene Permutation hervorruft. Unerwarteterweise wird dieses uns helfen, das Quadratische Rezirozitätsgesetz zu beweisen. Definition 4.1. Sei π eine Permutation auf einer endlichen Menge S, welche durch die Zweizeilenform ) ( s π = π(s) gegeben sei. Wir definieren das Vorzeichen von π als die Zahl sgn(π) := ( 1) fehl(π) {1, 1}, wobei fehl(π) die Anzahl der Fehlstände von π sei, d. h. die Anzahl der ungeordneten Paare {a, b} S S, sodass a und b in der ersten Zeile der Zweizeilenform in einer anderen Reihenfolge vorkommen als in der zweiten. Davon ausgehend heißt π gerade Permutation, wenn sgn(π) = 1, und ungerade Permutation, wenn sgn(π) = 1. Man beachte, dass die Definition des Fehlstands und somit auch die des Vorzeichens von der Reihenfolge der Elemente in der Zweizeilenform unabhängig ist. Das Vorzeichnen ist eine wichtige Kennzahl von Permutationen, denn wir werden sehen, dass sie sich unter Verknüfung von Permutationen multilikativ verhält. Zunächst wollen wir aber üben, die Zahl der Fehlstände und damit das Vorzeichen einer Permutation an der Zweizeilenform abzulesen. Wir gehen die Permutation ( )

10 aus unserem Beisiel von links nach rechts durch und rüfen für jede Zahl in der zweiten Zeile, wie viele Fehlstände sie erzeugt. Für die 4 erhalten wir drei Fehlstände, denn die Zahlen 1, 2, 3, die in der zweiten Zeile nach der 4 vorkommen, sind kleiner als 4. Analog erhalten wir durch die 5 drei Fehlstände, durch die 2 einen, und durch die 1, 3, 6 keinen weiteren mehr. Insgesamt hat π somit sieben Fehlstände und ist eine ungerade Permutation. Beisiel 4.2. Sei m 2 eine natürliche Zahl. Sei π : Z/mZ Z/mZ die Permutation a a + 1, d. h. ( ) 0 1 m 2 m 1 π =. 1 2 m 1 0 Dann gilt sgn(π) = ( 1) m 1, denn jede der Zahlen 1,... m 1 bildet genau einen Fehlstand, nämlich mit der 0. Wir wollen nun sehen, wie sich das Vorzeichen unter der Verkettung von Permutationen verhält. Proosition 4.3. Seien S eine endliche Menge, π und σ zwei Permutationen auf S. Dann gilt sgn(σ π) = sgn(σ) sgn(π). Beweis. Um die Anzahl der Fehlstände von σ π zu zählen, schauen wir uns nacheinander alle Paare {a, b} S S an und testen jeweils, ob {a, b} ein Fehlstand von σ π oder von π ist und ob {π(a), π(b)} ein Fehlstand von σ ist, und zeigen dabei, dass die Gleichung bereits gezählte Fehlstände von σ π ( 1) = ( 1) bereits gezählte Fehlstände von σ bereits gezählte Fehlstände von π ( 1) immer erhalten bleibt. Da wir am Ende so für jede Permutation alle Fehlstände genau einmal gezählt haben, zeigt das die Aussage. Zu Beginn haben wir noch nichts gezählt, beide Seiten der Gleichung sind also 1. Betrachten wir nun ein Paar {a, b} S S. Zu zeigen ist, dass obige Gleichung erhalten bleibt, wenn wir {a, b} untersucht haben. Nehmen wir zunächst an, dass {a, b} ein Fehlstand von σ π ist. Dann sehen wir mithilfe der Zweizeilenform von π, σ, π σ ein, dass entweder {a, b} ein Fehlstand von π ist, aber {π(a), π(b)} keiner von σ, oder {a, b} kein Fehlstand von π ist, aber {π(a), π(b)} einer von σ. Ist {a, b} kein Fehlstand von σ π, so ist {a, b} entweder ein Fehlstand von beiden Permutationen π und σ oder von keiner der beiden. Es gibt noch viele andere Arten, das Vorzeichen einer Permutation zu beschreiben, von denen wir hier zwei weitere erwähnen wollen. Dazu benötigen wir Bemerkung 4.4. Das Vorzeichen einer Transosition ist immer ungerade. Betrachten wir nämlich eine Transosition π auf einer endlichen Menge S, die die Elemente a und 10

11 b vertauscht, so erzeugen a und b zusammen einen Fehlstand, außerdem erzeugen beide jeweils einen Fehlstand mit jedem Element, das zwischen ihnen in der ersten Zeile der Zweizeilenform von π steht. Insgesamt ergibt sich eine ungerade Anzahl von Fehlständen und ein ungerades Vorzeichen von π. Wir wissen nach Korollar 3.3, dass jede Permutation als Verkettung endlich vieler Transositionen darstellbar ist. Proosition 4.3 und Bemerkung 4.4 liefern uns also folgende alternative Beschreibung des Vorzeichens einer Permutation: Korollar 4.5. Sei π eine Permutation auf einer endlichen Menge S, die durch π = τ 1 τ k als Verkettung von Transositionen τ 1,... τ k geschrieben werden kann. Dann gilt sgn(π) = ( 1) k. Insbesondere ist das Vorzeichen einer Permutation von der gewählten Zerlegung in Transositionen unabhängig. Bemerkung 4.6. Korollar 4.5 liefert uns einen Grund, warum wir Permutationen mit Vorzeichen 1 als gerade und die übrigen als ungerade bezeichnen. Eine Permutation ist nämlich genau dann gerade, wenn sie sich als Verkettung einer geraden Anzahl von Transositionen schreiben lässt. Eine dritte Charakterisierung des Signums, für welche wir die gegebene Permutation nicht in Transositionen zerlegen müssen, erhalten wir mithilfe von Proosition 3.2, welche besagt, dass jede zyklische Permutation auf einer m-elementigen Menge als Verkettung von genau m 1 Transositionen geschrieben werden kann. Zusammen mit Proosition 4.3 erhalten wir Korollar 4.7. Sei π eine Permutation auf einer endlichen Menge S. Die Zykeldarstellung von π bestehe aus l Zykeln der Längen k 1,..., k l. Dann gilt sgn(π) = l ( 1) (ki 1) = ( 1) k 1+ k l l. i=1 5 Das Legendre-Symbol Das Quadratische Rezirozitätsgesetz, auf dessen Beweis wir uns vorbereiten, ist eine Aussage über das Legendre-Symbol. Zu dessen Einführung benötigen wir Definition 5.1. Seien a, m Z teilerfremde Zahlen, wobei m 2 sei. Wir nennen a einen quadratischen Rest modulo m, wenn es eine ganze Zahl c gibt, sodass die Kongruenz c 2 a (mod m) erfüllt ist. Gibt es kein solches c, so heißt a als quadratischer Nichtrest modulo m. 11

12 Bemerkung 5.2. Für den Fall 0 < a < m ist obige Bedingung gleichbedeutend damit, dass a der Rest einer Quadratzahl (nach Proosition 1.8 sogar Rest des Quadrats einer Zahl aus Z/mZ) bei Division durch m ist. Sind a, b beide teilerfremd zu m und gilt a b (mod m), so ist b genau dann ein quadratischer Rest (Nichtrest) modulo m, wenn a ein quadratischer Rest (Nichtrest) modulo m ist. Betrachten wir m = 5. Wir wollen quadratische Reste und Nichtreste modulo 5 bestimmen und beschränken uns wegen der vorangehenden Bemerkung auf die Untersuchung der Zahlen aus Z/5Z. Da m eine Primzahl ist, sind all diese Zahlen außer der 0 teilerfremd zu m = 5. Wir fertigen eine Tabelle an, anhand derer wir ablesen können, welche Zahlen überhaut als Quadrate modulo 5 vorkommen können: x x 2 x 2 mod Wir sehen, dass mod 5 und gilt, dass aber die Zahlen 2 und 3 nicht als Quadrate modulo 5 auftauchen. Somit sind 1 und 4 quadratische Reste modulo 5, 2 und 3 quadratische Nichtreste modulo 5. Definition ( 5.3. Seien > 2 eine Primzahl, a Z. Wir definieren das Legendre- Symbol a ) als ( 2 5 ( ) a := 1 wenn a quadratischer Rest modulo ist, 1 wenn a quadratischer Nichtrest modulo ist, 0 wenn a durch teilbar ist. Mit dieser Schreibweise können wir modulo 5 nun verkürzt schreiben: ( ( 1 5) = 4 ) ( 5) = 1, = 3 ) ( 5 = 1, 0 ) 5 = 0. Wir formulieren nun das Quadratische Rezirozitätsgesetz. Satz 5.4 (Quadratische Rezirozitätsgesetz). Für zwei verschiedene ungerade Primzahlen und q ist das Produkt der Legendre-Symbole { 1 wenn q 3 (mod 4) ( q ) ( ) q = 1 sonst Einen Beweis und sannende Anwendungen werden wir im zweiten Teil der Vorlesung sehen.. 12

13 6 Multilikativität des Legendre-Symbols Wir beschäftigen uns nun mit einer weiteren wichtigen Eigentschaften des Legendre- Symbols. Es ist multilikativ, d. h. dass für a, b Z, die von der ungeraden Primzahl nicht geteilt werden gilt ( ) ab = ( a ) ( ) b. Um uns von der Richtigkeit des Ausdrucks zu überzeugen, bedarf es einiger Vorbereitung. Zunächst sehen wir ein: Ist eine Primzahl und erfüllt a Z/Z die Gleichung a 2 = c, so gibt es außer a keine weitere Zahl b Z/Z, die auch b 2 = c erfüllt. Proosition 6.1. Es sei eine Primzahl. 1. Jedes a Z/Z mit a 2 1 ist bereits ±1. 2. Falls es a und b Z/Z mit a 2 b 2 gibt, so ist a ±b. Beweis. 1. Wir formen die Gleichung um zu was wiederum gleichbedeutend ist mit a 2 1 0, (a 1)(a + 1) 0. Wir hatten uns in Proosition 2.4 bereits davon überzeugt, dass die Multilikation mit einer Zahl z 0 injektiv ist. Weil z 0 0 immer gilt, muss schon a 1 0 oder a erfüllt sein. 2. Wir benutzen wieder die Injektivität der Multilikation mit einer Zahl z 0. Ist a 2 0, so muss a (und ebenso b) schon 0 sein. Ist a 2 b 2 verschieden von Null, können wir nach Korollar 2.5 in Z/Z durch b 2 teilen. Es folgt ( a ) 2 a 2 b b 2 1. Mit dem ersten Teil der Proosition sehen wir ein, dass deshalb a b a ±b gelten muss. ±1, also Diese Proosition ist ein Sezialfall von Proosition 6.2. Es sei eine Primzahl. Ein Ausdruck der Form k a i x i 0 (mod ) mit a i Z/Z i=0 besitzt höchstens k Lösungen in Z/mZ. 13

14 Den Beweis wollen wir hier nicht vorführen. Die Hautzutat ist wieder die Injektivität der Multilikation mit einer Zahl z 0. Proosition 6.3. Es sei > 2 eine Primzahl. Dann besteht sowohl die Menge der quadratischen Reste als auch die Menge der quadratischen Nichtreste modulo aus genau 1 2 Elementen. Beweis. Die Menge der quadratischen Reste besteht aus allen Elementen a Z/Z, welche die Gleichung a c 2 für irgendein c erfüllen. Jedes c {1,..., 1} definiert durch die Vorschrift c c 2 genau einen quadratischen Rest. Nach Proosition 6.1 gibt es für jeden quadratischen Rest a genau zwei c {1,..., 1}, die a c 2 erfüllen. Wir haben deshalb genau 1 2 quadratische Reste. Wir haben gesehen, dass die Hälfte der Elemente von {1,..., 1} quadratische Reste sind. Die andere Hälfte bildet die Menge der quadratischen Nichtreste, welche somit ebenfalls die Größe 1 2 hat. Satz 6.4 (Eulerkriterium). Es sei > 2 eine Primzahl, a Z mit a. Dann ist das Legendre-Symbol ( ) a a 1 2 (mod ). Beweis. Der kleine Satz von Fermat aus Proosition 1.11 besagt a (mod ). Da ungerade ist, können wir diese Gleichung umformulieren zu (a 1 2 1)(a ) 0, was, wieder wegen der Injektivität der Multilikation in Z/Z, genau dann der Fall ist, wenn eine der Kongruenzen (a 1 2 1) 0 und (a ) 0 erfüllt ist. Ist a x 2 ein quadratischer Rest, so ist a eine Lösung für die linke Gleichung, denn a 1 2 x x 1 1, wobei die letzte Gleichheit wieder mit dem kleinen Satz von Fermat folgt. Also erfült jeder quadratische Rest a die Kongruenz ( ) a 1 a 1 2. Wir müssen noch zeigen, dass alle quadratischen Nichtreste die rechte Gleichung (a ) 0 lösen. Nach Proosition 6.3 gibt es genau 1 2 quadratischen Reste und alle erfüllen die linke Gleichung. Proosition 6.2 besagt, dass die linke Gleichung dann 14

15 nicht noch weitere Lösungen besitzen kann. Also muss jeder quadratische Nichtrest die a rechte Gleichung lösen und es gilt ( ) a 1 a 1 2. Satz 6.5. Für > 2 rim ist das Legendre-Symbol multilikativ, d. h. für a, b Z gilt ( ) ( ) ( ) ab a b =. Beweis. Falls a, so ist die Aussage klar. Es gelte also a. Mit dem Eulerkriterium 6.4 folgt ( ) ( ) ( ) ab a b (ab) ( 1)/2 a ( 1)/2 b ( 1)/2 (mod ). ( ) ( ) ( ) Die Gleichheit folgt, denn ab, a, b {±1}, und mit > 2 sind 1 und 1 in Z/Z verschiedene Elemente. 7 Ergänzungssätze Im zweiten Teil der Vorlesung werden wir die sogenannten Ergänzungssätze zum Quadratischen Rezirozitätsgesetz beweisen und deren Anwendungen besrechen. Satz 7.1 (Ergänzungssatz 1). Sei > 2 eine Primzahl. Dann ist das Legendre-Symbol ( ) { 1 1 falls 1 (mod 4) = 1 falls 1 (mod 4). Satz 7.2 (Ergänzungssatz 2). Sei > 2 eine Primzahl. Dann ist das Legendre-Symbol ( ) { 2 1 falls ±1 (mod 8) = 1 falls ±3 (mod 8). Literatur [1] Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie Sringer,