Satz von Riemann-Roch

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1 Satz von Riemann-Roch Paul Schwadke Dezember 2011 Der Satz von Riemann sagt aus, dass in einem Funktionenkörper F/K vom Geschlecht g ein Divisor A Div(F ) der Ungleichung dim K L(A) dega + 1 g genügt. Auÿerdem haben wir bereits gesehen, dass es für jeden Funktionenkörper eine Schranke c gibt, sodass die Gleichheit für alle Divisoren mit dega c gilt. Wir wollen jetzt für die Divisoren, für die Gleichung nicht gilt, die Gröÿe der Abweichung bestimmen. Dazu deniren wir den Spezialitätsindex von A Div(F ) als i(a) := l(a) dega + g 1, wobei l(a) im folgenden die Dimension des K-Vektorraums L(A) bezeichne. Wir sehen sofort, dass Riemanns Theorem aussagt, dass dieser Index positiv ist. Auÿerdem ist i(0) = g, da L(0) = K nach Lemma Denition Ein Adel von F/K ist eine Abbildung α : P F F mit P α P, sodass α P O P für fast alle P P F. Wir denieren den Raum der Adele von F/K als A F := {α α ist ein Adel von F/K}. Man überlegt sich, dass das ein K-Vektorraum ist. Auÿerdem setzen wir v P (α) := v P (α P ). Bemerkung: Wir wissen das ein Element x F nur an endlich vielen Stellen P P F einen Pol hat, d.h. x / O P. Das wiederum bedeutet, dass die konstante Abbildung x : P F F mit P x ein Adel ist. Dieses Adel heiÿt Hauptadel von x. Wir können also unseren Funktionenkörper in den Raum der Adele einbetten: F A F. 1

2 Denition Für A Div(F ) setzen wir Wir benötigen folgendes A F (A) := {α A F v P (α) v P (A), P P F }. Lemma Sei A 1, A 2 Div(F ) und A 1 A 2, dann (a) A F (A 1 ) A F (A 2 ) (b) dim(a F (A 2 )/A F (A 1 )) = deg A 2 deg A 1 (c) dim((a F (A 2 ) + F )/(A F (A 1 ) + F )) = (deg A 2 l(a 2 )) (deg A 1 l(a 1 )). Lemma Sei B einen Divisor mit l(b) = deg B + 1 g, dann gilt auch A F = A F (B) + F. Wir bekommen die erste Charakterisierung für den Spezialitätstindex. Satz Für einen Divisor A Div(A) gilt i(a) = dim K (A F /(A F (A) + F )). Beweis: Sei A ein beliebiger Divisor. Nach dem Satz von Riemann gibt es A 1 A, sodass l(a 1 ) = deg A g. Dann ist nach dem vorangegangenem Lemma auch A F = A F (A 1 )+F und wir bestimmen dim(a F /(A F (A) + F )) = dim((a F (A 1 ) + F )/(A F (A) + F )) = (deg A 1 l(a 1 )) (deg A l(a)) = (g 1) deg A + l(a) = i(a). Korollar Für das Geschlecht g des Funktionenkörpers F/K gilt g = dim K (A F /A F (0) + F )). Beweis: Es gilt i(0) = l(0) deg 0 + g 1 = g q.e.d. 2

3 Denition Ein Weil Dierential des Funktionenkörpers F/K ist eine K-lineare Abbildung ω : A F K die für einen Divisor A Div(F ) auf A F (A) + F verschwindet. Wir nennen Ω F := {ω ω ist ein Weil Dierential von F/K} der Modul der Weil Dierentiale von F/K. Für A Div(F ) sei Dies sind beides K-Vektorräume. Ω F (A) := {ω Ω F ω verschwindet auf A F (A) + F }. Lemma (a) Für A Div(F ) gilt dim k Ω F (A) = i(a) (b) Ω F 0. Beweis: (a)aus Ω F Dual K (A F ) folgt, dass Ω F (A) zu dem Dualraum von A F /(A F (A)+ F ) kanonisch isomorph ist. Darum gilt i(a) = dim(a F /(A F (A) + F )) = dim Ω F (A). (b)wir nden einen Divisor A Div(F ) mit deg(a) 2, dann ist q.e.d. dim K Ω F (A) = i(a) = l(a) deg A + g 1 1. Denition Für x F und ω Ω F, setzen wir xω : A F K durch α ω(xα). Dadurch wird Ω F zum Vektorraum über F. Satz Der Vektorraum Ω F über F ist ein-dimensional. Denition Sei ω 0 ein Weil Dierential von F/K. Dann ist M(ω) := {A Div(F ) ω verschwindet auf A F (A) + F }. Lemma Sei 0 ω Ω F ein Weil Dierential. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Divisor W M(ω), sodass A W für alle A M(ω). Denition (a) Der Divisor (ω) eines Weil Dierentials ω 0 ist das eindeutig bestimmte W M(ω) aus dem obigen Lemma. (b)für 0 ω Ω F und P P F setzen wir v P (ω) := v P ((ω)). (c)eine Stelle P heiÿt Nullstelle(bzw. Polstelle) von ω wenn v p (ω) > 0(bzw. v P (ω) < 0. Ein Weil Dierential ω heiÿt regulär an P, wenn v P (ω) 0, und ω heiÿt regulär oder holomorph wenn es an allen Stellen P P F regulär ist. 3

4 (d)ein Divisor W Div(F ) heiÿt kanonischer Divisor von F/K, wenn W = (ω) für ein Weil Dierential ω Ω F. Bemerkungen Es folgt und Auÿerdem wissen wir bereits, dass Ω F (A) = {ω Ω F ω = 0 oder (ω) A} Ω F (0) = {ω Ω F ω ist regulär}. dim K Ω F (0) = i(0) = g. Satz (a) Für 0 x F und 0 ω Ω F gilt (xω) = (x) + (ω). (b) Je zwei kanonische Divisoren sind äquivalent. Satz Sei A Div(F ) und W = (ω) ein kanonischer Divisor von F/K. Dann ist µ : L(W A) Ω F (A) mit x xω ein K-Vektorraumisomorphismus. Im Besonderen gilt i(a) = l(w A). Mit diesem Satz und der Denition folgt das wichtige Theorem von Riemann-Roch: Satz von Riemann-Roch Sei W ein kanonischer Divisor von F/K und A Div(F ), dann gilt l(a) = deg A + 1 g + l(w A). Q.E.D. Korollar Für einen kanonischen Divisor W gilt degw = 2g 2 und l(w ) = g. Beweis: Wir wissen aus einem früheren Lemma(1.4.7., dass L(0) = K also, dass l(0) = 1. Damit folgt aus dem Satz von Riemann-Roch, dass 1 = l(0) = deg g + l(w 0) = 1 g + l(w ) und somit l(w ) = g. Desweiteren folgt aus Riemann-Roch, dass g = l(w ) = deg W + 1 g + l(w W ) = deg W + 2 g und damit 2g 2 = degw. q.e.d. 4

5 Satz Für einen Divisor A über F/K vom Grad deg A 2g 1 gilt l(a) = deg A + 1 g. Beweis: Wir rechnen deg(w A) = deg W deg A 2g 2 2g + 1 = 1 < 0. Damit folgt aus Lemma , dass l(w A) = 0 und somit aus dem Satz von Riemann- Roch, dass l(a) = deg A + 1 g + l(w A) = deg A + 1 g. q.e.d. Man sieht, dass 2g 1 die best mögliche Schranke ist, damit diese Identität, die wir schon aus dem Satz von Riemann kennen, gilt. Das ergibt sich, da deg W = 2g 2 für einen kanonischen Divisor und für diesen gilt. l(w ) > deg W + 1 g Quellen [1] O.Forster, Riemannsche Flächen, Heidelberger Taschenbücher; Bd. 184, Springer- Verlag, Berlin Heidelberg, 1977 [2] H.Stichenoth, Algebraic Function Fields and Codes, Graduate Texts in Math. 254, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg,