Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat. Hauptseminar: Eine Einladung in die Mathematik Leitung: Prof. Dr. Lukacova Referent: Julia Breit Datum:

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1 Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Hauptseminar: Eine Einladung in die Mathematik Leitung: Prof. Dr. Lukacova Referent: Julia Breit Datum:

2 GLIEDERUNG Einleitung Der Zwei-Quadrate-Satz Vorwissen Lemmata/Proposition/Beweise Ausblick Literatur

3 EINLEITUNG Pierre de Fermat * französischer Mathematiker und Jurist leistete viele wichtige Beiträge zur Mathematik, z.b.: Fermatsche Zahlen: F n = 2 2n + 1 kleiner Fermatscher Satz: a p a (mod p) großer Fermatscher Satz Zwei-Quadrate-Satz

4 EINLEITUNG 1= 1²+0² 2= 1²+1² 3=??? 4= 2²+0² 5= 2²+1² 6=??? 7=??? 8= 2²+2² 9= 3²+0² 10= 3²+1² Welche natürlichen Zahlen von 1-10 sind als Summe zweier Quadrate darstellbar?

5 DER ZWEI-QUADRATE-SATZ Eine natürliche Zahl n kann als Summe von zwei Quadraten dargestellt werden. Jeder Primfaktor der Form p = 4m + 3 in der Primfaktorzerlegung von n mit geradem Exponenten auftritt.

6 DER ZWEI-QUADRATE-SATZ Diophant von Alexandria (100 v. Chr. 350 n. Chr.) kannte bereits Teile der Aussage Albert Girard ( ) gab wohl korrekte Formulierung von notwendigen und hinreichenden Bedingungen an Fermat ( ) gab (vermutlich unabhängig von Girard) äquivalente Bedingungen an, behauptete diese beweisen zu können (jedoch nicht überliefert) erster überlieferter Beweis stammt von Euler ( ) (Elsholtz 2003: 78f)

7 VORWISSEN Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie: Zu jedem n ε N 2 gibt es genau ein t ε N 1 und eindeutig bestimmte Primzahlen q 1, q 2, q t mit q 1 q 2 q t, sodass n = q 1 q 2 q t gilt. Klassifizierung der Primzahlen: (Möller 2008: 49) p= 2 4m + 1 4m + 3 Wobei jede Primzahl in genau eine Klasse fällt. (Aigner/Ziegler 2002: 21)

8 VORWISSEN z.z.: Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form 4m + 3. Beweis: Wenn es endlich viele gäbe, könnten wir p k als die Größte betrachten N k p k 1 N k 3 mod 4 N k muss also Primfaktor der Form 4m + 3 haben, also: 4m p k 1 4m p k 4m+3 ist neue Primzahl > p k

9 LEMMA 1 Für jede Primzahl p der Form p = 4m + 1 hat die Gleichung s 2 1 (mod p) zwei Lösungen s 1, 2,, p 1, für p = 2 gibt es genau eine solche Lösung, während es für Primzahlen von der Form p = 4m + 3 keine Lösung gibt.

10 LEMMA 1 - Beweis Für p = 2 ist s = 1 die Lösung von s 2 1 mod p Für ungerade p konstruieren wir Äquivalenzrelation auf der Menge 1, 2,, p 1 x, x, x, x (4 Elemente) es gibt jedoch auch kleiner Äquivalenzklassen, wenn: x x (ist für ungerades p unmöglich) x x x x

11 LEMMA 1 - Beispiel p = 11 hat die Zerlegung: 1, 10 2, 9, 6, 5 3, 8, 4, 7 p = 13 hat die Zerlegung: 1, 12 2, 11, 7, 6 3, 10, 9, 4 5, 8 5, 8 entspricht den beiden Lösungen von s² 1 (mod 13)

12 LEMMA 1 - Beweis Für p = 2 ist s = 1 die Lösung von s 2 1 mod p Für ungerade p konstruieren wir Äquivalenzrelation auf der Menge 1, 2,, p 1 x, x, x, x (4 Elemente) es gibt jedoch auch kleiner Äquivalenzklassen, wenn: x x (ist für ungerades p unmöglich) x x x x Die Menge 1, 2,, p 1 kann in Äquivalenzklassen der Größe 4 und zusätzlich einem oder zwei Paare der Größe 2 aufgeteilt werden für p = 4m + 3 hat die Kongruenz s 2 1 (mod p) keine Lösung für p = 4m + 1 hat die Kongruenz s 2 1 (mod p) zwei Lösungen

13 LEMMA 1 - Folgerung Jeder ungerade Primteiler von s 2 1 (mod p) muss von der Form 4m + 1 sein.

14 LEMMA 2 Keine Zahl n = 4m + 3 ist Summe von zwei Quadraten. Beweis: 1. Fall: Quadrate gerader Zahlen: (2k)² = 4k² 0 (mod 4) 2. Fall: Quadrate ungerader Zahlen: (2k + 1)² = 4(k² + k) (mod 4) Die Summe zweier Quadrate ist also kongruent zu 0, 1 oder 2 (mod 4).

15 PROPOSITION Jede Primzahl der Form p = 4m + 1 ist eine Summe von zwei Quadrate, sie kann also als p = x² + y² dargestellt werden mit natürlichen Zahlen x und y.

16 PROPOSITION 1. Beweis: Thue wir betrachten Paare x, y ε Z mit x, y ε 0, 1,, p =: M es gibt genau ( p + 1)² solche Paare, also mehr als p solcher Paare daher können Werte x sy nicht alle mod p verschieden sein (für festes s ε Z) x, y, x, y ε M mit x sy x sy mod p x x s y y (x, y)ε M² mit x ±sy mod p x y mod p nach Lemma 1 muss s als eine Lösung von s 2 1mod p existieren dann gilt x 2 s 2 y 2 y² mod p man erhält: x, y ε Z² mit 0 < x 2 + y² < 2p und x 2 + y 2 0 mod p

17 PROPOSITION 2. Beweis: Heath-Brown von Roger Heath-Brown 1971 entdeckt, erschien 1984 es gibt eine Kurzversion dieses Beweises von Don Zagier Beweis so elementar, dass Lemma 1 nicht benötigt wird Lösungsmenge der Gleichung x² + 4yz = p wird betrachtet, wobei p Primzahl der Form p = 4m + 1

18 PROPOSITION 2. Beweis: Heath-Brown Die durch x y z x + 2z, z, y x z 2y x, y, x y + z x 2y, x y + z, y falls x < y z falls y z < x < 2y falls x > 2y auf der endlichen Menge S = x, y, z N 3 : x 2 + 4yz = p definierte Involution hat genau einen Fixpunkt, so dass S ungerade ist; daher hat aber auch die Involution x, y, z x, z, y einen Fixpunkt. (Elsholtz 2003: 77f)

19 ZWEI-QUADRATE-SATZ Eine natürliche Zahl n kann als Summe von zwei Quadraten dargestellt werden. Jeder Primfaktor der Form p = 4m + 3 in der Primfaktorzerlegung von n mit geradem Exponenten auftritt.

20 ZWEI-QUADRATE-SATZ - Beweis wenn 1. 1=1²+0² und 2 =1²+1² sind darstellbar. Jede Primzahl der Form p=4m+1 ist darstellbar. 2. Das Produkt von zwei Zahlen n 1 = x y 1 2 und n 2 = x y 2 2 ist darstellbar: n 1 *n 2 = x 1 x 2 + y 1 y (x 1 y 2 x 2 y 1 )² 3. Wenn n darstellbar ist, n=x²+y², dann ist auch nz² darstellbar: nz² = (xz)² + (yz)²

21 ZWEI-QUADRATE-SATZ - Beweis dann 4. Wenn p = 4m + 3 eine Primzahl ist, die eine darstellbare Zahl n = x² + y² teilt, dann teilt p sowohl x als auch y. Damit ist n auch durch p² teilbar. Wenn nämlich x 0 (mod p) wäre, gäbe es ein x mit x x 1 (mod p). x² + y² 0 mit x² multiplizieren 1 + y 2 x 2 = 1 + xy 2 = 0 (mod p) Was für 4m + 3 nach Lemma 1 unmöglich ist. 5. Wenn n darstellbar und durch p = 4m + 3 teilbar ist, dann ist n auch durch p² teilbar und n/p² ist ebenfalls darstellbar. Dies folgt aus 4.

22 AUFGABE Überlege dir, welche der folgenden Zahlen als Summe zweier Quadrate darstellbar sind (und gibt diese an):

23 AUSBLICK Wie stellt man nun eine gegebene Zahl n als die Summe zweier Quadrate dar? Proposition aus GAZ: Ist fεn eine Zahl mit der Eigenschaft, dass p teilt f und ggt(f + i, p) = a + ib, so gilt p = a² + b².

24 AUSBLICK Für zusammengesetzte Zahlen ist eine Zerlegung nicht mehr eindeutig z. B. : 65 = 4² + 7² = 8² + 1² Jede positive ganze Zahl lässt sich als Summe von höchstens vier ganzen Quadratzahlen darstellen (Lagrange): z. B. : 31 = ²

25 LITERATURVERZEICHNIS AIGNER, M./G.M. ZIEGLER ( ): DAS BUCH der Beweise, Berlin Heidelberg New York, Springer. BARTHOLOMÉ, A., J. RUNG, H. KERN (1995): Zahlentheorie für Einsteiger, Braunschweig Wiesbaden, Vieweg. ELSHOLTZ, C. (2003): Kombinatorische Beweise des Zweiquadratesatzes und Verallgemeinerungen. In: Math. Semesterberichte 50 (2003), S MÖLLER, H. (2008): Elementare Zahlentheorie und Problemlösen. Münster. Kompass-Buch. MÜLLER-STACh, S., PIONTKOWSKI, J. (2011): Elementare und algebraische Zahlentheorie Ein moderner Zugang zu klassischen Themen. Springer. STRATEN V., D. (2013): Geometrie, Algebra und Zahlentheorie. Institut für Mathematik. Johannes Gutenberg-Universität Mainz. WEIL, A. (1992): Zahlentheorie Ein Gang durch die Geschichte, von Hammurapi bis Legendre. Basel Boston Berlin. Birkhäuser Verlag. WINTEr, H. (2003): Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat eine Studie zur Heuristik des Beweisens. In: Math. Semesterberichte 50, S ZAGIER, D. (2002): Summen von Quadratzahlen, Summen von Kubikzahlen. In: Jahrbuch 2001 der Deutschen Akademie der Naturforscher Leopoldina (Halle/Saale), R3 47 (2002): Bilder: Fermat: ( )

26 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit.