Das Quadratische Reziprozitätsgesetz. Stefanie Beule Sebastian Schrage

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1 Das Quadratische Rezirozitätsgesetz Stefanie Beule Sebastian Schrage 06. November 007

2 Inhaltsverzeichnis 3 Das Quadratische Rezirozitätsgesetz Notation A Das Quadratische Rezirozitätsgesetz Theorem Quadratisches Rezirozitätsgesetz [QRG] Theorem 1. Ergänzungssatz zum QRG [1 ES] Theorem. Ergänzungssatz zum QRG [ ES] Beisiele B Primzahlen mit vorgegebener Restklasse Lemma Satz Satz Satz Dirichlet C Quadratsummen Satz Lagrange Satz von Thue Theorem Lagrange Lemma Euler-Identität Theorem Gauÿ D Literaturverzeichnis

3 Kaitel 3 Das Quadratische Rezirozitätsgesetz Bevor wir mit den eigentlichen Sätzen und Theoremen beginnen, wollen wir uns erst einmal um die Notation kümmern: Notation Im Folgenden bezeichnen und immer Primzahlen. F := Z/Z Somit ist F ein Körer, da eine Primzahl ist. Desweitern ist N := {x Z x > 0} und N 0 := {x Z x 0}. A Das Quadratische Rezirozitätsgesetz 3.01 Theorem Quadratisches Rezirozitätsgesetz [QRG] Es seien, > Primzahlen. Dann gilt: Das bedeutet, ist oder 1 mod 4, dann gilt = =., sonst =. 3.0 Theorem 1. Ergänzungssatz zum QRG [1 ES] 1 = 1 1 Das heiÿt, dass 1 genau dann uadratischer Rest modulo ist, wenn 1 mod 4 gilt.

4 3.03 Theorem. Ergänzungssatz zum QRG [ ES] = Also ist genau dann uadratischer Rest modulo, wenn ±1 mod 8 ist. Beweis von 3.01 bis 3.03 Sei generell eine Primzahl ungleich. Daraus folgt, dass 0, mod 4 ist, da ansonsten die Primzahl gerade wäre. Gleiches gilt für 0,, 4, 6 mod Schritt: Mit dem Satz von Euler.9 wissen wir: Für ein a Z gilt: a = ā 1 Für a = 1 folgt direkt die Aussage von 3.0. Sei nun 1 mod 4. Dann ist der Zähler des Exonenten von 1 ein Vielfaches von 4. Das bedeutet, dass der Exonent gerade ist. Daraus folgt, dass die Potenz gleich 1, also 1 uadratischer Rest mod ist. Wenn 3 mod 4 ist, dann ist der Zähler des Exonenten ein Vielfaches von 4, lus. Hieraus folgt, dass der Exonent ungerade und somit die Potenz gleich 1 ist. Da 0, mod 4 gilt, ist der 1. Ergänzungssatz bewiesen.. Schritt: Sei a ungerade, 1 := 1. Nun können wir berechnen, wann a uadratischer Rest mod ist. a = a a+ = 4 a+ = b 4 a+ a Durch die Kongruenz a a + mod folgt die Gleichheit. b Multilikativität des Legendre-Symbols ausnutzen. Da 4 immer uadratischer Rest modulo ist, folgt: a = Nach Satz.1: a+ 3

5 a = 1 1 [ ai ] Dies können wir nun auch für unsere Gleichung ausnutzen. Daraus folgt: a = a+ = 1 = 1 = 1 = 1 1 [ a+i ] 1 [ ai+i ] 1 [ ai +i] 1 1 i+ [ ai ] Nach der Summenformel gilt: 1 i = 1 8 a = a+ = 1 1 = i+ [ ai ] [ ai ] Für a = 1 gilt: [ i ] 1 = 0 i = 1,..., 1 [ i ] = 0 i = 1,..., 1 = 1+ = Dies ist der erste Teil des. Ergänzungssatzes. Sei nun ±1 mod 8. Das bedeutet, es existiert ein c Z, sodass gilt: = ±1 + 8c Setzten wir nun ±1 + 8c anstelle von ein = 1 ±1+8c 1 8 = 1 1±16c+64c 1 8 = 1 ±16c+64c 8 = 1 ±c+8c Da der Exonent eine gerade Zahl ist, folgt dass das Ergebnis gleich 1, also uadratischer Rest mod ist. Analog erhalten wir, dass wenn ±3 mod 8 gilt, das Ergebnis 1 ist und somit 4

6 uadratischer Nichtrest ist. Hiermit ist der. Ergänzungssatz bewiesen. 3. Schritt: Da wir jetzt wissen, wann uadratischer Rest mod ist, genügt es im Folgenden nur ungerade a zu betrachten. Sollte a gerade sein, so können wir die Multilikativität des Legendre-Symbols ausnutzen und ausklammern. So erhalten wir, nach evlt. mehrmaligem Ausklammern, entweder nur noch oder eine ungerade Zahl. Sei a also ungerade. Aus folgt:.es a a a a 1 = 1 1 = [ ai ] [ ai ] = = 1 1 [ ai ] 1 [ ai ] 4. Schritt: Sei a = > Primzahl, 1 := 1. Deniere nun folgende Mengen: S a = {i, j 1 i 1, 1 j 1, i > j} S b = {i, j 1 i 1, 1 j 1, i < j} Da für kein i, j in dem gewählten Bereich i = j gilt, folgt S a + S b = 1 1 Sei S 1 := S a S := S b = S 1 + S = S a + S b = 1 1 Für ein festes i gilt: i > j j < i [ ] j i [ ] Hieraus können wir folgern, dass uns der Term i für ein festes i die Anzahl derjenigen j liefert, sodass i > j gilt. Das bedeutet, unsere Anzahl der Elemente in der Menge S a können wir wie folgt berechnen: S 1 = 1 [ ] i 5

7 Analog folgt die Aussage: S = 1 j=1 [ ] j Führen wir uns die Gleichung nochmal vor Augen: a = 1 1 [ ai ] Hiermit können wir nun folgende Gleichungen aufstellen: = 1 = 1 1 [ i ] 1 [ j ] j=1 = 1 S1 = 1 S Multilizieren wir nun die beiden Gleichungen miteinander. = 1 S1 1 S = 1 S1+S = 1 11 Wir erhalten die Aussage des Quadratischen Rezirozitätsgesetzes. Falls nun oder 1 mod 4 ist, erhalten wir durch die Rechnung am Ende von Schritt 1, dass der jeweilige Bruch zu einer geraden Zahl wird. Also ist, wenn oder 1 mod 4 ist, der Exonent von 1 gerade. Nur wenn 3 mod 4 gilt, sind beide Brüche ungerade, also auch das Produkt und somit dann das Ergebnis der Potenz 1. Damit ist alles bewiesen..e.d Beisiele 1. Beisiel: =a 17 = 17 =b 1 a Da 17 1 mod 4 gilt, können wir das Legendre-Symbol einfach umdrehen [QRG]. b Es gilt 17 1 mod 8, also ist uadratischer Rest mod 17 [. ES].. Beisiel: =a =b =c 1 7 =d 1 a Das Legendre-Symbol läÿt sich auf die Faktoren eines Produktes aufteilen. Also zerlegen wir 8 in Primfaktoren. 6

8 b Da mod 8 gilt, ist nach dem. ES uadratischer Nichtrest. Desweiteren ist 163 wie auch 7 kongruent 3 mod 4. Das bedeutet, dass wir, wenn wir das letzte Legendre-Symbol umdrehen, eine 1 davor schreiben müssen [QRG]. c Danach rechnen wir im letzten Legendre-Symbol 163 mod 7. d Da 7 1 mod 8 gilt, ist hier uadratischer Rest mod 7. Nach dem wir uns nun ausgiebig mit dem Quadratischen Rezirozitätsgesetz beschäftigt haben, kommen wir nun zum nächsten Teil in unserem Seminar, wobei wir die eben erarbeiteten Theoreme häuger in den Beweisen wiedernden werden. 7

9 B Primzahlen mit vorgegebener Restklasse 3.05 Lemma Für a Z gilt: Die Zahl n = 4a + 1 besitzt nur Primteiler kongruent 1 mod 4. Beweis Sei a Z, Primteiler von n. Wir sehen direkt, dass n immer ungerade und echt gröÿer 0 ist. Da ein Primteiler von n ist, ist n ein Vielfaches von. Das bedeutet: n n 0 mod 4a mod a 1 mod Aus der letzten Gleichung sehen wir, dass 1 uadratischer Rest mod ist. Das bedeutet aber nach dem [1.ES], dass 1 mod 4 gelten muss. n a 1 mod = 1 1.ES 1 1 mod.e.d Satz Es gibt unendlich viele Primzahlen, sodass 1 mod 4 gilt. Beweis Diesen Beweis führen wir er Widersruch. Annahme: Es existieren nur endlich viele Primzahlen Seien also 1,..., n die einzigen Primzahlen, sodass i 1 mod 4 gilt, für i = 1,..., n. Sei P := 1 n. Daraus können wir folgern, dass die Zahl 4P durch jedes der i geteilt wird. 8

10 Also wird die Zahl 4P + 1 durch keines der i geteilt. Nach dem Satz 3.05 hat diese Zahl aber nur Primteiler kongruent 1 mod 4. Widersruch Also existieren unendliche viele Primzahlen kongruent 1 mod 4..e.d Satz Zu jeder ganzen Zahl a 0 existieren unendlich viele Primzahlen mit a = 1. Beweis Sei a Z\ {0}. Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlen a Seien 1,..., n alle Primzahlen mit i = 1 für i = 1,..., n. Wir wählen jetzt ein A Z mit ggt A, a = 1. Desweiteren soll gelten, dass, wenn a ungerade, A gerade ist. Nun sei A so groÿ, dass gilt: N := 1... n A a > 1 Nach Wahl von A erhält man, dass N ungerade und teilerfremd zu a ist. Jetzt könnte es sein, dass ein i das N teilt. Annahme: i : i N Das bedeutet, dass N ein Vielfaches von i ist. i N N 0 mod i 1... n A a 0 mod i 1... n A a mod i Da i in dem Produkt 1... n A vorkommt, ist dieses ein Vielfaches von i. Somit ist auch das Quadrat des Produktes kongruent 0 mod i. i N 1... n A a mod i 0 a mod i Die letzte Gleichung bedeutet, dass a Vielfaches von i ist, srich, i a. Dies ist aber ein Widersruch zur Annahme, dass a i = 1 9

11 gelte, da sonst nach Denition des Legendre-Symbols müsste. Wir wissen also, dass auch kein i für i = 1,..., n N teilt. a i = 0 gelten Sei ein Primteiler von N. = N 1... n A a 0 mod 1... n A a mod Da ein Teiler von N ist, kann kein Teiler von a sein. Das bedeutet, dass a kein Vielfaches von N sein kann. Wir haben also ein Quadrat gefunden, das kongruent zu a ist. = a = 1 Widersruch zur Annahme, da wir eine weitere Primzahl gefunden haben, sodass a uadratischer Rest mod ist. Da wir gezeigt haben, dass die Annahme zum Widersruch führt, haben wir unseren Satz bewiesen Satz Dirichlet Seien a, m Z mit ggt a, m = 1, m 1. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen, sodass gilt: a mod m Beweis Der Beweis würde den uns zur Verfügung stehenden Rahmen srengen, da er Kenntnisse der komlexen Analysis erfordert. Daher werden wir ihn an dieser Stelle nicht ausführen und den Satz als wahr annehmen. Kommen wir nun zum letzten Teilgebiet unseres Seminars: 10

12 C Quadratsummen 3.09 Satz Lagrange Sei eine Primzahl. Dann gilt die Äuivalenz: 1 mod 4 a, b Z : a + b = Das bedeutet, dass eine Primzahl genau dann als Summe von zwei Quadraten geschrieben werden kann, wenn sie kongruent 1 mod 4 ist. Um diese Aussage zu beweisen, benötigen wir noch folgenden Satz: 3.10 Satz von Thue Sei eine Primzahl, e, f Z mit e f > und e, f > 1. Desweiteren sei r Z. Dann nden wir zwei Zahlen x, y Z mit 0 x < e, 1 y < f und ggt y, = 1, sodass gilt: r ± x y mod Beweis von 3.10 Betrachten wir zunächst einige Fälle: Fall e Sei y = 1. Da wir x im Bereich 0 x < 1 frei wählen können, kann x kongruent modulo zu jedem Element aus Z sein. Darum können wir x ohne Einschränkungen so wählen, dass gilt: x r mod Fall f Hier müssen wir nochmals zwei Fälle unterscheiden: Fall r Wenn r ein Vielfaches von ist, dann gilt 0 mod. Wir wählen also x = 0 und y = 1. Dann gilt: 0 r x y mod Fall r Sei x = 1. Wir können y mit 0 < y 1 wählen, sodass y die Restklasse von y modulo jedes Element von F sein kann. Daraus folgt: 11

13 r F : r r mod r x y mod r y 1 mod Fall e, f < Betrachten wir die Dierenz. Seien x, ỹ Z mit 1 x e, 1 ỹ f. Betrachte die Restklasse modulo von r ỹ x im F. Betrachten wir nun die Anzahl aller möglichen Kombinationen von x, ỹ: { x, ỹ 1 x e, 1 ỹ f} = e f > Da es aber nur Elemente im F gibt, folgt dass x 1, x, ỹ 1, ỹ existieren mit rỹ 1 x 1 rỹ x mod rỹ 1 rỹ x 1 x mod r ỹ 1 ỹ x 1 x mod, wobei gilt x 1 x oder ỹ 1 ỹ. Da zwei Zahlen a, b Z genau dann kongruent modulo zueinander sind, wenn ein z Z mit der Eigenschaft a = b + c existiert, folgt, dass gilt: x 1 = x x 1 x mod ỹ 1 = ỹ ỹ 1 ỹ mod Dies kommt daher, da wir x und ỹ nur echt gröÿer 0 und echt kleiner wählen können. Deshalb existieren keine zwei Zahlen x oder ỹ, die sich um ein Vielfaches von unterscheiden. Somit gilt die obige Äuivalenz. Annahme: ỹ 1 ỹ = r ỹ 1 ỹ 1 x 1 x mod = r 0 + x x 1 mod = x x 1 mod Dies ist ein Widersruch dazu, dass gelten muss x 1 x oder ỹ 1 ỹ mod Also kann man ohne Einschränkungen sagen, dass ỹ 1 ỹ mod gilt. Dies ist deshalb wichtig, weil wir durch den Term ỹ 1 ỹ dividieren wollen. Darum müssen wir vorher sicher sein, dass wir nicht durch eine Zahl kongruent 0 mod dividieren, damit unsere Folgerungen 1

14 richtig bleiben. = ỹ 1 ỹ 0 mod = r x1 x ỹ 1 ỹ mod Da wir nun einen ositiven Zähler und einen ositiven Nenner haben wollen, wenden wir darauf den Betrag an. Um aber die Gleichheit weiterhin zu gewährleisten, machen wir das Vorzeichen des gesamten Bruchs frei wählbar. = r x1 x ỹ 1 ỹ ± x1 x ỹ 1 ỹ mod Da für x 1, x, ỹ 1, ỹ nach Denition 1 x 1, x e, 1 ỹ 1, ỹ f mit ỹ 1 ỹ, gilt, folgt für den Zähler und den Nenner des letzten Bruchs folgende Einschränkung: 0 x 1 x < e 1 ỹ 1 ỹ < f Wenn wir jetzt unsere x und y wie folgt wählen x := x 1 x und y := ỹ 1 ỹ, liegen unsere x und y im assenden Bereich und erfüllen die Behautung..e.d. Nun, da wir den Satz von Thue bewiesen haben, können wir den Satz von Lagrange beweisen. Beweis von 3.09 Sei eine Primzahl, die kongruent 1 mod 4 ist. Da als eine solche Primzahl ausscheidet da 1 mod 4 ist folgt, dass unsere Primzahl ungerade sein muss. Nach dem ersten Ergänzungssatz muss aber 1 ein uadratischer Rest in F sein. Dies bedeutet: r Z : r 1 mod Wähle e, f Z mit e = f = [ ] + 1. Daraus folgt, dass e f > gilt. Dies bedeutet nach dem Satz von Thue, dass a, b Z existieren müssen, mit 0 a < [ ] + 1 und 1 b < [ ] + 1, sodass gilt: r ± a b mod 13

15 Da, wie vorhin geschrieben, eine irrationale Zahl ist, a und b aber ganze Zahlen sind, können wir annehmen, dass gilt: 0 a < und 1 b <. Wenn wir nun die Gleichung uadrieren, können wir folgern: r a b 1 r a b mod mod Das bedeutet 1 a b mod b a mod 0 a + b mod. = c Z : a + b = c Da a und b ganze Zahlen sind und > 1 gilt, können wir die Ungleichungen uadrieren, ohne den Denitionsbereich von a und b zu verändern. 0 a < und 1 b < Wenn wir beide Ungleichungen addieren, bekommen wir folgende Aussage: 0 < a + b < Da auch die Gleichung a + b = c erfüllt ist, folgt: = a + b = Jetzt müssen wir nur noch die Rückrichtung zeigen. Hierfür können wir aber die Imlikationskette von oben benutzen. a, b Z : a + b = Annahme: a = 0 oder b = 0 Falls a = b = 0 gelten sollte, müsste = 0 sein. Also können wir annehmen, dass nur a oder nur b gleich null ist. Ohne Einschränkungen können wir festlegen, dass a = 0 sein soll, anderenfalls vertauschen wir die Rollen von a und b. Dies bedeutet, da a + b = gelten muss, dass, weil a = 0 ist, b = ist. Dies ist aber ein Widersruch zur Tatsache, dass eine Primzahl ist. 14

16 Also können wir sicher sein, dass a 0 b gilt. Auch können wir annehmen, dass a 0 b mod gilt. Denn wenn es nicht gelten sollte, müsste a oder b Vielfaches von sein. In diesem Fall wäre das Quadrat von a oder b echt gröÿer als und somit die Gleichung nicht mehr erfüllt. a, b Z\ {0} : a + b = = a + b 0 mod = a b mod Da F ein Körer ist und b 0 mod gilt, folgt, dass es für b ein assendes Multilikativinverses in F existieren muss. = a b 1 mod = a b 1 mod Daraus folgt, dass r 1 mod gilt, also dass 1 uadratischer Rest mod ist. Dies ist äuivalent zu der Aussage laut dem ersten Ergänzungssatz, dass 1 mod 4 ist. Nachdem wir auch diesen Satz bewiesen haben, kommen wir zu einem Theorem:.e.d Theorem Lagrange Jede natürliche Zahl kann als Summe von vier Quadraten dargestellt werden. Genauer: Sei n N beliebig. Dann gilt: x 1, x, x 3, x 4 Z : n = x 1 + x + x 3 + x 4 Die Aussage des Theorems ist aber nur, dass eine solche Summe immer existiert. Das Theorem sagt nicht aus, dass sie bis auf Reihenfolge eindeutig ist. Dies kann auch nicht gelten, wenn man sich die Zahl 4 anschaut: 4 = = Damit der Beweis nicht unnötig komliziert wird, führen wir vorher noch das Lemma der Euler-Identität ein: 3.1 Lemma Euler-Identität Seien x 1, x, x 3, x 4 und y 1, y, y 3, y 4 Z. Dann gilt folgende Gleichung: 15

17 x 1 + x + x 3 + x 4 y 1 + y + y3 + y4 = x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 + x 4 y 4 + x 1 y x y 1 + x 3 y 4 x 4 y 3 + x 1 y 3 x y 4 x 3 y 1 + x 4 y + x 1 y 4 + x y 3 x 3 y x 4 y 1 Diesen Satz zu beweisen, ist nicht sonderlich schwer, man multiliziert einfach aus. Natürlich gilt das Lemma auch für x und y, die in einem beliebigen kommutativen Ring liegen, und somit auch für Z. Was diesen Satz aber für die ganzen Zahlen und somit auch für uns interessant macht, ist das, was er aussagt. Wenn wir wissen, dass zwei Zahlen Summe von vier Quadraten sind, können wir damit zeigen, dass auch deren Produkt als Summe von vier Quadraten darstellbar ist. Beweis von 3.11 Nach dem Satz der Euler-Identität, genügt es, das Theorem nur für natürliche Zahlen zu beweisen, die Primzahlen sind. Wenn wir dies beweisen können, wissen wir, dass auch deren Produkt, bedeutet alle restlichen natürlichen Zahlen da jede natürliche Zahl als Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann, auch Summen von vier Quadratzahlen sind. Da = gilt, können wir wie folgt wählen: N ist eine Primzahl, mit >. Das bedeutet, dass ungerade sein muss, da ansonsten durch teilbar wäre und somit keine Primzahl. Seien nun die Mengen A und B wie folgt deniert: A = { x F ȳ F : ȳ = x } B = { ȳ F x F : ȳ = 1 x } Die Anzahl der Elemente der Menge A und der Menge B sind gleich, da wir eigentlich nur die Elemente aus der Menge A nehmen und sie ein wenig verändern. A = B Betrachten wir nun die Menge C: C = { x F ȳ F : ȳ = x } Die Menge A hat nur ein Element mehr als die Menge C, nämlich 0. Behautung: C = 1 Sei G := F, wobei. Wir denieren folgende Abbildung: 16

18 ϕ : G G, x x Dies ist ein Gruenhomomorhismus, da gilt: ϕ x ȳ = x ȳ = x y = ϕ xϕȳ F abelsch Betrachten wir nun den Kern dieser Abbildung: Ker ϕ = { x F x = 1 } = { x F x 1 = 0 } Da x 1 F [ x] den Grad hat, folgt, dass es höchstens zwei Nullstellen besitzen kann. Für x 1 = 1 und x = 1 wird es gleich Null und somit haben wir alle möglichen Nullstellen gefunden. = Kerϕ = Da wir wissen, dass G / Kerϕ = Im ϕ gilt, folgt daraus: Ker ϕ = G / Kerϕ = G : Ker ϕ = G Kerϕ Da G = F = 1 und Kerϕ = gilt, folgt für die Anzahl der Elemente des Bildes: Ker ϕ: Ker ϕ = G Kerϕ = 1 Das bedeutet für die Anzahl der Elemente der Menge A bzw. B: A = C + 1 = = +1 Daraus können wir schlieÿen, dass der Schnitt von A und B nicht leer ist. x, ȳ F : 1 x = ȳ 0 = x + ȳ + 1 Seien x, y Z zwei Reräsentanten für x und ȳ mit der Eigenschaft: < x, y < Da eine Primzahl ungleich ist, ist keine ganze Zahl. Da wir x und y in einem Bereich von bis wählen, können x und y kongruent zu jeder Zahl im F sein. Also gilt: 17

19 x + y mod Daraus können wir folgern, dass ein n N mit folgender Eigenschaft existiert: x + y + 1 = n Da x, y, 1 < gilt, können wir jeden der Summanden nach oben durch abschätzen und nach unten durch 0. 0 < x + y + 1 < + + = 3 4 < Dies bedeutet für unser eben gewähltes n, dass wir ohne Einschränkungen annehmen können, dass n < ist. Diese Aussage folgt, da 0 < x + y + 1 = x + y + 1 = n < gilt. Daraus können wir folgern, dass wir ein Vielfaches von als Summe von drei Quadratzahlen darstellen können. Das bedeutet auch, dass wir ein Vielfaches von als Summe von vier Quadratzahlen schreiben können: x 1, x, x 3, x 4 Z, n N, n < : x 1 + x + x 3 + x 4 = n Sei m N die kleinste Zahl, mit der Eigenschaft: x 1, x, x 3, x 4 Z : x 1 + x + x 3 + x 4 = m 1 Natürlich gilt auch für m, dass es echt kleiner als ist. Wir wollen nun zeigen, dass m = 1 gilt, da wir dann unser Theorem bewiesen haben. Dazu führen wir den Beweis durch Widersruch. Annahme: m > 1 Wählen wir nun y 1 y, y 3, y 4 Z mit folgenden zwei Eigenschaften: y i x i mod m für i = 1,..., 4 m < y i m für i = 1,..., 4 Dadurch, dass wir m nicht zwingend ungerade sein muss, müssen wir x i, y i m für i = 1,..., 4 wählen. Trotz der Einschränkungen für y 1,..., y 4, kann jedes y kongruent zu jedem Element aus dem Zahlenring Z/mZ sein. Es können beide Einschränkungen für jeden Fall erfüllt sein. = 1 y 1 + y + y 3 + y 4 0 mod m Das bedeutet, es existiert ein r N 0 mit 18

20 rm = y 1 + y + y 3 + y 4. für jedes i = 1,..., 4 gilt, können wir folgende Abschätzung ma- Da y i m chen: rm = y 1 + y + y 3 + y 4 m 4 + m 4 + m 4 + m 4 = m. Damit können wir über r sagen, dass es kleiner gleich m sein muss. Jetzt multilizieren wir die Gleichung 1 mit der Gleichung : m r = x 1 + x + x 3 + x4 y 1 + y + y3 + y4 = 3.11 A + B + C + D 3 Die letzte Gleichung kommt nach dem Lemma der Euler-Identität zustande. Dabei sind A, B, C, D Z die entsrechenden Terme aus dem Lemma. Da y i x i mod m für i = 1,..., 4 gilt, können wir zeigen, dass A durch m teilbar ist: A = x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 + x 4 y 4 x 1 + x + x 3 + x 4 = 1 m 0 mod m Auch können wir so zeigen, dass B von m geteilt wird: B = x 1 y x y 1 + x 3 y 4 x 4 y 3 x 1 x x x 1 + x 3 x 4 x 4 x 3 = 0 mod m Analog zu der obigen Rechnung kann man zeigen, das auch C und D Vielfache von m sind. Das bedeutet auch, dass A m, B m, C m, D m ganze Zahlen, also Elemente aus Z sind. Darum können wir die Gleichung 3 durch m dividieren. = 3 r = A m + B m + C m + D m 4 Also können wir das Produkt r als Summe von vier Quadratzahlen schreiben. Als nächstes machen wir die Überlegungen, ob r = 0 oder r = m sein kann. Annahme: r = 0 nach gilt: rm = y1 + y + y3 + y4 = 0 = y1 + y + y3 + y4 0 = y 1 = y = y 3 = y 4 Da 0 = y i x i mod m gilt folgt, dass x i durch m teilbar ist, für i = 1,..., 4. Das bedeutet, dass ein c i Z existiert, sodass x i = c i m gilt i = 1,..., 4. 19

21 m = 1 x 1 + x + x 3 + x 4 = c 1 m + c m c 3 m + c 4 m = c 1m + c m + c 3m + c 4m = c 1 + c + c 3 + c4 m Wenn wir jetzt die letzte Gleichung durch m dividieren m war nach Annahme echt gröÿer 1, sehen wir, dass ein Vielfaches von m ist. Dies ist nicht möglich, da eine Primzahl ist. Annahme: r = m Nach der Annahme muss m = y1 +y +y3 +y4 das war die Gleichung gelten. Da y i der Einschränkung m < y i m unterliegt für i = 1,..., 4, muss, damit die erste Gleichung erfüllt ist, y i = m i = 1,..., 4 gelten. Dies bedeutet auch, da y i ganzzahlig sein muss für i = 1,..., 4, dass m gerade ist. Auÿerdem da y i x i mod m existiert ein c i Z, sodass gilt: x i = m + c im für i = 1,..., 4 Nach 1 gilt: = x i = m 4 + c im + c i m m 4 mod m m = x 1 + x + x 3 + x 4 m 4 + m 4 + m 4 + m 4 mod m m mod m Dies bedeutet, dass durch m geteilt wird. Dies ist ein Widersruch zur Denition von. Jetzt können wir über r sagen, dass gelten muss: 0 < r < m Es gilt aber auch nach Gleichung 4, dass r als Summe von vier Quadratzahlen geschrieben werden kann, wobei r < m ist. Da aber, nach Denition, m das kleinste Vielfache von ist, sodass m Summe von vier Quadratzahlen ist, existiert ein Widersruch zur Annahme, dass m > 1 gilt. Also muss gelten, dass m = 1 ist. Damit ist alles gezeigt..e.d. Nachdem wir jetzt wissen, dass wir jede natürliche Zahl als Summe von vier Quadraten schreiben können und, da wir wissen, wann wir eine Primzahl als Summe von zwei Quadraten schreiben können genau 0

22 dann wenn die Primzahl kongruent 1 mod 4 ist, interessiert es uns auch, wann wir eine Zahl als Summe dreier Quadrate schreiben können Theorem Gauÿ Sei n N. Es existieren genau dann x 1, x, x 3 Z mit x 1 + x + x 3 = n wenn gilt, dass a, b N 0 : 4 a 8b + 7 n Dieses Theorem ist bewiesen, aber unsere jetzigen Mittel reichen nicht aus, diesen Beweis aufzuschreiben. Wer dennoch an dem Beweis interessiert ist, kann ihn im [Sch] beginnend auf Seite 199 nden. Das obige Theorem hat dort die Nummer

23 D [Sch] Literaturverzeichnis A. Schmidt: Einführung in die Algebraische Zahlentheorie, Sringer Verlag 007