Konvergenz von Kettenbrüchen

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1 Konvergenz von Kettenbrüchen Satz Konvergenz von Kettenbrüchen Sei (a n ) n N eine Folge mit a 0 Z und a i N für i. Dann gilt: Die Brüche n = [a 0,..., a n ] bilden eine konvergente Folge. 2 Die Teilfolge 2n q 2n wächst streng monoton, die Teilfolge 2n+ q 2n+ fällt streng monoton. () Aus i q i i q i = ( ) i+ folgt i q i i q i = ( )i+ q i q i für alle i N 0. Wir entwickeln in einer Teleskosumme Die q i q i n = n i= ( i q i i q i )+ 0 q 0 bilden eine streng monotone Nullfolge. = a 0 + n i= ( ) i+ q i q i. Leibniz-Kriterium: Ihre alternierende Reihe ist konvergent. Damit konvergieren auch die n. Zahlentheorie - V7 Konvergenz von Kettenbrüchen, RSA-Angriff, Pellsche Gleichung 49 / 23

2 Konvergenz von Kettenbrüchen (Fortsetzung) (2) Aus n 2 n 2 = ( ) n a n folgt n n 2 2 = ( )n a n 2 für alle n N 0. Für n 2 sind a n,, 2 ositiv und daher ist der Term n n 2 2 { ositiv negativ für n gerade. für n ungerade. D.h. die Teilfolge 2n q 2n wächst streng monoton und die Teilfolge 2n+ q 2n+ fällt streng monoton. Zahlentheorie - V7 Konvergenz von Kettenbrüchen, RSA-Angriff, Pellsche Gleichung 50 / 23

3 Konvergenz der Kettenbruchentwicklung Satz Konvergenz der Kettenbruchentwicklung Sei x R\Q mit Kettenbruch x = [a 0, a,...]. Dann konvergieren die Näherungsbrüche n = [a 0,...,a n ] gegen x. Es gilt für n N x n < + n(n+). Sei x = [a 0, a,...,a n, r n ] = rnn+ n r n+ für ein r n R >0 \N. Damit folgt x n = (rnn+ n ) n(r n+ ) (r n+ ) ( ) n (r n+ ). = n n (r n+ ) = Wegen a n+ := r n und r n / N folgt r n > a n+ bzw. r n < x n < (a n+ + ) = + n(n+). Damit konvergieren die Näherungsbrüche n gegen x. a n+. D.h. Zahlentheorie - V7 Konvergenz von Kettenbrüchen, RSA-Angriff, Pellsche Gleichung 5 / 23

4 Kettenbruch der Euler-Zahl Bs: : Kettenbruchentwicklung der Euler-Zahl Euler zeigte 744, dass e = [2,, 2,,, 4,,, 6,,, 8,,, 0,,,...]. Dies liefert die folgenden Aroximationen für e. n [a 0, a,..., a n ] e n [2] [2, ] [2,, 2] [2,, 2, ] [2,, 2,, ] [2,, 2,,, 4] Übung: Zeigen Sie, dass Kettenbrüche eine Bestaroximation liefern. D.h. x n x q für alle Brüche q Q mit q. Zahlentheorie - V7 Konvergenz von Kettenbrüchen, RSA-Angriff, Pellsche Gleichung 52 / 23

5 Auftreten von Näherungsbrüchen Ziel: Jeder Bruch, der x sehr gut aroximiert, ist ein Näherungsbruch. Satz Auftauchen von Näherungsbrüchen Sei x R. Sei x q Q mit ggt(, q) =, q > 0 und < Dann ist q q 2q 2. ein Näherungsbruch in der Kettenbruchentwicklung von x. Sei q = [a 0, a,...,a n ]. Falls x = q, sind wir fertig. Ansonsten existiert ein r n R >0 mit x = [a 0, a,...,a n, r n ]. Wir definieren r i := [a i+,..., a n, r n ] für i = 0,...,n. Damit gilt [a 0, a,...,a i, r i ] = [a 0, a,...,a i,[a i+,..., a n, r n ]] = [a 0, a,...a n, r n ] = x für 0 i n. Ferner ist r i = [a i+, r i+ ] = a i+ + r i+ für 0 i < n. Z.z.: [a 0,...,a i, r i ] ist für 0 i n Kettenbruchentwicklung von x. Zahlentheorie - V7 Konvergenz von Kettenbrüchen, RSA-Angriff, Pellsche Gleichung 53 / 23

6 Auftreten von Näherungsbrüchen (Fortsetzung) Zeigen r i > für i n, dann ist a i+ = r i in KETTENBRUCH. Sei r n >. Dann gilt r n = a n + r n >. Es folgt induktiv, dass r n 2,..., r 0 >. Bleibt z.z.: r n >. Nach dem Lemma für Näherungsbrüche (Folie 46) gilt q = n und x = nrn+ n r n+. q, n sind gekürzte Brüche mit q, > 0, d.h. = n und q =. Aus unserer Voraussetzung folgt 2qn 2 > x q = n r n + n n r n + = n n ( r n + ) = ( ) n ( r n + ) = ( r n + ). Es folgt + < 2 < r n + und damit r n >. Zahlentheorie - V7 Konvergenz von Kettenbrüchen, RSA-Angriff, Pellsche Gleichung 54 / 23

7 Brechen von RSA mit kleinem geheimen Schlüssel Satz von Wiener (990) Sei (N, e) ein öffentlicher RSA Schlüssel mit 2 < e < ϕ(n) und N = q,, q gleicher Bitgröße. Sei ed mod ϕ(n) mit d < 3 N 4. Dann liefert die Kettenbruchentwicklung von e N das geheime d. Aus ed mod ϕ(n) folgt für ein k N ed = +kϕ(n) = +k( )(q ) = +kn k( + q ). Jeder gemeinsame Teiler von k und d teilt. D.h. ggt(k, d) =. Teilen durch dn liefert e N k d = k(+q ) dn. Falls k(+q ) dn = k(+q ) dn <, dann taucht der gekürzte 2d 2 Bruch k d in der Kettenbruchentwicklung von e N auf. Diese Bedingung ist äquivalent zu 2d(k( + q ) ) < N. Zahlentheorie - V7 Konvergenz von Kettenbrüchen, RSA-Angriff, Pellsche Gleichung 55 / 23

8 Brechen von RSA mit kleinem geheimen Schlüssel Wir beweisen die stärkere Bedingung 2dk( + q) < N. Dazu benötigen wir obere Schranken für k und + q. Es gilt k = ed ϕ(n) < e ϕ(n) d < d. OBdA gelte q. Da, q gleiche Bitgröße besitzen, folgt N q < 2 2 N. D.h. wir erhalten + q < 3 N. Dies erfüllt unsere Bedingung: 2dk(+q) < 2d 2 ( + q) < 2 9 N 3 N < N. Damit erhalten wir das geheime d aus dem Kettenbruch von e N. Übung: Seien a Z, n N mit ggt(a, n) =. Konstruieren Sie mit Hilfe eines Kettenbruchs ein Inverses x von a in U n, d.h. ax mod n. Definition Pellsche Gleichung Sei d N kein Quadrat. Dann heißt x 2 dy 2 = Pellsche Gleichung. Zahlentheorie - V7 Konvergenz von Kettenbrüchen, RSA-Angriff, Pellsche Gleichung 56 / 23

9 Pellsche Gleichung Satz Pellsche Gleichung Alle Lösungen(, q) N 2 der Pellschen Gleichung treten als Näherungsbruch q in der Kettenbruchentwicklung von d auf. Sei (, q) eine Lösung, d.h. = 2 dq 2 = ( + dq)( dq). Es folgt dq =. Teilen durch q liefert + dq q d = q+ dq 2 = ( q + d)q 2. Wegen = +dq 2 > q folgt q, d > und q d < 2q 2. Damit taucht q in der Kettenbruchentwicklung von d auf. Zahlentheorie - V7 Konvergenz von Kettenbrüchen, RSA-Angriff, Pellsche Gleichung 57 / 23