3. Quadratische Zahlkörper

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1 Ein quadratischer Zahlkörer K ist ein algebraischer Zahlkörer vom Grad. Ein solcher Körer lässt sich stets schreiben als K = Q( d, wobei d Z {0, 1} eine quadratfreie ganze Zahl ist. Der Zahlkörer Q( d heißt reell-quadratisch, falls d > 1 (dann gilt Q( d R und imaginär-quadratisch, falls d < 0 (dann hat man eine natürliche Einbettung Q( d C. Man hat in K = Q( d eine Konjugations-Abbildung σ : Q( d Q( d, σ(x + y d := x y d. σ ist ein Körer-Automorhismus von K, der zusammen mit der Identität die Galoisgrue von K über Q bildet. Im Falle eines imaginär-quadratischen Zahlkörers ist σ die übliche komlexe Konjugation. Mithilfe von σ kann man die Sur und Norm Tr, N : Q( d Q definieren. Für ξ = x + y d Q( d ist Tr(ξ := ξ + σ(ξ = x N(ξ := ξ σ(ξ = x dy. Die Sur ist eine Q-lineare Abbildung, d.h. Tr(αξ + βη = αtr(ξ + βtr(η für alle ξ, η K und α, β Q. Die Norm ist multilikativ, d.h. N(ξη = N(ξN(η und N(ξ = 0 ξ = 0. Für einen imaginär-quadratischen Zahlkörer ist die Norm eines Elementes z Q( d C das Quadrat des üblichen Absolut-Betrages, d.h. N(z = z. Für reell-quadratische Zahlkörer kann die Norm eines Elementes auch negativ sein Satz. Sei K = Q( d ein quadratischer Zahlkörer mit d Z {0, 1} quadratfrei. Ein Element ξ K ist genau dann ganz-algebraisch, wenn Tr(ξ Z und N(ξ Z. Beweis. a Sei ξ K ganz-algebraisch. Dann genügt ξ einer Gleichung f(ξ = 0 mit einem normierten Polynom f(x Z[X]. Anwendung des Automorhismus σ auf die Gleichung liefert f(σ(ξ = 0. Also ist auch σ(ξ ganz-algebraisch. Daraus folgt, dass Tr(ξ = ξ + σ(ξ und N(ξ = ξσ(ξ ganz-algebraisch sind. Da aber Tr(ξ, N(ξ Q, gilt nach Satz.16 sogar Tr(ξ, N(ξ Z. Ka. 3 zuletzt geändert am:

2 b Sei umgekehrt vorausgesetzt, dass t := Tr(ξ = ξ + σ(ξ Z und c := N(ξ = ξσ(ξ Z. Dann sind ξ und σ(ξ Nullstellen des Polynoms (X ξ(x σ(ξ = X tx + c Z[X], also ξ ganz-algebraisch. 3.. Satz. Sei K = Q( d ein quadratischer Zahlkörer (d Z {0, 1} quadratfrei und R := O K sein Ganzheitsring. a Falls d mod 4 oder d 3 mod 4, gilt R = Z[ d] = {x + y d : x, y Z}. b Falls d 1 mod 4, gilt [ 1 + d ] R = Z = { x + y 1 + d } : x, y Z. Bemerkung. Der Fall d 1 mod 4 lässt sich auch so schreiben [ 1 + d ] { x + y d R = Z = } : x, y Z, x y mod. Beweis. a Dass alle Elemente x + y d mit x, y Z ganz sind, ist klar. Sei umgekehrt ein Element ξ = x+y d mit x, y Q gegeben, das ganz ist. Wir müssen zeigen, dass dann x, y Z. Es ist Tr(ξ = x Z und N(ξ = x dy Z. Aus x Z folgt entweder (i x Z, oder (ii x 1 + Z (d.h. x ist halbganz. Im ersten Fall folgt dy Z. Angenommen y sei nicht ganz. Dann ist y = m/n mit teilerfremden ganzen Zahlen m, n und n. Da dy ganz ist, würde folgen n d. Dies ist ein Widersruch dazu, dass d quadratfrei ist. Also muss y ganz sein. Im zweiten Fall ist x = t/ mit einer ungeraden ganzen Zahl t. Aus der Normbedingung folgt dann t d(y 4Z. Daraus folgt zunächst (wie im ersten Fall, dass y =: z Z und weiter 4 t dz. Dies ist unmöglich für d mod 4, aber auch für d 3 mod 4, wie man durch Betrachtung modulo 8 erkennt. Der zweite Fall kann also nicht auftreten. b Das Element ω := 1 (1 + d ist ganz, denn Tr(ω = 1 und N(ω = (1 d/4 Z. Daraus folgt, dass alle Elemente der Gestalt x + y 1+ d mit x, y Z ganz sind. 3.

3 Sei umgekehrt ein Element ξ = x + y 1+ d mit x, y Q gegeben, das ganz ist. Es ist zu zeigen, dass dann x, y Z. Man berechnet N(ξ = (x + y d( y = 1 4 ((x + y dy Da Tr(ξ = x + y =: t Z, folgt t dy 4Z. Daraus ergibt sich wie oben y Z und wegen d 1 mod 4 auch t y mod, also t y = x Z, d.h. x Z, q.e.d. Beisiele. Wir geben einige tyische Beisiele. 1 Der Ganzheitsring von Q( ist Z[ ]. Der Ganzheitsring von Q( 1 = Q(i ist Z[i]. Man nennt Z[i] = {x + iy : x, y Z} den Ring der ganzen Gauß schen Zahlen. 3 Der Ganzheitsring von Q( 3 ist (da 3 1 mod 4 Z[ 1+i 3 ] = Z[ 1+i 3 ] = Z[ρ], wobei ρ := 1+i 3 = e πi/3 eine rimitive dritte Einheitswurzel in C ist. Bemerkung. Satz 3. sagt insbesondere: Der Ganzheitsring des quadratischen Zahlkörers Q( d, (d 0, 1 quadratfrei, ist ein freier Z-Modul vom Rang. Eine Basis bilden die Elemente 1, ω, wobei { d, falls d, 3 mod 4, ω := 1 (1 + d, falls d 1 mod Definition (Diskriminante. Sei K = Q( d ein quadratischer Zahlkörer und ω 1, ω eine Basis von K über Q. Dann ist die Diskriminante dieser Basis definiert als discr(ω 1, ω := det ( ω1 σ(ω 1. ω σ(ω Da die Diskriminante offensichtlich invariant gegenüber der Konjugation σ ist, gilt discr(ω 1, ω Q. Ist ω 1, ω eine weitere Basis von K über Q, so gibt es eine invertierbare -Matrix (c ij mit Koeffizienten aus Q, so dass ( ( ω 1 c11 c = 1 c 1 c ω ( ω1 ω. 3.3

4 Es folgt discr(ω 1, ω = det(c ij discr(ω 1, ω. Setzen wir jetzt seziell voraus, dass die von ω 1, ω und ω 1, ω aufgesannten Z-Moduln gleich sind, d.h. Λ := Zω 1 + Zω = Zω 1 + Zω, so ist die Übergangs-Matrix (c ij M(, Z invertierbar über dem Ring Z, d.h. die Determinante gleich ±1. Daraus folgt discr(ω 1, ω = discr(ω 1, ω =: discr(λ, die Diskriminante hängt also nur von dem Z-Modul Λ ab. Insbesondere ist daher die Diskriminante discr(o K der Maximalordnung von K wohldefiniert. Diese wird auch als Diskriminante des Körers K bezeichnet, discr(k := discr(o K Satz. Sei K = Q( d ein quadratischer Zahlkörer (d Z {0, 1} quadratfrei. Dann gilt für die Diskriminante von K { 4d, falls d, 3 mod 4, discr(k = discr(o K = d, falls d 1 mod 4. Beweis. a Im Fall d, 3 mod 4 ist 1, d eine Z-Basis von O K, also ( 1 1 discr(k = det = ( 4 d = 4d. d d b Falls d 1 mod 4, ist 1, 1 (1 + d eine Z-Basis von O K, also ( 1 1 discr(k = det 1+ d 1 d = ( d = d. Für die Teibarkeitslehre in einem Integritätsbereich R sielen die Einheiten, d.h. die invertierbaren Elemente von R eine wichtige Rolle Satz. Sei R der Ring der ganzen Zahlen in einem quadratischen Zahlkörer. Ein Element ξ R ist genau dann Einheit in R, wenn N(ξ = ±1. Beweis. Die Bedingung ist notwendig. Denn gilt ξη = 1 in R, so folgt N(ξN(η = 1 in Z, also N(ξ = ±1. Umgekehrt folgt aus N(ξ = ±1, dass ξ 1 = N(ξσ(ξ R, q.e.d. Für imaginär-quadratische Zahlkörer ist es leicht, eine vollständige Übersicht über die Einheiten zu bekommen. 3.4

5 3.6. Satz. Sei d < 0 eine quadratfreie ganze Zahl und R der Ganzheitsring des imaginär-quadratischen Zahlkörers Q( d. a Falls d = 1, also R = Z[i], besteht die Grue R der Einheiten genau aus den vierten Einheitswurzeln in C, d.h. R = {1, i, 1, i}. b Falls d = 3, also R = Z[ρ], (ρ = 1+i 3, besteht R genau aus den sechsten Einheitswurzeln in C, d.h. R = {±1, ±ρ, ±ρ }. c In allen anderen Fällen gilt R = {1, 1}. Beweis. Für ξ = x + iy d Q( d C ist N(ξ = x + d y gleich dem Quadrat des gewöhnlichen Betrags der komlexen Zahl ξ, woraus folgt, dass alle Einheiten auf dem Einheitskreis der komlexen Ebene liegen. Die Fälle a und b sind leicht direkt nachzurüfen. c In den übrigen Fällen ist d = oder d 5. Für den Imaginärteil eines Elementes ξ Q( d gilt dann Im(ξ = 0 oder Im(ξ > 1. Im zweiten Fall ist ξ > 1, also ξ keine Einheit. Eine Einheit ξ ist daher notwendig reell, also ξ = ±1. In reell-quadratischen Zahlkörern ist die Situation nicht so einfach. Z.B. ist im Ring Z[ ] die Zahl u := 1 + eine Einheit (mit u 1 = 1 +. Da die Einheiten eine Grue bilden, sind auch u n := u n für alle n Z Einheiten in Z[ ]. Es gibt also unendlich viele Einheiten. Wir werden auf dieses Problem in säter noch zurückkommen Ein Beisiel für Nicht-Faktorialität. Der Ganzheitsring eines quadratischen Zahlkörers ist im Allgemeinen nicht faktoriell. Betrachten wir etwa den Körer K = Q( 5. Sein Ganzheitsring ist O K = Z[ 5]. Das Element 6 Z[ 5] besitzt zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen in irreduzible Elemente: 6 = 3 = (1 + 5(1 5. Dass die Elemente, 3, z := und z = 1 5 irreduzibel sind, sieht man so: Wäre reduzibel, etwa = ξη mit Nicht-Einheiten ξ, η Z[ 5], so wäre 4 = N( = N(ξN(η, also N(ξ =. Es gibt aber in Z[ 5] kein Element der Norm, denn die Gleichung x + 5y = ist ganzzahlig unlösbar. Ebenso gibt es in Z[ 5] kein Element der Norm 3, was zeigt, dass 3 irreduzibel ist. Da N(z = 6, müsste bei einer nicht-trivialen Zerlegung z = z 1 z einer der Faktoren die Norm haben. Da dies unmöglich ist, ist z irreduzibel, ebenso z. Aus Normgründen ist z weder zu noch zu 3 assoziiert, ebenso z. Also handelt es sich tatsächlich um zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen der Zahl 6 im Ring Z[ 5]. Das Beisiel zeigt auch, dass 3.5

6 kein Primelement in Z[ 5] ist, denn ist ein Teiler des Produkts zz, ohne einen Faktor zu teilen. Aus demselben Grund ist 3 kein Primelement in Z[ 5] Legendre-Symbol. Wir erinnern an einige Begriffe und Tatsachen aus der Theorie der quadratischen Reste. Sei eine ungerade Primzahl. Eine Zahl a Z mit a heißt quadratischer Rest modulo, wenn die Kongruenz x a mod lösbar ist, andernfalls heißt a quadratischer Nichtrest. Damit definiert man das Legendre-Symbol ( { a +1, falls a quadratischer Rest modulo, = 1, falls a quadratischer Nichtrest modulo. Da ( a nur von der Restklasse a mod abhängt, kann man das Legendre-Symbol auch als Funktion ( ( a : F {±1}, a auffassen, die auf den Quadraten den Wert 1 und auf den Nicht-Quadraten den Wert 1 annimmt. Da die Quadrierungs-Abbildung sq : F F, x sq(x = x, den Kern {±1} hat, ist die Menge der Quadrate sq(f F eine Untergrue vom Index, hat also 1 Elemente. Es gilt das Kriterium von Euler ( a a ( 1/ mod, woraus die Rechenregel ( ab = (a( b folgt. Für das Legendre-Symbol gilt das berühmte Quadratische Rezirozitätsgesetz von Gauß: Sind q ungerade Primzahlen, so folgt ( ( q = ( 1 q 1 q 1. Außerdem gelten die beiden Ergänzungssätze ( 1 = ( 1 1 und ( = ( Hilfssatz. Sei K = Q( d, (d Z {0, 1} quadratfrei, ein quadratischer Zahlkörer und O K sein Ganzheitsring. a Sei eine ungerade Primzahl mit ( d = 1. Ist dann ξ O K ein Element mit N(ξ, so folgt ξ. b Sei d 5 mod 8. Ist dann ξ O K ein Element mit N(ξ, so folgt ξ. 3.6

7 Beweis. a Wir unterscheiden zwei Fälle: (i d, 3 mod 4. Dann ist O K = Z[ d] = {x + y d : x, y Z}. Sei ξ = x + y d ein beliebiges Element aus O K. Es ist N(ξ = x dy. Aus N(ξ folgt daher x dy mod. Wäre y 0 mod, würde daraus folgen, dass d ein Quadrat modulo ist. Dies ist aber nach Voraussetzung ausgeschlossen. Daher gilt y 0 mod, und daraus folgt auch x 0 mod, d.h. x und y, also ξ, q.e.d. (ii d 1 mod 4. Dann ist O K = Z[ 1+ d ] = {x + y 1+ d : x, y Z}. Sei ξ = x + y 1+ d ein beliebiges Element. Dann gilt N(ξ = N(x + y + y d = (x + y d( y = (x + y dy. 4 Aus N(ξ folgt daher (x + y dy mod. Wäre y 0 mod, würde daraus folgen, dass d ein Quadrat modulo ist. Dies ist aber nach Voraussetzung ausgeschlossen. Daher gilt y 0 mod, und daraus folgt x + y 0 mod, und weiter (da invertierbar modulo, dass x 0 mod, d.h. x und y, also ξ, q.e.d. b Wie im Fall a(ii gilt O K = Z[ 1+ d]. Für ξ = x + y 1+ d folgt aus N(ξ, dass 8 4N(ξ, d.h. (x + y dy mod 8. Wäre y ungerade, also y 1 mod 8, würde daraus folgen, dass d ein Quadrat mod 8 ist. Dies ist aber wegen d 5 mod 8 nicht der Fall. Also ist y gerade, y = y 1 mit y 1 Z. Setzt man dies in die obige Kongruenz ein und kürzt durch 4, erhält man (x + y 1 y 1 mod x + y 1 y 1 mod x 0 mod. Also ist auch x gerade und daher ξ, q.e.d. 3.7

8 Der nächste Satz gibt für einen quadratischen Zahlkörer K = Q( d Auskunft über die Primideale des Ganzheitsrings O K sowie über die Struktur der Abbildung Secm(O K Secm(Z Satz. Sei K := Q( d ein quadratischer Zahlkörer (d Z {0, 1} quadratfrei mit Diskriminante { 4d, falls d, 3 mod 4, D = d, falls d 1 mod 4 und O K sein Ganzheitsring. Für eine Primzahl Z zeigt das von in O K erzeugte Hautideal ( = O K folgendes Zerlegungs-Verhalten: 1. Fall: Sei eine ungerade Primzahl. (i Falls D, gibt es genau ein Primideal P O K mit P, nämlich P = (, d. Es gilt ( = P und O K /P = F. ( D (ii Falls = 1, gibt es genau zwei Primideale P 1, P O K mit P i, nämlich P 1/ = (, x ± d, wobei x Z eine Lösung der Kongruenz x d mod ist. Es gilt ( = P 1 P und O K /P i = F. ( D (iii Falls = 1, ist ( selbst Primideal, d.h. ein Primelement in O K und es gilt. Fall: Sei =. O K /( = F. (i Falls D, also D = 4d mit d, 3 mod 4, gibt es genau ein Primideal P O K mit P, nämlich P = (, d + d. Es gilt ( = P und O K /P = F. Falls D, ist D = d 1 mod 4, also tritt einer der beiden folgenden Fälle ein. (ii Falls d 1 mod 8, gibt es genau zwei Primideale P 1, P O K mit P i, nämlich P 1/ = (, 1 (1 ± d. Es gilt ( = P 1 P und O K /P i = F. 3.8

9 (iii Falls d 5 mod 8, ist ( selbst Primideal, also ein Primelement in O K und es gilt O K /( = F 4. Zum Beweis von Satz 3.10 verwenden wir zwei Hilfsaussagen: (A Für jede Primzahl Z besteht der Restklassenring O K /( aus Elementen. Ist q O K irgend ein Ideal mit ( q O K, so ist q ein Primideal mit O K /q = F. Beweis von (A. Als additive Grue ist O K = Z Z, also ist OK /( = (Z/Z (Z/Z eine Grue mit Elementen. Man hat eine natürliche surjektive Abbildung φ : O K /( O K /q. Der Kern von φ hat als nicht-triviale Untergrue von O K /( dann Elemente. Daraus folgt, dass O K /q ebenfalls Elemente hat. Daher ist q ein maximales Ideal in O K, also rim, und O K /q = F. (B Sind a 1, a R Ideale eines Rings R und R ein Primideal mit a 1 a, so folgt a i für wenigstens ein i {1, }. Beweis von (B. Angenommen a 1. Dann gibt es ein Element a 1 a 1. Für ein beliebiges x a ist dann a 1 x a 1 a, also a 1 x. Da a 1, folgt x, also insgesamt a, q.e.d. Beweis von Satz 3.10 Fall 1(i. Für das Ideal P := (, d (von dem wir noch nicht annehmen, dass es rim ist gilt ( P, da offensichtlich d (. Es ist P = (, d(, d = (, d, d = (, d, d/. (Man beachte, dass nach Voraussetzung d/ Z. Nun sind und d/ in Z teilerfremd (da d, woraus folgt (, d, d/ = (1, also P = (. Daraus folgt auch P O K, also ist P nach (A ein Primideal mit O K /P = F. Dass P das einzige Primideal von O K mit P ist, sieht man so: Wäre P ein weiteres Primideal mit dieser Eigenschaft, hätte man P = ( P, woraus mit (B folgt, dass P P, wobei sogar Gleichheit gelten muss, da P ein maximales Ideal ist. Fall 1(ii. Für die beiden Ideale P 1/ := (, x ± d gilt ( P i, da offensichtlich x ± d (. Es ist P 1 P = (, x + d(, x d = (, (x d, (x+ d, x d = (, x d, x+ d, (x d/. (Man beachte, dass nach Definition von x gilt x d. Behautung. a := (, x d, x+ d, (x d/ = (1. 3.9

10 Dies folgt daraus, dass x a und die Zahlen und x in Z teilerfremd sind. Aus a = (1 folgt jetzt P 1 P = (. Weiter folgt P i O K sowie P 1 P, denn andernfalls ergäbe sich x P 1, also wäre wegen (, x = (1 doch P 1 = O K. Die Aussage (A imliziert nun O K /P i = F und aus (B folgt, dass P 1/ die einzigen Primideale von O K mit P i sind. Fall 1(iii. Es ist zu zeigen: Teilt ein Produkt ξη zweier Elemente ξ, η O K, so teilt mindestens einen Faktor. Aus ξη folgt aber N( N(ξN(η im Ring Z. Da N( =, muss N(ξ oder N(η durch teilbar sein, etwa N(ξ. Nach Hilfssatz 3.9 folgt daraus ξ. Die Isomorhie O K /( = F folgt aus (A. Fall (i. Wir unterscheiden die Fälle d mod 4 und d 3 mod 4. Falls d mod 4, gilt P = (, d + d = (, d. Falls d 3 mod 4, gilt P = (, d + d = (, 1 + d = (, 1 + d. Im folgenden beschränken wir uns auf den (etwas komlizierteren Fall d 3 mod 4. Es gilt ( P, da 1 + (. Es gilt P = (, 1 + d(, 1 + d = (4, + d, 1 + d = (, 1 + d, (d 1/. Wegen d 3 mod 4 ist (d 1/ =: t Z eine ungerade Zahl, woraus folgt (, 1 + d, (d 1/ = (1, also P = (. Daraus folgt P O K, also mit (A, dass O K /P = F. Aus (B folgt, dass P das einzige Primideal von O K mit P ist. Die Fälle (ii und (iii werden ganz analog den Fällen 1(ii und 1(iii bewiesen. Die Ausführung sei dem Leser überlassen. Bemerkung. Es gibt also für eine Primzahl Z (gerade oder ungerade drei verschiedene Verhaltensmuster der Zerlegung in einem quadratischen Zahlkörer der Diskriminante D: (i ( = P ist das Quadrat eines Primideals in O K. Man nennt dann verzweigt. Dieser Fall tritt genau dann ein, wenn D (unabhängig davon, ob gerade oder ungerade ist. (ii ( = P 1 P ist das Produkt von zwei verschiedenen Primidealen von O K. Man sagt denn, saltet in O K. Dieser Fall tritt genau dann ein, wenn D ein Quadrat modulo ist (falls ungerade bzw. D 1 mod 8, falls =. Die letzte Bedingung bedeutet, dass D ein Quadrat modulo 8 ist 3.10

11 (iii ( ist ein Primideal in O K, d.h. bleibt auch in O K rim. Man nennt dann die Primzahl träge. Dieser Fall tritt genau dann ein, wenn D kein Quadrat modulo ist (falls ungerade bzw. D 5 mod 8, falls =. Die letzte Bedingung bedeutet, dass D kein Quadrat modulo 8 ist. Es gibt also nur endlich viele verzweigte Primzahlen. Die übrigen Primzahlen salten oder sind träge in O K. Der nächste Satz zeigt, dass dies nur von der Restklasse von modulo D abhängt und dass es asymtotisch gleich viele Primzahlen jeder Sorte gibt Satz. Sei K ein quadratischer Zahlkörer mit Diskriminante D. Dann gibt es einen surjektiven Gruen-Homomorhismus χ D : (Z/D {±1}, so dass gilt: Eine ungerade Primzahl mit D saltet bzw. ist träge in O K, je nachdem χ D ( = 1 oder χ D ( = 1. Bemerkung. Der Kern von χ D ist dann eine Untergrue vom Index in (Z/D. Da die Anzahl der Elemente von (Z/D gleich ϕ(d (Eulersche Phi-Funktion ist, gibt es je s := ϕ(d zu D teilerfremde Zahlen a 1,...,a s und b 1,...,b s, (die aarweise modulo D verschieden sind, so dass alle Primzahlen mit a i mod D salten und alle Primzahlen mit b j mod D träge sind. Nach dem Satz von Dirichlet über Primzahlen in arithmetischen Progressionen gibt es zu jeder zu D teilerfremden Zahl a unendlich viele Primzahlen mit a mod D und zwar mit einer von a unabhängigen 1 asymtotisch sog. Dirichlet-Dichte, die wir aber hier nicht näher definieren. ϕ(d Beweis. Nach Satz 3.10 ist nur zu zeigen: Es gibt einen Gruen-Homomorhismus χ D : (Z/D {±1}, so dass ( D χ D ( = für alle ungeraden Primzahlen mit D. Zur Konstruktion von χ D benutzen wir das quadratische Rezirozitätsgesetz. Sei D = ( 1 α β q 1 q q m, α {0, 1}, β {0,, 3}, die Primfaktorzerlegung der Diskriminante (q j ungerade Primzahlen. Dann ist ( D = ( 1 α ( β m j=1 ( qj Wir definieren zwei Gruen-Homomorhismen (Charaktere. χ 4 : (Z/4 {±1}, χ 8 : (Z/8 {±1} 3.11

12 durch χ 4 (a := ( 1 (a 1/ und χ 8 (a := ( 1 (a 1/8. Man kann χ 4 und χ 8 auch als Funktionen, die auf allen ungeraden ganzen Zahlen definiert sind, auffassen. Damit gilt ( 1 = χ 4 (, ( = χ 8 ( und nach dem quadratischen Rezirozitätsgesetz ( qj ( =, falls q j 1 mod 4, q j ( qj ( = χ 4 (, falls q j 3 mod 4. q j Ist γ die Anzahl der Primfaktoren q j 3 mod 4 von D, so gilt deshalb ( D m ( = χ 4 ( α+γ χ 8 ( β. q j j=1 Wir unterscheiden jetzt drei Fälle: a D 1 mod 4. Dann ist β = 0 und α + γ gerade. Dann defineren wir χ D (a := m ( a, D = q 1 q q m q j j=1 Offensichtlich hängt χ D (a nur von der Restklasse a mod D ab und es gilt χ D ( = ( D für alle ungeraden Primzahlen, die kein Teiler von D sind. b D = 4d mit d 3 mod 4. Dann ist β = und α + γ ungerade. Dann defineren wir χ D (a := χ 4 (a m ( a, d = q 1 q q m q j j=1 Offensichtlich hängt χ D (a nur von der Restklasse a mod 4d ab und es gilt χ D ( = ( D für alle ungeraden Primzahlen, die kein Teiler von D sind. Seziell für Diskriminante D = 4 (d.h. für den Ring Z[i] der ganzen Gaußschen Zahlen ergibt sich χ 4 = χ 4. c D = 4d mit d mod 4. Dann gilt 8 D, also β = 3. Die Parität von α + γ hängt von der Restklasse (d/ mod 4, d.h. von der Restklasse d mod 8 ab. Wir setzen δ := { 0, falls d mod 8, 1, falls d 6 mod

13 Dann gilt α + γ δ mod. Wir können jetzt defineren χ D (a := χ 4 (a δ χ 8 (a m ( a, d = q 1 q q m q j j=1 χ D (a hängt nur von der Restklasse a mod D ab und es gilt χ D ( = ( D für alle ungeraden Primzahlen, die kein Teiler von D sind. Im Fall der Diskriminante D = 8, d.h. für den Zahlring Z[ ] ist δ = 0 und m = 0, also stimmt χ D mit dem schon früher definierten χ 8 überein. Für D = 8 (Zahlring Z[ ] ergibt sich χ 8 = χ 4 χ Beisiel. Wir wollen den Fall des Zahlkörers Q( 5 und seines Ganzheitsrings O K = Z[ 5] näher ansehen. Seine Diskriminante ist D = 0 und nach Satz 3.11 gilt ( a χ 0 (a = χ 4 (a. 5 Die zu 0 teilerfremden Restklassen sind 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19 und man berechnet a χ 0 (a Damit erhält man eine Liste von saltenden Primzahlen in Z[ 5] 1 mod 0 : 41, 61, 101, 181, 41, 81, 401,41, 461,... 3 mod 0 : 3, 3, 43, 83, 103, 163, 3, 63, 83,383,443,463,... 7 mod 0 : 7, 47, 67, 107, 17, 167, 7, 307, 347, 367, 467, 487,... 9 mod 0 : 9, 89, 109, 149, 9, 69, 349,389, 409, 449,... und von trägen Primzahlen in Z[ 5] 11 mod 0 : 11, 31, 71, 131, 151, 191, 11,51, 71, 311, 331, 431, 491, mod 0 : 13, 53, 73, 113, 173, 193, 33,93, 313, 353, 373, 433, mod 0 : 17, 37, 97, 137, 157, 197, 57,77, 317, 337, 397, 457, mod 0 : 19, 59, 79, 139, 179, 199, 39,359, 379, 419, 439, 479, 499,