Kubisches und biquadratisches Reziprozitätsgesetz. Bachelorarbeit

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1 Kubisches und biquadratisches Rezirozitätsgesetz Bachelorarbeit vorgelegt von Helena Bergold an der Fachbereich Mathematik und Statistik Betreuer: Prof. Dr. Claus Scheiderer Konstanz, 015

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 5 Gauß- und Jacobi-Summen 9.1 Charaktere auf F Die Gauß-Summe Die Jacobi-Summe Verallgemeinerung der Jacobi-Summe Das kubische Rezirozitätsgesetz 5.1 Der Ring Z[ω] Das kubische Restsymbol Die kubische Jacobi-Summe Das kubische Rezirozitätsgesetz Die Ergänzungssätze Anwendungen Zerlegung von Primzahlen Das biquadratische Rezirozitätsgesetz 59.1 Der Ring Z[i] Das biquadratische Restsymbol Die biquadratischen Gauß- und Jacobi-Summen Das biquadratische Rezirozitätsgesetz und die Ergänzungssätze Anwendungen Literaturverzeichnis 91

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5 Kaitel 1 Einleitung Seit Leonhard Euler ( beschäftigen sich Mathematiker mit Rezirozitätsgesetzen. Doch was ist ein Rezirozitätsgesetz? Wird in der Mathematik von einem Rezirozitätsgesetz gesrochen, so ist eine Verallgemeinerung des quadratischen Rezirozitätsgesetzes gemeint. Das quadratische Rezirozitätsgesetz war historisch gesehen das erste Rezirozitätsgesetz. Dieses wurde von Euler formuliert und erstmals vollständig von Gauß bewiesen. Mit Hilfe des quadratischen Rezirozitätsgesetzes und dessen Ergänzungssätze ist es möglich quadratische Reste in endlichen Körern zu bestimmen, d.h. zu einer vorgegebenen Primzahl und einer ganzen Zahl a die Lösbarkeit der Gleichung x a (mod zu untersuchen. An dieser Stelle zur Erinnerung, die Aussage des quadratischen Rezirozitätsgesetzes für zwei verschiedene Primzahlen, q > : Gilt q (mod, so ist genau dann ein quadratischer Rest modulo q, wenn q ein quadratischer Nichtrest modulo ist. Gilt jedoch 1 (mod oder q 1 (mod, so ist genau dann ein quadratischer Rest modulo q, wenn q ein quadratischer Rest modulo ist. Für eine leichtere Untersuchung wurde das Legendre-Symbol ( a eingeführt, an dessen Wert man direkt ablesen kann, ob a ein quadratischer Rest modulo ist oder nicht. Mit dem Legendre- Symbol erhält man folgende Form des quadratischen Rezirozitätsgesetzes: Satz (Quadratisches Rezirozitätsgesetz, QRG. 1 Für ungerade Primzahlen q gilt: ( ( ( 1 1 q 1 q q Um quadratische Reste auch für negative Zahlen, das heißt Primzahlen multiliziert mit einer Einheit in Z, zu berechnen, benötigt man die Ergänzungssätze zum quadratischen Rezirozitätsgesetz Satz (Ergänzungssätze. Für eine Primzahl > gilt: ( 1 (1 ( 1 1 ( ( ( siehe [ZT1, Ka.5,.8] siehe [ZT1, Ka.5,.9].

6 6 1 Einleitung Wie bereits erwähnt, wurde das quadratische Rezirozitätsgesetz erstmals von Gauß vollständig bewiesen. Dieser versuchte direkt einen Beweis zu finden, der sich auch auf höhere Potenzen übertragen lässt, um Aussagen über Lösbarkeit von Gleichungen x n a (mod für ein a Z und eine Primzahl treffen zu können. So kam es, dass Gauß sechs Beweise des quadratischen Rezirozitätsgesetz veröffentlichte. Die Frage der Lösbarkeit von Gleichungen x n a (mod oder allgemeiner die Lösbarkeit von Gleichungen x n in einem endlichen Körer F für ein F zu beantworten, stellte sich jedoch als schwierig heraus und ist Ziel der Untersuchung von Rezirozitätsgesetzen. In dieser Arbeit wird die Gleichung für n (kubisches Rezirozitätsgesetz und n (biquadratisches Rezirozitätsgesetz näher betrachtet. Die ersten vollständigen Beweise des kubischen und des biquadratischen Rezirozitätsgesetzes mit dessen Ergänzungssätzen wurde von Eisenstein im Jahr 18 veröffentlicht. Eisenstein war es auch, der Kummers Versuch von einem allgemeinen Rezirozitätsgesetz in Kreisteilungskörern weiterentwickelte und somit einen Sezialfall des allgemeinen Rezirozitätsgesetzes formulieren konnte. Dieser Sezialfall wird auch für kubische und biquadratische Reste in den jeweiligen Kaiteln dieser Arbeit betrachtet werden. Um biquadratische rationalen Gleichungen, d.h. Gleichungen der Form x a (mod mit a Z und einer Primzahl > 0 auf Lösbarkeit zu untersuchen, reicht es nicht aus, sich auf den Ring Z der ganzen Zahlen zu beschränken. Man benötigt eine endliche Erweiterung dieses Ringes, wie nachfolgendes Beisiel aus [Lem00, S.185f] illustrieren soll Beisiel. Für eine ungerade, ganze Zahl q, ist die ganze Zahl S q : q + 1 niemals rim in Z, denn es existiert eine Zerlegung S q q + 1 ( q q ( q + q }{{}}{{} : A q : B q. Fixiere im Folgenden eine ungerade, ganze Zahl q, sodass q + 1 eine Primzahl ist. Insbesondere ist für ein solches q die ganze Zahl S q nicht rim. Weiterhin gilt q (mod 8, denn es ist 1 (mod nach Voraussetzung und 1 (mod 8 ist nur für eine gerade Zahl q möglich. Mit dem bereits bekanntem quadratischen Rezirozitätsgesetz und dessen Ergänzungssatz gilt: S q q ( + 1 (Eulers Kriterium ( (nach Ergänzungssatz zu QRG (mod. Also folgt mit Hilfe des quadratischen Rezirozitätsgesetzes, dass S q A q B q durch teilbar ist. Da eine Primzahl ist, muss schon A q oder B q gelten. Wie säter in Satz.. gezeigt werden wird, gibt es für Primzahlen mit 1 (mod eine Darstellung als Summe zweier Quadrate. Sei a + b mit a, b Z und a 1 (mod, sowie siehe [Lem00, S. vii]

7 7 b 0 (mod. Betrachte nun für einige kleine, ungerade ganze Zahlen q, sodass q + 1 eine Primzahl ist, die Tabelle zur Untersuchung, welcher der beiden Fälle eintritt. q A B a b teilt A q? teilt B q? NEIN JA NEIN JA JA NEIN NEIN JA JA NEIN JA NEIN JA NEIN NEIN JA Nach genauerer Betrachtung dieser Tabelle, kann man einen Zusammenhang zwischen der Teilbarkeit von A q und B q mit der Restklasse von b modulo 8 erkennen. Es liegt also folgende Vermutung nahe: A q b B q b ± (mod 8 und (1.1 ±1 (mod 8 (1. Um diese Vermutung zu zeigen, muss man die Restklasse von A q und B q modulo berechnen. Dabei gilt: und 1 q 1 ( 1 1 ( ( (mod (vgl. Satz Bis jetzt wurde nur die Teilbar- modulo berechnen kann, müssen wir keit in Z untersucht. Damit man die Restklasse von 1 den Ring Z der ganzen Zahlen erweitern, und betrachten im Weiteren die Teilbarkeit in dem Ring Z[i]. Es folgt 1 i (mod oder 1 i (mod für einen Teiler a + bi von. Offensichtlich benötigt man, um die Restklasse von 1 modulo zu bestimmen, eine Erweiterung der ganzen Zahlen, die Gaußschen Zahlen Z[i]. Der Ring Z[i] ist der Ganzheitsring des imaginär-quadratischen Zahlkörers Q( 1 Q(i. Im Kaitel zum biquadratischen Rezirozitätsgesetz wird die Lösbarkeit von Gleichung x für ein Z[i] in einem endlichen Restklassenkörer Z[i]/Z[i] für ein Primelement von Z[i] analysiert. Auch im kubischen Fall genügt der Ring der ganzen Zahlen zur Untersuchung zunächst nicht aus. Zur Untersuchung des kubischen Rezirozitätsgesetzes wird der Ganzheitsring Z[ω], genannt die Eisenstein-Zahlen, des imaginär-quadratischen Zahlkörers Q( ( Q(ω verwendet. Dabei ist ω eine rimitive dritte Einheitswurzel. Die Lösbarkeit der Gleichung x wird dementsrechend für ein Z[ω] in endlichen Restklassenkörern der Form Z[ω]/Z[ω]

8 8 1 Einleitung mit einem Primelement von Z[ω] betrachtet. Für die Beweise der beiden hier untersuchten Rezirozitätsgesetze benötigen wir Gauß- und Jacobi-Summen als Hilfsmittel. Diese werden im ersten Kaitel eingeführt. In Kaitel widmen wir uns dann dem kubischen Rezirozitätsgesetz und zum Abschluss in Kaitel dem biquadratischen Rezirozitätsgesetz. Die Kaitel zu den beiden Rezirozitätsgesetzen sind ähnlich aufgebaut. Zunächst werden einige einfache Aussagen zu den Ganzheitsringen Z[ω] und Z[i] gemacht, mit dessen Hilfe wir dann die jeweiligen Restsymbole definieren können. Im Anschluss werden dann die Rezirozitätsgesetze und deren Ergänzungssätze bewiesen. Zum Abschluss werden noch einige Anwendungen der Rezirozitätsgesetze gegeben, darunter auch der Beweis der Vermutung aus Beisiel Ich werde in dieser Arbeit Kenntnisse aus der algebraischen Zahlentheorie aus der Vorlesung [ZT1] von Prof. Dr. Claus Scheiderer voraussetzen und auch weitgehend die Notation daraus übernehmen.

9 Kaitel Gauß- und Jacobi-Summen Für die Beweise des kubischen und biquadratischen Rezirozitätsgesetzes in Kaitel. und. benötigen wir als Hilfsmittel die Theorie der Gauß- und Jacobi-Summen. Als Grundlage für diese beiden Summen dienen Charaktere auf endlichen Gruen. Zur Vereinfachung werden in dieser Arbeit nur Charaktere auf endlichen Körern F, für eine Primzahl, betrachtet. Üblicherweise wird ein Charakter jedoch allgemeiner auf endlichen abelschen Gruen definiert (siehe [ZT1, Ka.6, 1.1]. Mit Hilfe von Charakteren ist es im Anschluss möglich, Gauß- und Jacobi-Summen zu definieren. Im Allgemeinen dienen die Theorien, die in diesem Kaitel untersucht werden, oft der Bestimmung der Anzahl von Lösungen einer Gleichung mit Koeffizienten in einem endlichen Körer. Diese Anwendungen werden hier jedoch nicht genauer betrachtet, da die Gaußund Jacobi-Summen nur als Hilfsmittel für die Beweise des kubischen und des biquadratischen Rezirozitätsgesetzes dienen. Das gesamte erste Kaitel orientiert sich an [IR9, Ka. 8]..1 Charaktere auf F Charaktere sind Abbildungen, die auf einer endlichen abelschen Grue definiert sind. Im Rahmen dieser Arbeit ist es ausreichend, diese auf den Einheitengruen endlicher Körer F mit Elementen zu definieren. Dabei ist > 0 eine Primzahl. Mit Hilfe von Charakteren kann man die Anzahl von Lösungen einer Gleichung der Form x n a untersuchen. Beisielsweise erhält man für die Anzahl N a der Lösungen von x a: N a 1 + ( a. Ist a ein quadratischer Rest, so hat diese Gleichung zwei Lösungen, sonst ist sie nicht lösbar. Im Weiteren werden Anwendungen der Charaktere nicht weiter berücksichtigt, da der Fokus dieser Arbeit auf der Bestimmung von kubischen und biquadratischen Resten liegt..1.1 Definition. Ein (multilikativer Charakter auf F ist eine Abbildung χ : F C mit der Eigenschaft.1. Beisiele. χ(ab χ(aχ(b für alle a, b F. (a Das bereits aus der Zahlentheorie bekannte Legendre-Symbol ( für eine ungerade Primzahl > 0 ist ein Charakter von F in die Menge { 1, +1} der zweiten Einheitswurzeln. Die multilikative Eigenschaft wurde in [ZT1, Ka.,.7] gezeigt. (b In Kaitel und werden als weitere Beisiele der kubische und der biquadratische Charakter eingeführt.

10 10 Gauß- und Jacobi-Summen (c Die Abbildung ɛ : F C mit ɛ(a 1 für alle a F ist ein Charakter, genannt der triviale Charakter auf F..1. Bemerkung. Oft ist es hilfreich, den Definitionsbereich eines Charakters auf den gesamten endlichen Körer F zu erweitern. Setze die Abbildung χ eines Charakters dazu wie folgt fort χ(0 0, falls χ ɛ ɛ(0 1. Im Folgenden benötigen wir den kleinen Satz von Fermat aus [Alg1, Ka.,.1], dessen Aussage als bekannt vorausgesetzt wird..1. Satz (Kleiner Satz von Fermat. Für a Z und eine Primzahl > 0 mit a gilt a 1 1 (mod. und.1.5 Satz. Sei χ ein Charakter auf F und a F beliebig. Dann gilt (a χ(1 1 (b χ(a ist ( 1-te Einheitswurzel (c χ(a 1 χ(a 1 χ(a Beweis. (a Es gilt χ(1 χ(1 1 χ(1χ(1. Da nach Definition χ(1 0gilt, muss bereits χ(1 1 sein. (b Wegen a 0 in F gilt nach Fermats kleinem Satz.1. bereits a 1 1 in F und folglich 1 (a χ(1.1. χ(a 1 χ(a 1. Damit ist χ(a eine ( 1-te Einheitswurzel. (c Mit (a folgt: 1 χ(1 χ(a 1 a χ(a 1 χ(a und somit χ(a 1 χ(a 1. Außerdem gilt nach (b: χ(a C mit 1 χ(a χ(aχ(a, wodurch die zweite Gleichheit folgt..1.6 Satz. Sei χ ein Charakter auf F, dann gilt: { 0, falls χ ɛ χ(t, falls χ ɛ t F Beweis. Sei zunächst χ ɛ. Dann ist χ(t 1. t F t F Für χ ɛ existiert ein a F mit χ(a 1. Setze T : χ(at t F χ(at T. t F χ(t. Dann folgt: Da χ(a 1ist, muss schon T 0 gelten.

11 . Die Gauß-Summe Satz. Die Charaktere auf F bilden eine Grue mit der Verknüfung (χλ(a : χ(aλ(a für Charaktere χ und λ. Das neutrale Element ist der triviale Charakter ɛ und zu einem Charakter χ ɛ ist das inverse Element χ 1 in der Grue der Charakter durch χ 1 : F C, a χ(a 1 gegeben. Beweis. Der Satz wurde bereits in [ZT1, Ka. 6, 1.] in allgemeinerer Form bewiesen..1.8 Satz. Die Grue der Charaktere auf F ist zyklisch von Ordnung 1. Insbesondere existiert für jedes a F mit a 1 ein Charakter χ auf F mit χ(a 1. Beweis. Nach [ZT1, Ka.6, 1.] ist die Grue der Charaktere auf F isomorh zu F und ist damit zyklisch von Ordnung 1. Für ein a F mit a 1 ist a g l für ein l N und einen Erzeuger g von F. Wegen a 1 gilt ( 1 l. Sei weiterhin χ 0 (g k : e ik 1 für 0 k <, dann ist χ 0 ein Erzeuger der Grue der Charaktere auf F und es folgt: χ 0 (a χ 0 (g l e il 1 1 (denn ( 1 l..1.9 Korollar. Sei G die Grue der Charaktere auf F. Dann gilt für a F mit a 1 die Gleichung χ(a 0. χ G Beweis. Setze S : λ(a 1. Dann gilt χ G χ(a. Da a 1 existiert nach Satz.1.8 ein Charakter λ G mit λ(as (λχ(a.1.8 χ(a S χ G χ G und wegen λ(a 1 folgt S 0.. Die Gauß-Summe Unter einer Gauß-Summe versteht man eine endliche Summe von Einheitswurzeln. Im Unterschied zu der Notation g a von [IR9] für Gauß-Summen, werden hier Gauß-Summem mit G a bezeichnet...1 Definition. Sei χ ein Charakter auf F und a F. Dann definieren wir die Gauß-Summe auf F zum Charakter χ durch G a (χ : t F χ(tζ at mit der rimitven -ten Einheitwurzel ζ e i. Im Folgenden sielen die Gauß-Summen für a 1 eine wichtige Rolle. Deshalb setzt man zur Abkürzung G : G 1.

12 1 Gauß- und Jacobi-Summen Die Gauß-Summe kann man durch die folgenden Eigenschaften genauer bestimmen... Satz. Für einen nichttrivialen Charakter χ auf F und den trivialen Charakter ɛ gilt G a (χ { χ(a 1 G(χ, falls a 0 0, falls a 0 und G a (ɛ { 0, falls a 0, falls a 0. Beweis. Sei a 0 und χ ɛ. Dann gilt: χ(ag a (χ t F χ(atζ at t F χ(tζ t G 1 (χ G(χ und somit folgt G a (χ χ(a 1 G(χ χ(a 1 G(χ, denn es ist χ(a 0. Ist nun a 0, so folgt: G 0 (χ t F χ(tζ 0t t F χ(t Zeige nun die Behautung für den trivialen Charakter χ ɛ. Sei zunächst a 0, so folgt: G a (ɛ t F ɛ(tζ at t F ζ at 0. Dabei wurde im letzten Schritt verwendet das ζ eine rimitive -te Einheitswurzel ist, also die Identität 1 + ζ ζ 1 0 erfüllt. Für a 0 folgt: G 0 (ɛ t F ɛ(tζ 0t t F 1... Satz. Sei χ ɛ ein Charakter auf F. Dann gilt G(χ. Beweis. Wir werden die Summe G a (χg a (χ mit zwei verschiedenen Ansätzen berechnen a F und anschließend die Ergebnisse vergleichen. Für a 0 gilt nach Satz..: G a (χ.. χ(a 1 G(χ χ(ag(χ und G a (χ.. χ(a 1 G(χ. Durch Multilikation beider Gleichungen folgt G a (χg a (χ χ(a 1 G(χχ(aG(χ G(χG(χ G(χ.

13 . Die Gauß-Summe 1 Somit folgt für die Summe über alle Elemente a F : G a (χg a (χ G 0 (χg 0 (χ +( 1 G(χ }{{} a F 0 (nach.. ( 1 G(χ. (.1 Für die andere Variante gehen wir direkt über die Definition der Gauß-Summe. Es gilt: G a (χg a (χ χ(xζ ax χ(yζ ay x F y F χ(xχ(yζ ax ay. x,y F Für die Summe über alle a F gilt: G a (χg a (χ χ(xχ(yζ ax ay a F a F x,y F ζ a(x y χ(xχ(y a F x,y F }{{}, für yx; 0, für y x χ(xχ(x x F χ(xχ(x 1 0 x F ( 1. (. Nun führen wir die beiden Umformungen (.1 und (. zusammen, und erhalten ( 1 G(χ ( 1 G(χ. Um den obigen Satz in Zukunft bei Rechnungen gut verwenden zu können, ist es hilfreich den Zusammenhang zwischen G(χ und G(χ zu bestimmen. Dabei bezeichnet χ den Charakter χ : F C, a χ(a. Da χ(a für jedes a F eine ( 1-te Einheitswurzel ist, gilt χ(a χ 1 (a für jedes a F und folglich ist χ χ 1... Satz. Für einen Charakter χ ɛ auf F gilt G(χ χ( 1G(χ.

14 1 Gauß- und Jacobi-Summen Beweis. Aufgrund der Gleichung 1 χ(1 χ( 1 gilt χ( 1 ±1 und damit ist offensichtlich χ( 1 χ( 1. Somit folgt G(χ t F χ(tζ t t F χ( 1χ( tζ t χ( 1 t F χ(tζ t χ( 1G(χ. Als direkte Folgerung aus den letzten beiden Sätzen erhalten wir folgendes Korollar...5 Korollar. Sei χ ɛ ein Charakter auf F. Dann gilt G(χG(χ χ( 1.. Die Jacobi-Summe Jacobi-Summen werden in Kaitel ein nützliches Mittel sein, um das kubische Rezirozitätsgesetz zu beweisen. Dort werden wir jedoch die allgemeinere Version aus dem nächsten Abschnitt verwenden. Die Jacobi-Summen, wie sie in diesem Abschnitt zunächst eingeführt werden, ist eine endliche Summe vom Produkt zweier ( 1-ten Einheitswurzeln. In den folgenden Sätzen werden die wichtigsten Zusammenhänge gezeigt, um säter mit den Summen arbeiten zu können...1 Definition. Seien χ, λ Charaktere auf F. Definiere die Jacobi-Summe zu χ, λ wie folgt J(χ, λ : χ(aλ(b. a,b F, a+b1.. Satz. Seien χ, λ zwei nichttriviale Charaktere und ɛ der triviale Charakter auf F. Dann gilt: (a J(ɛ, ɛ (b J(ɛ, χ 0 (c J(χ, χ 1 χ( 1 (d Falls χλ ɛ, so ist J(χ, λ G(χG(λ G(χλ Beweis. (a Es ist J(ɛ, ɛ a+b1 ɛ(aɛ(b a+b1 1. Denn für ein festes a F ist durch die Gleichung a + b 1 das Element b F eindeutig bestimmt. (b Es gilt J(ɛ, χ ɛ(aχ(b χ(b b F (c J(χ, χ 1 a+b1 a+b1 χ(aχ 1 (b a+b1 b 0 Dabei wurde im vorletzten Schritt c ( a χ ( a χ χ(c.1.6 χ( 1. b 1 a a 1 c 1 a 1 a substituiert. Für a F \{1} ist c F \{ 1}.

15 . Die Jacobi-Summe 15 (d Gelte χλ ɛ, dann folgt: G(χG(λ χ(xζ x λ(yζ y x F y F x,y F χ(xλ(yζ x+y t F ( x+yt χ(xλ(y Berechne nun die innere Summe zunächst für t 0: x+y0 ζ t. (. χ(xλ(y x F χ(xλ( x λ( 1 x F (χλ(x χλ ɛ 0 (χλ(0j(χ, λ. (. Berechne nun noch die innere Summe für t 0. Dazu substituiere x und y durch x und y, sodass wir obige Summe auf die Jacobi-Summe zurückführen können. Durch x tx und y ty sind x und y eindeutig bestimmt und es gilt x + y t x + y 1. Folglich gilt χ(xλ(y χ(tx λ(ty (χλ(t χ(x λ(y (χλ(tj(χ, λ. (.5 x+yt x +y 1 x +y 1 Man erhält nun insgesamt durch Einsetzen der Gleichungen (. und (.5 in die Gleichung (.: G(χG(λ t F (χλ(tj(χ, λζ t J(χ, λg(χλ. Die Behautung folgt, da wegen χλ ɛ nach Satz.. bereits G(χλ 0 gilt. Wir können nun auch leicht den Betrag der Jacobi-Summe bestimmen... Korollar. Seien χ, λ ɛ zwei Charaktere auf F mit χλ ɛ. Dann ist J(χ, λ. Beweis. Es ist J(χ, λ..(d G(χG(λ G(χλ (... Aus diesem Korollar erhalten wir zwei wichtige Konsequenzen für die Darstellungsform von Primzahlen... Satz. Sei eine Primzahl.

16 16 Gauß- und Jacobi-Summen Ist 1 (mod, so kann man als Summe zweier Quadrate schreiben, d.h. es existieren a, b Z, sodass a + b. Ist 1 (mod, so existiert eine Darstellung a ab + b der Primzahl für ganze Zahlen a, b Z. Beweis. Sei 1 (mod, dann gilt ( 1. Somit existiert ein Charakter χ der Ordnung (z.b. χ λ 1 für den Erzeuger λ der Grue der Charaktere. Daher bildet χ in die Einheitengrue {±1, ±i} von Z[i] ab. Folglich gilt J(χ, χ χ(sχ(t Z[i], also s+t1 existiert eine Darstellung J(χ, χ a + bi mit a, b Z und nach Korollar.. folgt, dass J(χ, χ a + b gilt. Für Primzahlen 1 (mod funktioniert die Argumentation analog. Es existiert ein Charakter χ mit Wertebereich {±1, ±ω, ±ω }, wobei ω 1+ eine rimitive dritte Einheitswurzel ist. Somit erhalten wir anstelle von J(χ, χ Z[i] bereits J(χ, χ Z[ω], also eine Darstellung J(χ, χ a + bω mit a, b Z. Folglich gilt a + bω (a + bω(a + bω a ab + b...5 Bemerkung. Der erste Teil der obigen Aussage geht auf Fermat zurück, der zeigte, dass Primzahlen 1 (mod als Summe zweier Quadratzahlen geschrieben werden können. Diese Darstellung ist eindeutig, falls a, b > 0, a ungerade und b gerade gefordert wird. Dies sieht man wie folgt: Angenommen a +b c +d für ositive, ganze Zahlen a, b, c, d mit a c 1 (mod und b d 0 (mod. Es gilt offensichtlich ggt(a, b ggt(c, d 1 und 0 < a, b, c, d <. Weiterhin ist (ad bc(ad+bc a d b c ( b d b c d b. Dementsrechend folgt (ad bc oder (ad+bc. Angenommen (ad+bc. Dann würde ad+bc folgen, denn es gilt 0 < ad+bc <. Folglich wäre (a +b (c +d (ad+bc +(ac bd +(ac bd, also ac bd 0. Dies steht im Widersruch zu ac bd 1 (mod. Somit gilt (ad bc, woraus ad bc 0 folgt. Also a c und b d. Im Gegensatz dazu, ist für 1 (mod keine Eindeutigkeit gegeben, denn a ab + b (b a (b ab + b a a(a b + (a b. So ist beisielsweise Diese Darstellung von Primzahlen 1 (mod werden in Kaitel noch eine wichtige Rolle sielen, ebenso wie die der Primzahlen 1 (mod im Kaitel zu dem biquadratischen Rezirozitätsgesetz. Für solche Primzahlen und allgemein für Primzahlen 1 (mod n erhält man einen wichtigen Satz über die n-te Potenz der Gauß-Summe. Diesen werden wir säter oft für den Fall n und n verwenden.

17 . Die Jacobi-Summe Satz. Für eine Primzahl 1 (mod n und einen Charakter χ auf F mit Ordnung n > gilt n G(χ n χ( 1 J(χ, χ i. Beweis. Durch die Voraussetzung 1 (mod n folgt die Existenz eines Charakters χ auf F mit Ordnung n. Nach Satz.. (d folgt G(χ J(χ, χg(χ, da nach Voraussetzung χ ein Charakter von Ordnung n > ist, also χ, χ ɛ. Durch Multilikation der Gleichung mit G(χ erhält man G(χ J(χ, χg(χ G(χ. Für n folgt nun die Behautung, da G(χG(χ G(χG(χ..5 χ( 1 gilt. Ist n >, so wende Satz.. (d auf χ und χ an: Durch Iteration folgt i1 G(χ J(χ, χj(χ, χ G(χ. G(χ n 1 J(χ, χ... J(χ, χ n G(χ n 1. Da χ n 1 χ 1 χ gilt G(χG(χ n 1 G(χG(χ..5 χ( 1. Also folgt die Behautung durch Multilikation der Gleichung mit G(χ. Eine ähnliche Aussage erhält man auch für die quadratische Gauß-Summe, d.h. die Gauß-Summe G(χ mit einem Charakter χ der Ordnung auf F...7 Satz. 1 Sei χ ein nichttrivialer Charakter von Ordnung auf F für eine ungerade Primzahl > 0 (d.h. χ ist das Legendre-Symbol. Dann gilt: G(χ χ( 1 ( 1 1. Beweis. Die zweite Gleichheit gilt nach den Ergänzungssätzen des quadratischen Rezirozitätsgesetz (siehe Satz Zeige also nur die erste Gleichheit. Berechne die Summe a F G a (χg a (χ auf zwei verschiedene Arten ähnlich wie im Beweis von Satz... Für a 0 (mod gilt G a (χg a (χ.. χ(a 1 χ( a 1 }{{} G(χ. χ( 1, da χ Ordnung Für a 0 in F gilt nach Satz..: G 0 (χ 0. Summieren über alle a F zeigt, dass G a (χg a (χ G 0 (χ +( 1χ( 1G(χ ( 1χ( 1G(χ (.6 }{{} a F gilt. Außerdem ist 0 G a (χg a (χ x,y F χ(xχ(yζ ax ay. 1 Dieser Satz ist abweichend von dem restlichen Kaitel aus [IR9, Ka.6,.]

18 18 Gauß- und Jacobi-Summen Für die Summe folgt nun a F G a (χg a (χ Aus den Gleichungen (.6 und (.7 folgt x,y F ζ a(x y χ(xχ(y a F }{{}, für yx; 0, für y x x F χ(x }{{} 1 für x 0 ( 1. (.7 ( 1 ( 1χ( 1G(χ und da χ ein Charakter von Ordnung ist, gilt G(χ χ( 1 1 χ( 1.. Verallgemeinerung der Jacobi-Summe In dem vorhergehendem Abschnitt wurde die Jacobi-Summe für zwei Charaktere definiert. Nun wollen wir auch mehr als zwei Charaktere als Argumente der Jacobi-Summe zulassen, und verallgemeinern somit die Definition..1. Die Jacobi-Summe mit l Argumenten wird im Folgenden mit J l bezeichnet...1 Definition. Zu l N und den Charakteren χ 1,..., χ l auf F definiere die verallgemeinerte Jacobi-Summe J l (χ 1,..., χ l : t 1,...,t l F i1 t t l 1 l χ i (t i t t l 1 χ 1 (t 1 χ l (t l. Für l stimmt diese Definition mit der früheren Definition..1 überein, d.h. es gilt J (χ 1, χ J(χ 1, χ. Definiere außerdem J l 0(χ 1,..., χ l : t 1,...,t l F i1 t t l 0.. Satz. Seien χ 1,..., χ l Charaktere auf F. Dann gilt: (a J l 0(ɛ,..., ɛ J l (ɛ,..., ɛ l 1 l χ i (t i. (b Falls als Argument der Jacobi-Summe J l mindestens einmal der triviale Charakter ɛ und einmal ein nichttrivialer Charakter vorkommt, also falls es i, j {1,..., l} gibt, sodass χ i ɛ und χ j ɛ gilt. Dann ist: J l 0(χ 1,..., χ l J l (χ 1,..., χ l 0.

19 . Verallgemeinerung der Jacobi-Summe 19 (c Gilt χ l ɛ, so ist 0, falls J0(χ l 1,..., χ l χ l ( 1( 1J l 1 (χ 1,..., χ ll 1, falls l χ i ɛ i1 l χ i ɛ i1 Beweis. (a Für t 1,..., t l 1 F beliebig, aber fest, ist durch die Identität t t l 1 oder t t l 0 der l-te Summand t l eindeutig bestimmt. Somit gilt J0(ɛ, l..., ɛ 1 l 1. t t l 0 Analog folgt J l (ɛ,..., ɛ 1 l 1. t t l 1 (b Da die Jacobi-Summe in ihren Argumenten symmetrisch ist, können wir ohne Einschränkung χ 1,..., χ s nichttrivial und χ s+1... χ l ɛ für ein 0 < s < l annehmen. Erhalte somit J l 0(χ 1,..., χ l Analog folgt t t l 0 t t l 0 l χ i (t i i1 s χ i (t i i1 l 1 s t 1,...,t s F s χ i (t i i1 l 1 s χ 1 (t 1 χ s (t s t 1 F t s F }{{}}{{} (nach Satz.1.6. J l (χ 1,..., χ l l 1 s t 1,...,t s F s χ i (t i 0. i1 (c Es ist J0(χ l 1,..., χ l l 1 χ i (t i χ l (s. Ist s 0, so ist χ l (s 0, da s F t t l 1 s i1 χ l ɛ und somit verschwindet der gesamte Summand. Für s 0 setze nun t i st i.

20 0 Gauß- und Jacobi-Summen Dann folgt t t l 1 s l 1 χ i (t i i1 χ j ( s ( l 1 j1 t t l 1 1 l 1 χ i (t i. i1 } {{ } J l 1 (χ 1,...,χ l 1 Also ist Ist J0(χ l 1,..., χ l J l 1 (χ 1,..., χ l 1 l 1 χ l (s χ i ( s s 0 l χ i ɛ, so gilt nach Satz.1.6: i1 i1 ( l 1 J l 1 (χ 1,..., χ l 1 χ i ( 1 ( l χ i (s. i1 s 0 i1 ( l χ i (s 0, also folgt J0 l(χ 1,..., χ l 0. s 0 l Gilt andererseits χ i ɛ, so ist ( l χ i (s ( l und χ i ( 1 i1 s 0 i1 s 0 i1 χ 1 l ( 1 χ l ( 1. Folglich gilt J0 l(χ 1,..., χ l χ l ( 1( 1J l 1 (χ 1,..., χ l 1. i1.. Theorem. Seien χ 1,..., χ r nichttriviale Charaktere auf F, sodass r χ i ɛ gilt. Dann ist r i1 ( r G(χ i J r (χ 1,..., χ r G χ i. i1 i1 Beweis. Es gilt r r G(χ i χ i (t i ζ ti t i F ( r χ i (t i i1 i1 t 1,...,t r F i1 s F ( t t rs i1 ζ t t r r χ i (t i ζ s. (.8 Für s 0 und mit der Voraussetzung r i1 χ i ɛ und nach Satz.. (c folgt: t t r0 r χ(t i J0 r (χ 1,..., χ r 0. i1

21 . Verallgemeinerung der Jacobi-Summe 1 Für s 0 ersetze t i st i. Genau dann, wenn r t t rs ( r r χ i (t i χ i (s i1 i1 Einsetzen in die Umformung (.8 liefert i1 s 0 t i s gilt, ist i1 t t r 1 i1 i1 r t i i0 1. Somit gilt r ( r χ i (t i χ i (s J r (χ 1,..., χ r. r G(χ i J r (χ 1,..., χ r ( r ( r χ i (s ζ s J r (χ 1,..., χ r G χ i, denn nach Voraussetzung gilt r i1 χ i ɛ. i1 i1.. Korollar. Es seien r > und χ 1,..., χ r nichttriviale Charaktere mit gilt: r χ i ɛ. Dann i1 r G(χ i χ r ( 1J r 1 (χ 1,..., χ r 1. i1 Beweis. Nach Theorem.. angewandt auf χ 1,..., χ r 1 mit i1 r 1 i1 r 1 ( r 1 G(χ i J r 1 (χ 1,..., χ r 1 G Somit erhält man durch Multilikation mit G(χ r r i1 i1 χ i }{{} χ 1 r χ r χ i ɛ gilt G(χ i G(χ r G(χ r J r 1 (χ 1,..., χ r 1..5 χ r ( 1J r 1 (χ 1,..., χ r Korollar. Seien wie zuvor r >, χ 1,..., χ r ɛ Charaktere auf F und r χ i ɛ. Dann gilt: J r (χ 1,... χ r χ r ( 1J r 1 (χ 1,... χ r 1. Beweis. Verwende die Gleichung (.8 aus dem Beweis zu Theorem... Dabei ist zu beachten, dass diese auch ohne die Voraussetzung r i1 i1 χ i ɛ des Theorems gilt. Zusammen mit der

22 Gauß- und Jacobi-Summen Voraussetzung r r i1 χ i ɛ, führt dies zu i1 G(χ i J r 0 (χ 1,..., χ r + J r (χ 1,..., χ r s 0 ( r J0 r (χ 1,..., χ r + J r (χ 1,..., χ r s 0 }{{} 1 ζ s i1 χ i (s ζ s χ r ( 1( 1J r 1 (χ 1,..., χ r 1 J r (χ 1,..., χ r (nach Theorem.. (c. Durch Anwendung von Korollar.. folgt χ r ( 1J r 1 (χ 1,..., χ r 1 χ r ( 1( 1J r 1 (χ 1,..., χ r 1 J r (χ 1,..., χ r und somit J r (χ 1,..., χ r χ r ( 1J r 1 (χ 1,..., χ r 1 ( 1 χ r ( 1J r 1 (χ 1,... χ r Satz. Für Charaktere χ 1,..., χ r ɛ auf F gilt: (a Falls (b Falls Beweis. r i1 r i1 χ i ɛ, so ist J r (χ 1,..., χ r r 1 χ i ɛ, so J r (χ 1,..., χ r r 1 und J r 0 (χ 1,..., χ r ( 1 r 1 (a Durch Betrachtung der Beträge folgt mit Theorem..: ( r r G(χ r J r (χ 1,..., χ r G χ i. i1 Weiter gilt für i {1,..., n}: χ i ɛ und somit nach Satz.. G(χ i. Ebenso folgt ( r G χ i aufgrund der Voraussetzung (b Da nach Voraussetzung r i1 r i1 i1 χ i ɛ. Also gilt i1 J r (χ 1,..., χ r r 1 r 1. χ i ɛ und χ r ɛ gilt, folgt r 1 i1 χ i ɛ. Folglich gilt nach Korollar..5 und Teilaussage (a: J r (χ 1,..., χ r..5 χ r ( 1 J r 1 (χ }{{} 1,..., χ r 1 (a (r 1 1 r 1. 1 Weiterhin ist nach Satz.. J r 0 (χ 1,..., χ r.. χ r ( 1( 1J r 1 (χ 1,..., χ r 1 (a ( 1 r 1.

23 . Verallgemeinerung der Jacobi-Summe

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25 Kaitel Das kubische Rezirozitätsgesetz In diesem Kaitel widmen wir uns dem kubischen Rezirozitätsgesetz. Dazu reicht im Gegensatz zum quadratischen Fall der Ring Z nicht aus. Dies haben wir für den biquadratischen Fall schon in dem Beisiel 1.0. der Einleitung gesehen und es lässt sich auch auf den kubischen Fall übertragen. Wir müssen somit den Ring Z erweitern und betrachten für ω den Ganzheitsring Z[ω] des imaginär-quadratischen Zahlkörers Q(. Nachdem wir einige wichtige Eigenschaftes dieses Ringes Z[ω] untersucht haben, können wir das kubische Restsymbol definieren und mit dessen Hilfe das kubische Rezirozitätsgesetz formulieren. Für den Beweis des kubischen Rezirozitätsgesetzes benötigen wir Gauß- und Jacobisummen von kubischen Charakteren, wie sie in Kaitel eingeführt wurden. Das quadratische Rezirozitätsgesetz wurde in [ZT1] bewiesen, indem die Zerlegung von Primzahlen in einer zyklischen Erweiterung mit der Zerlegung in einer quadratischen Erweiterung verglichen wurden. Dieses Verfahren kann man auch im kubischen Fall anwenden, wie im letzten Abschnitt dieses Kaitels zu sehen ist. Allerdings führt dieses Verfahren nicht zu einem vollständigen Beweis des kubischen Rezirozitätsgesetzes..1 Der Ring Z[ω] Betrachte im Folgenden den Ganzheitsring des imaginär-quadratischen Zahlkörers Q(. Dieser hat die Form Z[ω] für ω 1 +. Dabei ist ω eine rimitive dritte Einheitswurzel, erfüllt also die Gleichung ω + ω In diesem Abschnitt werden wir, wie in [IR9, Ka.9, 1 und ] einige wichtige Eigenschaften dieses Ganzheitsringes zeigen. Die Beweise sind jedoch oft kürzer, da die Resultate aus [ZT1] verwendet werden..1.1 Bemerkung. (a Der Ganzheitsring Z[ω] ist ein euklidischer Ring mit der Norm N : Z[ω] N 0, a + bω a ab + b N 0 als Wertefunktion. (Dies wurde in [ZT1, Aufg. 5] gezeigt. Insbesondere ist Z[ω] ein Hautidealring und somit auch faktoriell. (b Die Einheitengrue des Ganzheitsringes Z[ω] ist endlich und besteht aus der Menge O Q( {±1, ±ω, ±ω } (siehe [ZT1, Aufg. 1]. Im Folgenden wollen wir die Zerlegung von Primzahlen Z in dem imaginär-quadratischen Zahlkörer Q( untersuchen. Zur Erinnerung nun ein Satz aus [ZT1, Ka.,.10] zur Zerlegung von Primzahlen in quadratischen Zahlkörern Q( d mit d 1 (mod.

26 6 Das kubische Rezirozitätsgesetz.1. Satz. Für K Q( d mit d k (mod und für d Z quadratfrei gilt für die Zerlegung der Primzahl > 0 in K: ( verzweigt, falls d O K 1 ( zerlegt, falls d mit ( d +1 oder mit d 1 (mod 8 ( träge, falls d mit (. d 1 oder mit d 5 (mod 8 Daraus erhalten wir für die Zerlegung der Primzahlen in K Q( :.1. Bemerkung. Sei eine Primzahl. Dann gilt für die Zerlegung von in K/Q: ist verzweigt, denn d. Folglich können wir u schreiben für eine Einheit u und ein Primelement. Es gilt ω (1 w. Dabei folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, dass 1 ω rim in Z[ω] ist. Für 1 (mod ist zerlegt, denn es gilt 6 d und ( ( 1 ( 1 1. ( ( ( 1 ( 1. Somit existiert Z[ω] rim mit. Wobei Primzahlen (mod sind träge und somit auch rim in Z[ω]. (Folgt aus Satz.1. und da für die Kongruenz d 5 (mod 8 gilt, und für die Teilbarkeitsrelation 6 d gilt, sowie ( ( ( ( 1 ( 1. Da jedes Primelement aus Z[ω] über einer Primzahl aus Z liegt, sind die oben aufgeführten Primelemente alle Primelemente von Z[ω]..1. Definition. 1 Eine Nichteinheit a + bω Z[ω] heißt rimär, falls ±1 (mod (in Z[ω] ist..1.5 Bemerkung. In dem gesamten Kaitel sind Teilbarkeitsrelationen immer bezüglich der Teilbarkeit in Z[ω]. Sind dabei alle beteiligten Elemente ganzzahlig, z.b. a b (mod c für a, b, c Z, dann ist die Teilbarkeit in Z[ω] äquivalent zu der in Z. Denn aus a b (mod c folgt a b c für ein x + yω Z[ω], also a b cx + cyω. Folglich ist y 0. Also auch a b (mod c in Z. Aus der Teilbarkeit in Z, folgt offensichtlich auch die Teilbarkeit in Z[ω]..1.6 Satz. Ein Element a + bω Z[ω] ist genau dann rimär, falls a ±1 (mod und b 0 (mod gilt. Beweis. Zeige die Behautung nur für 1 (mod, die Rechnung folgt analog für 1 (mod. Es gibt also ein β c + dω Z[ω], sodass 1 β gilt. Somit gilt a 1 + bω c + dω. Koeffizientenvergleich zeigt, dass a 1 (mod und b 0 (mod gilt. Die Rückrichtung ist klar. 1 Diese Definition und die nachfolgenden Sätze sind in [IR9] erst säter (Seite 11f aufgeführt.

27 .1 Der Ring Z[ω] Bemerkung. Ist (mod eine träge Primzahl, dann ist bereits ein rimäres Primelement von Z[ω]..1.8 Satz. Für Z[ω] mit ggt(, 1 sind genau zwei der zu assoziierten Elementen rimär. Insbesondere finden wir immer eine Einheit u, sodass u 1 (mod gilt. Beweis. Sei nun a+bω Z[ω] beliebig mit ggt(, 1. Dann gibt es die sechs assoziierten Elemente von : (a a + bω (b ω b (b aω (c ω (a b aω (d a bω (e ω b + (b aω (f ω (a b + aω Ist rimär, so gilt a ±1 (mod und b 0 (mod. Dann ist auch rimär, aber keines der anderen Assoziierten. Sei nun nicht rimär, d.h. a oder b. Ist a b 0 (mod, so erhalten wir einen Widersruch zur Voraussetzung ggt(, 1. Ist a 0 (mod und b ±1 (mod, so ist auch b a ±1 (mod und somit sind genau ω und ω rimär. Betrachte nun den Fall a ±1 und b ±1 (mod. Ist a b ±1 (mod, so ist a b 0 (mod, also genau ω, ω rimär. Ist jedoch a b (mod. Dann ist a + bω a aω a(1 ω ±(1 ω (mod und wir erhalten einen Widersruch zur Voraussetzung ggt(, Bemerkung. In [IR9] wird eine andere Definition von rimär verwendet. Dort wird ein Element Z[ω] rimär genannt, falls 1 (mod. Dadurch bekommt man die Eindeutigkeit des assoziierten rimären Elements zu einem beliebigen β Z[ω] mit ggt(β, Satz. Für ein Primelement von Z[ω] ist der Restklassenkörer Z[ω]/Z[ω] ein endlicher Körer mit N( Elementen. Beweis. Diese Aussage folgt direkt aus der Idealnorm (siehe [ZT1, Ka.,.1]. Nun folgt eine zu Fermats kleinem Satz analoge Aussage in Z[ω]/Z[ω] Korollar. Die Einheitengrue (Z[ω]/Z[ω] ist zyklisch von Ordnung N( 1. Insbesondere gilt für Z[ω] mit : N( 1 1 (mod. Beweis. Folgt direkt aus Satz Dieses Korollar stammt im Gegensatz zu dem restlichen Abschnitt aus [IR9, Pro.9..]

28 8 Das kubische Rezirozitätsgesetz. Das kubische Restsymbol In diesem Abschnitt, der sich nach [IR9, Ka.9, ] richtet, werden wir das kubische Restsymbol, welches das Pendant zu dem Legendre-Symbol im quadratischen Fall bildet, definieren. Dazu ist es notwendig, zunächst die Restklassen aller dritten Einheitswurzeln 1, ω, ω modulo eines Primelements Z[ω] mit N( zu betrachten...1 Lemma. Sei Z[ω] rim mit N(, d.h. 1 ω. Dann sind 1, ω, ω aarweise verschieden in Z[ω]/Z[ω]. Beweis. Angenommen 1 ω (mod. Dann gilt 1 ω und da 1 ω rim und somit irreduzibel ist, muss (1 ω gelten. Dies ist ein Widersruch zur Voraussetzung N(. Die beiden anderen Fälle 1 ω (mod und ω ω (mod können durch Multilikation mit ω bzw. ω auf den oben gezeigten Fall zurückgeführt werden... Bemerkung. Für Z[ω] rim mit N( ist {1, ω, ω } eine zyklische Untergrue von (Z[ω]/Z[ω] mit Ordnung. Somit enthält (Z[ω]/Z[ω] ein Element der Ordnung und nach dem Satz von Lagrange gilt N( 1... Satz. Sei Z[ω] rim mit N( und Z[ω] mit. Dann existiert ein eindeutiges m {0, 1, } mit: Beweis. Wegen gilt nach Korollar.1.11 N( 1 ω m (mod. N( 1 1. (.1 Außerdem gilt, da ω eine rimitive dritte Einheitswurzel ist, die Gleichheit x 1 (x 1(x ω(x ω. Setze x N( 1 in die Gleichung ein. Dann ist die linke Seite nach (.1 durch teilbar und da rim ist, teilt einen der Faktoren auf der rechten Seite. Also gilt ( N( 1 ω m für ein m {0, 1, }. Somit ist die Existenz gezeigt. Die Eindeutigkeit von m folgt aus Lemma Definition. Für ein Primelement Z[ω] mit N( und Z[ω] definieren wir das kubische Restsymbol durch ( { 0, falls ω m mit m {0, 1, }, sodass ω m N( 1 (mod, falls. Dies ist wohldefiniert nach dem vorhergehenden Satz... Im Folgenden betrachten wir stets das kubische Restsymbol ( für ein Primelement von Z[ω]. Dabei ist das Restsymbol nur für Primelemente mit N( (oder äquivalent: (1 ω definiert. Sei im Folgenden, falls nicht anders vorausgesetzt, stets ein solches Primelement aus Z[ω] mit N(...5 Satz (Eigenschaften. Seien, β Z[ω] und Z[ω] rim (mit N(. Dann gilt:

29 . Das kubische Restsymbol 9 ( (a N( 1 (mod ( ( ( β β (b ( ( β (c β (mod ( ( (d Für gilt (e Beweis. ( ( (a Für folgt die Aussage direkt aus der Definition. Gilt, so ist N( 1 0 (mod. ( 0 und (b Aus Teilaussage (a erhält man: ( β (a (β N( 1 N( 1 β N( 1 (a ( ( β und aufgrund der Eindeutigkeit aus Satz.. folgt die Gleichheit der Behautung. (mod ( β ( ( β (c Mit der Voraussetzung β (mod folgt ( ( N( 1 β N( 1 β (mod. (d Die Behautung folgt direkt aus N( N(. (e Da N( N( gilt, ist: ( N( 1 N( 1 N( 1 ( (mod...6 Bemerkung. Für ein festes, echt-komlexes Primelement Z[ω] mit 1 (mod sieht man mit Hilfe der Identifizierung von Z[ω]/Z[ω] mit Z/Z F, dass χ : ( ein Charakter auf F ist. Ein solcher Charakter hat Ordnung und wird kubischer Charakter genannt. Da χ ɛ ist, ist die Ordnung von χ entweder oder χ ist der triviale Charakter. Angenommen χ wäre ein trivialer Charakter, dann wäre die Abbildung Z[ω]/Z[ω] Z[ω]/Z[ω], x x (.

30 0 Das kubische Rezirozitätsgesetz surjektiv. Der Restklassenkörer Z[ω]/Z[ω] ist nach Satz.1.10 ein endlicher Körer mit N( Elementen. Es folgt direkt die Injektivität der Abbildung (.. Dies ist jedoch nicht möglich, da 1 und ω nach Lemma..1 in Z[ω]/Z[ω] verschiedene Elemente sind, aber beide durch die Abbildung (. auf 1 abgebildet werden...7 Satz. Für einen endlichen Körer F mit F q, n N, F und d : ggt(n, q 1 gilt: x n hat eine Lösung in F q 1 d 1 in F. Beweis. Da F ein endlicher Körer ist, ist F zyklisch erzeugt. Sei g der Erzeuger von F und setze g a für ein a N. Nun gilt: x n hat Lösung in F y N : g yn g a y N : yn a (mod (q 1 ( d a q 1 d ( g a d q 1 1. Dabei gilt die Äquivalenz (, denn: Existiert ein y, sodass yn a (mod (q 1, so gibt es eine Darstellung yn m(q 1 a für ein m N. Nach Wahl von d ist sowohl n, als auch q 1 durch d teilbar und folglich auch a. Ist umgekehrt a durch d teilbar, so existiert ein c Z mit dc a. Außerdem können wir den größten gemeinsamen Teiler d durch den euklidischen Algorithmus darstellen als nỹ m(q 1 d für ỹ, m N. Durch Multilikation mit c erhalte die Gleichung nỹc mc(q 1 a, also existiert ein y ỹc N, sodass die behautete Kongruenz modulo q 1 erfüllt ist. Damit folgt nun als Sezialfall:..8 Korollar. Für Z[ω] und Z[ω] rim mit gilt: ( 1 x (mod hat eine Lösung x Z[ω]. Beweis. Die Behautung folgt als Sezialfall aus Satz..7 mit F Z[ω]/Z[ω], q N(, n und somit d...9 Bemerkung. Satz..8 zeigt, dass die Definition des kubischen Restsymbols ein Pendant zum Legendre-Symbols ist. Denn im quadratischen Fall wurde das Legendre-Symbol zunächst durch ( { a 1, falls a ein quadratischer Rest modulo ist. 1, falls a ein quadratischer Nichtrest modulo ist. definiert. Dies entsricht der gerade für das kubische Restsymbol gezeigten Äquivalenz in Satz..8. Für das Legendre-Symbol gilt das Euler-Kriterium: siehe [IR9, 7.1.]

31 . Die kubische Jacobi-Summe 1 Sei > eine Primzahl. Dann gilt für eine ganze Zahl a Z mit a: ( a a 1 (mod. (. Dieses wurde in [ZT1, Auf.7] bewiesen. Dies entsricht der Kongruenz, durch die wir nun das kubische Restsymbol definiert haben. Beachte: Beim Legendre-Symbol erhält man direkt die Lösbarkeit in Z und im kubischen Fall mit dem kubischen Restsymbol zunächst nur die Lösbarkeit in Z[ω]. Wir werden säter noch die Lösbarkeit der Gleichung x a (mod für a Z und Primzahl für ein x Z untersuchen. Außerdem gilt im quadratischen Fall, dass die Anzahl der quadratischen Nichtreste gleich der Anzahl der quadratischen Reste modulo einer ungeraden Primzahl ist, und somit wird die zyklische Grue F in zwei gleich große Teile unterteilt wird. Auch dies lässt sich auf den kubischen Fall übertragen. Durch den kubischen Restklassencharakter ( für ein komlexes Primelement Z[ω] mit 1 (mod wird die Einheitengrue (Z[ω]/Z[ω] in drei gleich große Teile unterteilt. Davon sind ein Drittel kubische Reste und zwei Drittel kubische Nichtreste. Dabei gibt es zwei verschiedene Arten von Nichtresten, die Elemente für die das kubische Restsymbol gleich ω und die, für die das kubische Restsymbol gleich ω ist.. Die kubische Jacobi-Summe Da das kubische Restsymbol für ein komlexes Primelement Z[ω] ein Charakter ist, können wir auch Aussagen über die Gauß- und Jacobi-Summe dieses Charakters treffen. Betrachte dazu in diesem Abschnitt den kubischen Charakter χ : ( ɛ für ein echt-komlexes Primelement von Z[ω]. Die Aussagen dieses Abschnitts sind aus [IR9, S.115f]...1 Satz. Sei 1 (mod eine Primzahl, und χ ein kubischer Charakter auf F (z.b χ χ. Dann ist J(χ, χ a + bω mit a, b Z und a 1 (mod, b 0 (mod. Also ist J(χ, χ insbesondere rimär. Beweis. Nach Voraussetzung ist χ ein kubischer Charakter auf F, hat also Werte in {1, ω, ω }. Dabei folgt die Existenz eines kubischen Charakters auf F aus der Voraussetzung 1 (mod. Für die Jacobi-Summe gilt J(χ, χ χ(sχ(t Z[ω]. Somit existieren a, b Z mit s+t1 J(χ, χ a + bω. Nach Satz..6 und mit dem Frobenius-Automorhismus von Q(ω gilt für ζ e i : J(χ, χ..6 G(χ Def. χ(tζ t t F t F χ(t ζ t (mod. (. Es gilt χ(0 0 und für alle t 0 gilt χ(t 1. Also gilt nach (. bereits J(χ, χ ζ t ζ t 1 (mod. t 0 t 0 siehe [Cox89, S. 79]

32 Das kubische Rezirozitätsgesetz Dabei wurde im letzten Schritt verwendet, dass ζ eine rimitive -te Einheitswurzel ist. Außerdem gilt wegen 1 (mod auch 1 J(χ, χ J(χ, χ a + bω (mod. Damit ist b 0 (mod und a 1 (mod, also ist insbesondere J(χ, χ rimär... Satz. Sei Z[ω] ein echt-komlexes rimäres Primelement mit 1 (mod. Dann gilt für die Jacobi-Summe Gilt 1 (mod, so ist J(χ, χ. J(χ, χ. Beweis. Sei χ : χ. Aus Satz..1 ist bekannt, dass J(χ, χ rimär ist und N(J(χ, χ J(χ, χ 1 (mod. Sei J(χ, χ für ein rimäres, echt-komlexes Primelement Z[ω]. Somit gilt und wegen rim muss oder gelten. Da alle beteiligten Elemente,,, rimär und rim sind, gilt ± oder ±. Wir wollen Letzteres ausschließen und zeigen dazu, dass J(χ, χ durch teilbar ist. Betrachte dazu die Jacobi-Summe des kubischen Charakters χ 1 J(χ, χ χ(xχ(1 x x 1 1 (1 x (mod. (.5 x F Nun gilt für ein allgemeines Polynom P (x i x i von Grad k < 1 mit ganzzahligen i0 Koeffizienten i Z, dass P (x 0 (mod ist. Denn für 0 < k < 1 gilt insbesondere x F 1 k und somit ist x k 1 für alle 1 x F und da eine ungerade Primzahl ist, gilt die Kongruenz 1 x k x x F x0 Wir erhalten also für das Polynom mit (.6 x F P (x x F i0 k i x i x0 k ( 1 k i0 0 (mod. (.6 1 i x0 x i (.6 0 Da x 1 (1 x 1 ein Polynom von Grad ( 1 < 1 ist, folgt 1 x0 Wegen und Gleichung (.5 gilt dann x 1 (1 x 1 0 (mod. J(χ, χ 0 (mod. (mod. Somit sind wir in dem Fall J(χ, χ und erhalten für a + bω 1 (mod die Identität J(χ, χ. Die Aussage für 1 (mod folgt analog.

33 . Das kubische Rezirozitätsgesetz.. Korollar. 5 Sei m + 1 a ab + b 1 (L + 7M eine Primzahl mit L a b und M b. Für L (mod gilt ( m a b L (mod. m Beweis. Sei a+bω 1 (L+M ein rimäres Primelement von Z[ω] mit. Es ist a b L + (mod. Nach Voraussetzung ist L (mod und somit folgt a 1 (mod. Folglich gilt 1 (mod. Damit folgt auch rimär mit 1 (mod. Satz.. führt zu: J(χ, χ t F χ (tχ (1 t t F χ (tχ (1 t J(χ, χ J(χ, χ. (.7 Für den kubischen Charakter χ folgt χ (t t 1 t m (mod für jedes t F. Mit der Gleichung (.7 erhält man: L J(χ, χ t F t m (1 t m m ( m t m t m j ( 1 m j j t F m j0 j0 ( m 1 ( 1 j j t0 t m j (mod. Die Summe 1 t m j t0 (mod. Damit gilt insgesamt verschwindet für j m und für j m ist L ( m ( 1 m m (mod. 1 t0 t m 1 t0 t 1 1 Da m gerade ist (denn 1 m ist durch teilbar, gilt ( 1 m 1. Da auf beiden Seiten der Kongruenz ganzzahlige Elemente stehen, gilt die Kongruenz auch modulo und damit ist die Behautung gezeigt.. Das kubische Rezirozitätsgesetz In diesem Abschnitt werden wir das kubische Rezirozitätsgesetz beweisen. Dabei gehen wir wie im zweiten, eleganteren Beweis aus [IR9, Ka.9, 5] vor. Für mögliche andere Beweise siehe auch [IR9, Ka.9, ] oder [Lem00, S.1ff]...1 Theorem (Kubisches Rezirozitätsgesetz. Seien 1, Z[ω] rimäre, teilerfremde Primelemente mit N( i für i {1, } und N( 1 N(. Dann gilt: ( ( 1 5 siehe [Lem00, Kor. 7.6] 1.

34 Das kubische Rezirozitätsgesetz Zunächst noch einige Beisiele kubischer Reste... Beisiel. (i Für jedes Primelement Z[ω] ist 1 ein kubischer Rest modulo, denn ( 1 1. (ii ist ein kubischer Rest modulo 11, denn 9 ( 8 (mod 11. (iii Für zwei verschiedene Primzahlen q (mod, kann man durch wiederholte Anwendung des kubischen Rezirozitätsgesetzes, schnell berechnen, ob ein kubischer Rest modulo q ist, ähnlich wie es auch mit Hilfe des quadratischen Rezirozitätsgesetzes funktioniert. Seien dazu 11, q 19. Dann gilt: ( ( ( ( ( ( ( ( 11 kub. RG 19 6 (ii kub. RG Das bedeutet, dass 11 ein kubischer Rest modulo 19 ist. Eine Lösung der Gleichung x 11 (mod 19 ist x 99, denn es gilt (mod 19. (iv ω ist ein kubischer Rest modulo 11, denn die Norm von ω ist N( ω und somit sind ω und 11 rimäre Primelemente in Z[ω]. Die Voraussetzungen für das kubische Rezirozitätsgesetz sind erfüllt und es gilt Damit sind äquivalent: ( ω 11 ( 11 ω (i x ω (mod 11 ist lösbar mit x Z[ω] (ii x 11 (mod ( ω ist lösbar mit x Z[ω] Wegen der Isomorhie Z[ω]/( ωz[ω] Z/19Z ist (ii äquivalent zu: x 11 (mod 19 ist lösbar in Z. Die letzte Kongruenz ist etwa für x 5, x 16 und x 17 erfüllt ist. Eine Lösung der Gleichung x ω (mod 11 ist x ω, denn x ( + ( ( ω 7 7ω + ( 1 ω (mod 11. (v 6 Die Gleichung x + ω (mod 11 ist nicht in lösbar, d.h. ( + ω Denn es gilt + ω (mod und N( + ω Damit sind 11 und ω rimäre Primelemente in Z[ω]. Mit Hilfe des kubischen Rezirozitätsgesetzes..1 erhält man nun ( ( + ω ω 6 Dieses und das vorhergehende Beisiel (iv gehen aus [IR9, Ka.9, Aufg.16] hervor. Dort ist ein Fehler in der Aufgabenstellung. Betrachte hier + ω anstelle von ω. Denn wie wir in dem Beisiel (iv gesehen haben, ist die Gleichung für ω lösbar.

35 . Das kubische Rezirozitätsgesetz 5 Also ist x + ω (mod 11 genau dann für ein x Z[ω] lösbar, wenn die Kongruenz x 11 (mod ( + ω für ein x Z[ω] lösbar ist. Da Z[ω]/( + ωz[ω] Z/7Z ist dies genau dann der Fall, wenn x 11 (mod 7 für ein x Z gilt. Die Gleichung x a (mod 7 ist allerdings nur lösbar, falls a 1 (mod 7 oder a 6 (mod 7 gilt. Somit ist die Gleichung x + ω (mod 11 für kein x Z[ω] erfüllt... Bemerkung. Im Gegensatz zu dem quadratischen Rezirozitätsgesetz und auch zu dem biquadratischen Rezirozitätsgesetz (siehe Kaitel, tritt beim kubischen Rezirozitätsgesetz kein Faktor ( 1 a, a Z auf. Dies macht die Aussage des kubischen Rezirozitätsgesetzes unabhängig von weiteren Eigenschaften der Elemente 1 und. Das kubische Rezirozitätsgesetz besagt für Primelemente 1 und wie in Theorem..1: 1 ist ein kubischer Rest modulo genau dann, wenn kubischer Rest modulo 1 ist. Und wir erhalten sogar mehr als diese Äquivalenz, die nur Aussagen macht, falls eines der beiden Restsymbole gleich eins ist. Auch falls 1 kein kubischer Rest modulo ist, das heißt, falls ( 1 1, so sind die beiden Restsymbole trotzdem noch gleich. Das heißt 1 und sind von derselben Art kubischer Nichtreste. Die Betrachtung ausschließlich rimärer Elemente ist keine wesentliche Einschränkung und entsricht in etwa der Einschränkung auf ositive Primzahlen im quadratischen Rezirozitätsgesetz. Ein beliebiges Primelement unterscheidet sich maximal um eine Einheit von einem rimären Primelement oder es ist assoziiert zu 1 ω. Somit kann man mit Hilfe der Ergänzungssätze zum kubischen Rezirozitätsgesetz alle kubischen Restsymbole berechnen. Nun zu dem Beweis des kubischen Rezirozitätsgesetzes. Beweis von Theorem..1. Mache eine Fallunterscheidung für alle Möglichkeiten der verschiedenen Primelemente in Z[ω]. 1. Sei 1 q (mod eine träge Primzahl und ein komlexes Primelement mit 1 (mod. Setze χ : ( ɛ. Betrachte die Jacobi-Summe J q q (χ,..., χ χ(t i. Teile die Summe nun in t t q1 die Summanden auf, bei denen alle t i gleich sind, und in die restlichen Summanden. Für die Summanden mit t 1... t q : t erhalte qt 1, also χ(qχ(t χ(1 1 durch otenzieren der Gleichung mit q erhalte χ(q q χ(t q 1. Mit der Voraussetzung q (mod gilt dann χ(q χ(t q 1 bzw. χ(t q χ(q χ(q. (.8 i1

36 6 Das kubische Rezirozitätsgesetz Betrachte nun die Summanden mit t t q 1 und t i t j für mindestens ein Paar (i, j {1,..., q}. Zu jedem q-tuel (t 1,..., t q gibt es q zyklische Permutationen. Für jede solche Permutation verändert sich der Wert des Summanden nicht. Folglich gilt J q (χ,..., χ χ(t q (.8 χ(q (mod q. (.9 Nach Voraussetzung gilt außerdem (q + 1 und χ ist ein Charakter der Ordnung, also q+1 ist χ ɛ. Somit gilt nach Korollar.. i1 G(χ q+1 χ( 1 J q (χ,..., χ. }{{} 1 Außerdem gilt nach Satz..6 und Satz..: G(χ χ( 1J(χ, χ ± und somit G(χ q+1 (± q+1. Nun ist q+1 eine gerade ganze Zahl, falls q > ist und falls q ist das Vorzeichen unwichtig, da wir dann die Gleichung modulo q betrachten werden. Es gilt also und somit (± q+1 ( q+1 J q (χ,..., χ (.9 χ(q (mod q q q+1 χ(q (mod q. Durch otenzieren mit q 1 1 (mod erhält man ( q q 1 q 1 χ(q q 1 χ(q ( q Weiterhin gilt nach dem kleinen Satz von Fermat (Satz.1.: ( q q 1 1 (mod q und nach Definition des kubischen Restsymbols q 1 ( q ( q. ( q (mod q. (mod q. Es folgt. Seien nun 1 und zwei verschiedene, nicht-assoziierte, echt-komlexe rimären Primelemente mit i i i 1 (mod für i 1,. Mit ( i rimär ist auch i rimär, denn es ist 1 i i i ± i (mod. Sei nun χ 1 : ɛ. Da 1 (mod gilt, ist χ 1 χ 1 ɛ und damit gilt nach Theorem.. G(χ 1 J (χ 1,..., χ 1 G(χ 1 J (χ 1,..., χ 1 G(χ 1. 1

37 . Das kubische Rezirozitätsgesetz 7 Es folgt J (χ 1,..., χ 1 G(χ 1 1 ( G(χ 1 1 (± ( (.10 Im letzten Schritt wurde verwendet, dass eine ungerade Primzahl ist und somit 1 gerade ist. Berechne nun die Summanden der Jacobi-Summe J (χ 1,..., χ 1 t t 1 χ 1 (t i. i1 Für t 1... t : t ist t 1, also χ 1 (tχ 1 ( 1 und damit gilt χ 1 (t χ 1 ( 1 χ 1 (. Analoges Vorgehen wie in Fall 1 ergibt Weiterhin ist ( 1 1 J (χ 1,..., χ 1 χ 1 (t χ 1 (t χ 1 ( (mod. (.11 ( und da ein Teiler von ist, folgt ( 1 1 Folglich ist Analog erhält man Somit ergibt sich insgesamt ( 1 ( 1 1 (.1 (.10 J (χ 1,..., χ 1 (.11 χ 1 ( ( ( 1 1 ( 1 1 ( 1 ( 1 ( 1 Durch Multilikation mit dem Inversen ( 1..5(e (mod. ( 1 ( 1 ( ( 1 ( ( 1 (mod. (.1. (.1 ( 1 ( (.1 1 ( 1 folgt die Behautung. ( 1 1. Der letzte noch verbleibende Fall, dass beide Primelemente träge Primzahlen sind, also 1 (mod folgt aus dem nachfolgenden Satz..

38 8 Das kubische Rezirozitätsgesetz.. Satz. Sei q (mod, n N mit ggt(n, q 1. Dann gilt: ( n 1. q Beweis. Es gilt n n, q q und somit ( n q ( n..5(e q ( n. q Nun folgt die Behautung, da ggt(n, q 1 gilt und somit ( n q nur für m 0 (mod erfüllt. 0. Außerdem ist ωm ω m..5 Bemerkung. Aus Satz.. folgt insbesondere für zwei verschiedene Primzahlen q 1 q (mod die Gleichheit ( ( q1 q 1 q und vervollständigt damit den Beweis des kubischen Rezirozitätsgesetzes (Theorem Die Ergänzungssätze Die Ergänzungssätze werden wir wie in [Lem00, S.15ff] betrachten. Ebenso wie die Ergänzungssätze zum quadratischen Rezirozitätsgesetz, dienen die Ergänzungssätze zum kubischen Rezirozitätsgesetz der Berechnung des kubischen Restsymbols für Elemente, die durch das Rezirozitätsgesetz nicht abgedeckt werden. Mit Hilfe der Ergänzungssätze und der Tatsache, dass 1 immer ein kubischer Rest ist, kann man somit alle kubischen Restsymbole berechnen. Durch die Ergänzungssätze erhalten wir die Werte des kubischen Restsymbols für alle Einheiten und für das Primelement (1 ω..5.1 Satz (Ergänzungssätze. Sei a+bω ein rimäres Primelement, sodass 1 (mod gilt. Sei dann a m + 1 und b n. (Für 1 (mod setze a + bω 1 (mod. Dann gilt: ( ω (1 ω 1 (a+b ω m n ( 1 ω ( ω a 1 ω m ( ( ω b ω n ( ω Beweis. (1 Es gilt die Gleichheit. Wegen N( 1 q 1 ω N( 1 (mod. Da dies bereits eine Potenz von ω ist, folgt auch 9m + 6m + 1 9mn n + 9n 1 m mn + n + m n m n (mod