Wenn nicht anders angegeben sei im Folgendem stets p eine Primzahl, q := p n und F q der Körper mit q Elementen.

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1 : Ergänzungssätze zum Rezirozitätsgesetz I Vorbereitung 1.1 Notation Wenn nicht anders angegeben sei im Folgendem stets eine Primzahl, q := n und F q der Körer mit q Elementen. 1. Erinnerung Aus Algebra I ist bereits bekannt: i) Sei = charf q ) die Charakteristik von F q, dann ist die Abbildung ϕ: F q Fq x x ein Körerautomorhismus, der Frobeniushomomorhismus F inj. wg. Körerhom Die Abbildung surj. wg. F q endl. ev a : F q [T ] F q f fa) ist ein surjektiver) Ringhom. Der Einsetzungshomomorhismus. iii) Für eine endliche Grue G und eine Untergrue H G gilt der Satz von Lagrange: G = H G: H) Hierbei bezeichnet G: H) = G/H den Index von H in G iv) Die Ordnung ordg) := G einer endlichen Grue G ist ihre Mächtigkeit. Man definiert ordx) := min als die Ordnung eines Elements x G. Damit gilt: { r N >0 } x r = e O x r = e = ordx) r v) Aus iii) folgt: Und damit insbesondere: ordx) ordg) x G L x ordg) = e x G Hautseminar: Algebraische Zahlentheorie Seite 1

2 vi) In einem Integritätsring R gilt die Kürzungsregel: ab = ac = b = c b, c R, 0 a R vii) Die Einheitengrue F q eines endlichen Körers F q ist zyklisch. Das heißt γ F q : ordγ) = q 1 = ordf q) viii) Jede Untergrue G F q ist zyklisch. Insbesondere die Grue U n := { } x F q x n = 1 der n-ten Einheitswurzeln. II Quadratzahlen in endlichen Körern.1 Definition i) Eine Zahl a F q heißt ein Quadrat : x F q : x = a in F q Für eine Primzahl heißt eine Zahl a quadratischer Rest modulo, wenn a ein Quadrat in Z/Z ist. Eine Zahl b Z/Z heißt quadratischer Nichtrest, wenn sie kein quadratischer Rest ist.. Beisiel Betrachte die Elemente in F 5 : x F x Also sind 1 und 4 quadratische Reste, und 3 quadratische Nichtreste..3 Proosition Sei F q der Körer mit q Elementen und es gelte charf q ). Die Abbildung η : F q {±1} x x q 1)/ ist ein wohldefinierter Gruenhomomorhismus. Wegen charf q ) gilt: q = q 1) = r := q 1 Z Zeige: η ist Gruenhom: Seite WS 01/13

3 η1) = 1 r = 1 a, b F q : a F q : ηab) = ab) r komm. = a r b r = ηa)ηb) ηa 1 ) = a 1 ) r = a r ) 1 = ηa) 1 Zeige noch: ηx) {±1} x F q Sei x F q beliebig Wegen F q Körer gilt: F q = F q \ {0} = ) F q = q 1 1 L = x q 1 = ηx) ) = 0 = ηx) 1 = ηx) 1 ) ηx) + 1 ) ) ) Wegen F q IR folgt: ηx) 1 = 0 ηx) + 1 = 0 = ηx) = 1 ηx) = 1.4 Proosition In der Situation von.3 ist η surjektiv. 1 = η1) klar wegen η Gruenhom Zeige also nur: η 1 1) Die Grue F q ist zyklisch vgl. 1. vii)). Sei γ F q ein rimitives Element. WA: ηγ) = 1 = 1 = ηγ) = γ q 1)/ O 1. vii) = q 1 = ordγ) q 1 da q 1 > q 1 = ηγ) = 1 = γ η 1 1) = η surjektiv..5 Satz Es sei F q der Körer mit q Elementen. Es gilt: i) Falls charf q ) = Falls charf q ) ist jedes Element von F q ein quadratischer Rest. ist die Folge 1 F q ι F q η {±1} 1 exakt. Hautseminar: Algebraische Zahlentheorie Seite 3

4 i) Es ist ϕ: F q Fq, x x ein Körerautomorhismus F Sei also x F q beliebig. Es bezeichne β := ϕ 1 x) F q Dann gilt: β = ϕβ) = ϕ ϕ 1 x) ) = x = x F q ) Es ist klar, dass ι injektiv ist. Nach Proosition.4 ist η surjektiv. Zeige also nur noch: imι) = kerη) Sei x imι) = x F q = β F q : β = x ηx) = ηβ ) = β ) q 1)/ = β q 1 L = 1 = x kerη) ) Sei x kerη) = 1 = ηx) = x q 1)/ Sei γ F q ein rimitives Element Existenz nach 1. vii)) x kerη) F q = n N : ) γ n = x 1 x kerη) = ηx) ) = η γ n ) = γ n ) q 1)/ = γ q 1)n/ O 1. vii) = q 1 = ordγ) n q 1) = α Z : αq 1) = n q 1) 1. vi) = α = n = +) n = α Aus ): x = γ n +) = γ α = γ α ) = x F q F q.6 Korollar In der Situation von Satz.5 gilt: F q F q ist ein Normalteiler mit Index. Algebra I F q F q ist der Kern des Gruenhoms η und damit ein Normalteiler. Nach Homomorhiesatz gilt, da η surjektiv und kerη) = F q : ) F / q F q = {±1} Seite 4 WS 01/13

5 F q : F ) 1. iii) q = F q/f ) q = {±1} = III Das Legendre-Symbol 3.1 Definition Sei eine Primzahl und x F. Die Zahl heißt das Legendre-Symbol von x. ) x := η x) := x 1)/ {±1} Setze ) 0 := 0 3. Lemma Es gelten: ) i) x = 1 x F ) ) ) xy = x y i) ) x = 1 Def 1 = x 1)/ = η x) x kerη ).5 = F ) xy Def = η xy) hom =.3 η x)η y) Def = x ) y ) 3.3 Korollar Euler Kriterium) Sei eine ungerade Primzahl. Dann gilt für eine Zahl k mit, k) = 1 die Gleichheit: ) k k 1)/ mod ) Sezialfall von Satz.5 mit q = 3.4 Korollar ) x = y 1 Sei x F. Dann existiert ein y F : y = x. Es gilt F ist der alg. Abschluß Hautseminar: Algebraische Zahlentheorie Seite 5

6 Die Existenz ist klar. Nullstelle des Polynoms T x F [T ] im algebraischen Abschluß F ) Es gilt: 1 L = x 1 Vor = y ) 1 = y 1 ) vgl..3 = y 1 {±1} und außerdem gilt: ) x = 1 3. i) x F T x F [T ] reduzibel ) x [ F y): F ] = 1 y F ev y T T ) = 0 y 0 0 = ev y T 1 1) y 1 1 = 0 y 1 = Proosition Sei n Z mit n. Dann gelten: i) n 1 8 n 1 Sei r = k für k N. Für die kanonische Projektion π r : Z Z/rZ gilt: π r n) Z/rZ ) i) 1. Aussage klar. Wegen gilt π 8 n) Z/8Z ) vgl. Bemerkung bei 3.9 Es ist Z/8Z ) = {1} = n 1 0 mod 8) = 8 n 1 Es gilt sogar: π r n) Z/rZ ) n n, n) = 1 k, n) = 1 =r Bezout n Z/rZ ) Seite 6 WS 01/13

7 3.6 Definition Sei n Z mit n. Dann bezeichnen und ε : Z \ Z Z/Z n n 1 mod ) zwei Abbildungen von Mengen. ω : Z \ Z Z/Z n n 1 mod ) 8 Bemerkung: Die Wohldefiniertheit sichert Proosition Lemma Es existieren zwei wohldefinierte Gruenhoms ε: Z/4Z ) Z/Z ω : Z/8Z ) Z/Z sodass die Diagramme Z \ Z π 4 ε Z/4Z ) ε Z/Z Z \ Z π 8 ω Z/8Z ) ω Z/Z kommutieren. Die Abbildungen π 4, π 8 sind Einschränkungen aus 3.5 auf die Teilmenge Z\Z Man sieht leicht, dass ε 0, n 1 mod 4) n) = 1, n 3 mod 4) ω 0, n 1, 7 mod 8) n) = 1, n 3, 5 mod 8) Damit folgt die Existenz von ε, ω sowie die Kommutativität. Man sieht leicht, dass ε, ω Gruenhoms sind. 1 0 klar fab) = fa)+fb) rechnen fa 1 ) = fa) Identifiziere in Zukunft ε mit ε und ω mit ω klar, da Gr- Exonent gleich Hautseminar: Algebraische Zahlentheorie Seite 7

8 3.8 Proosition Sei F q der Körer mit q Elementen und := charf q ) seine Charakteristik. Es gilt #U n = n νn) Setze k := ν n) und r := n k Dann folgt: n = k r Es gilt U n = N f := T n 1) Betrachte also die Nullstellenmenge N f) des Polynoms f F q [T ]: T n 1 = T rk 1 = F T r 1 =:g ) k Also haben wir #N f) = #N g) und es gilt nach Definition von r, dass r Es ist klar, dass g in F q genau degg) = r Nullstellen hat und wegen r r 1 g = rt 0 g hat nur 0 / U n als NSt hat g keine mehrfachen Nullstellen = #N g) = r 3.9 Satz Ergänzungssätze zum quadratischen Rezirozitätsgesetz) Sei eine Primzahl. Es gelten: i) 1 ) = 1 iii) ) 1 = 1) ε) 1. Ergänzungssatz) ) = 1) ω). Ergänzungssatz) Da ev 3, ev 5 Nullteiler i) klar, da 1 = 1 Bemerkung: {±1} sind die einzigen Lösungen von X 1 mod ) ) Vergleiche: In Z/8Z gibt es vier Lösungen, nämlich: Z/8Z Seite 8 WS 01/13

9 Das Euler Kriterium 3.3 liefert mit k = 1: ) 1 1) 1)/ mod ) = 1) ε) = Behautung iii) 1. viii) Sei ζ 8 F eine rimitive 8-te EW = ordζ 8 ) = 8 in U 8 1 = ζ8 8 = ζ8 4 ) vgl..3 = ζ8 4 {±1} Wegen ordζ 8 ) = 8 folgt: ζ8 4 1 sonst 4 8 wegen O) = +) ζ4 8 = 1 Setze y := ζ 8 + ζ 1 8 und betrachte y = ζ 8 + ζ 1 8 ) = ζ 8 + ζ 8 ζ8 1 =1 8 = + ζ8 + ζ8 = ) = 0 +ζ ) ζ8 + ζ 8 = ζ8 ζ ζ8) 0 +) = ζ ) = 0 Es ist also y eine Lösung der Gleichung T = im alg. Abschluß F. Und es gilt die Gleichheit ) y = ζ 8 + ζ8 1 ) F = ζ 8 + ζ 8 1. Fall) 1, 7 mod 8) ±1 mod 8) = ω) = 0 = = λ8 ± 1 mit λ Z geeignet ) = y = ζ 8 + ζ 8 = ζ8 λ8±1 + ζ8 λ8 1 = ζ8 8 ) λ ζ ±1 8 + ζ8 8 ) λ ζ 1 8 = ζ 8 ±1 + ζ8 1 = y Erhalte: ) 3.4 = y 1 = y y 1 s.o. = y y 1 = 1 = 1) ω). Fall) 3, 5 mod 9) ±5 mod 8) = ω) = 1 = = λ8 ± 5 mit λ Z geeignet ) = y = ζ 8 + ζ 8 = ζ8 λ8±5 + ζ8 λ8 5 = ζ8 8 ) λ ζ ±5 8 + ζ8 8 ) λ ζ 5 = ζ8 4 ζ 8 ±1 + ζ8 1 =y 8 = ζ 8 ±5 + ζ8 5 ) +) = 1 y = y Hautseminar: Algebraische Zahlentheorie Seite 9

10 Erhalte: ) 3.4 = y 1 = y y 1 s.o. = y y 1 = 1 = 1) ω) 3.10 Bemerkung Zusammengefasst gilt also 1 F 1 mod 4) F ±1 mod 8) 3.11 Beisiel i) In F 17 gilt: 1, F 17 Es ist der kleinste Primkörer außer F ) in dem dies gilt. In F 5 gilt: 1 F 5 iii) Umgekehrt gilt in F 7 : 1 / F 7 iv) Und schließlich gilt in F 3 : 1, / F 3 v) Ausblick weg von Primkörern): 1 Z/170Z ) i) 4 1 mod 17) 6 mod 17) Außerdem gilt nach 3.10: Und 9 ist keine Primzahl vgl. Beisiel. ) 1 F F 1 mod 8) iii) + iv) 3 mod 7) 3 ±1 mod 8) = / F 3 7, 3 1 mod 4) = 1 / F 7 F 3 v) Es ist ϕ: Z/170Z Z/Z Z/5Z Z/17Z ein Ringisomorhismus 1 F ist klar. Wegen i) und gilt: 1 F 17 1 F 5 Seite 10 WS 01/13

11 = 1 ) Z/170Z Exlizite Bestimmung: 1 1 mod ) 1 mod 5) 4 1 mod 17) = Bestimme ϕ 1 1,, 4) = 13 Test: 13) = mod 170) / F 5 = / Z/170Z) Hautseminar: Algebraische Zahlentheorie Seite 11