Zahlentheorie Aus der vorlesung von Lorenz Halbeisen Frühjahressemester 2014

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1 Zahlentheorie Aus der vorlesung von Lorenz Halbeisen Frühjahressemester 204 unai Csaba 3. Juni 204 ieses okument ist auf verfügbar. ieses okument könnte Fehler erhalten daher empfiehlt es sich stets die aktuellste Version zu beziehen.

2 Inhaltsverzeichnis ie Kunst des Rechnens 2. Peano-Arithmetik Peano-Axiome Zusammenfassung der Rechhenregeln Assoziativgesetze: Kommutativgesetze istributivgesetz as Rechnen mit ganzen Zahlen as Rechnen mit rationalen Zahlen Kettenbrüche 0 2. Euklid scher Algorithmus Vom ggt zu Kettenbrüchen Näherungsbrüche Formel für A n und B n Periodische Kettenbrüche iophantische Gleichungen 2 3. Lineare diophantische Gleichungen Pell sche Gleichungen Pythagoräische Tripel 29 ie Kunst des Rechnens. Peano-Arithmetik Zuerst definieren wir welche Zeichenketten wir als natürliche Zahlen auffassen: afür formulieren wir zwei Regeln, wie wirr natürliche Zahlen bilden. Regel as Zeichen 0 ist eine Natürliche Zahl. Regel 2 Bezeichnet die Zeichenkette x eine natürliche Zahl, so bezeichnet xi eine natürliche Zahl.. Peano-Axiome P A : Für alle natürlichen Zahlen x gilt: x + 0 = x 2

3 P A 2 : Für alle natürlichen Zahlen x, y gilt: x + yi = (x + y)i Beispiel (x+0i) x + 0I PA 2 = (x + 0)I PA = (x)i = xi P A 3 : Für alle natürlichen Zahlen x gilt: x 0 = 0 P A 4 : Für alle natürlichen Zahlen x, y gilt: Beispiel (0III * 0II) 0III 0II PA 4 = (0III 0I) + 0III PA 4 = ((0III 0) + 0III) + 0III PA 3 = (0 + 0III) + 0III PA 2 = (0 + 0II)I + 0III) PA 2 = (0 + 0I) II + 0III PA 2 = (0 + 0) III + 0III PA = 0III + 0III PA 2 = (0III + 0II) I PA 2 = (0III + 0I) II PA 2 = (0III + 0) III PA = 0IIIIII Bemerkung (Rechnen vs. Beweisen) Mit diesen Peano Axiomen können wir zwar rechnen, aben nicht beweisen. azu brauchen wir: P A 5 : (Induktionsaxiom) Gilt eine Aussage für 0 und (falls die Aussage für x gilt, so gilt sie auch für xi) dann gilt die Aussage für alle natürlichen Zahlen. Satz 0 (0+x=x) 0 + x = x 3

4 Beweis Induktion x = 0 : PA = 0 O x xi : Angenommen es gilt für x 0 + xi PA = (0 + x) I IA =(x)i = xi PA 5 Es gilt für alle natürlichen Zahlen Q.E.. Satz (Assoziativität für +) Für alle natürlichen Zahlen x, y, z gilt: (x + y) + z = x + (y + z) Beweis Induktion z = 0 (x + y) + 0 = (x + y) = x + (y) = x + (y + 0) O z zi Angenommen es gilt (x + y) + z = x + (y + z) für ein gewisses z (x + y) + zi PA 2 = ((x + y) + z) I IA = (x + (y + z)) I PA 2 = x + (y + z) I PA 2 = x + (y + zi) Q.E.. Hilfssatz 0 () Für alle natürlichen Zahlen x gilt: 0I + x = xi Beweis Induktion x = 0 0I + 0 = 0I O x xi Angenommen 0I + x = xi für ein gewisses x dann: 0I + xi PA 2 = (0I + x) I = (xi)i Q.E.. 4

5 Satz 2 (Kommutativgesetz für +) Für alle natürlichen Zahlen x, y gilt x + y = y + x Beweis (Induktion) x = y Satz = 0 y PA = y + 0 O x xi Angenommen x + y = y + x gilt für ein gewisses x dann: xi + y Hilfssatz 0 = (0I + x) + y AG = 0I + (x + y) IA = 0I + (y + x) Hilfssatz 0 = (y + x)i PA 2 = (y + x) + 0I PA 2 = y + xi Q.E....2 Zusammenfassung der Rechhenregeln..3 Assoziativgesetze: a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c Folgerung: ie Assoziativgesetze gelten auch für mehr als 3 Faktoren. Beispiel () (a + b) + (c + d) =:e = e + (c + d) = (e + c) + d = ((a + b) + c) + d = (a + (b + c)) + d... Wir können bei reinen Summen und Produkten die Klammern weglassen...4 Kommutativgesetze a + b = b + a a b = b a 5

6 Folgerung: ie Kommutativgesetze gelten für mehr als zwei Summanden/Faktoren. Beispiel () a b c = a e = e a = b c a =:e =:d = b d = d b = a c b... Bei reinen Summen oder Produkten spielt die Reihenfolge der Summanden beziehungsweise Faktoren keine Rolle...5 istributivgesetz Allgemeiner: a (b + c) = (a b) + (a c) (a + b) (b + d) e (c + d) =:e G = (e c) + (e d) = ((a + b) c) + ((a + b) d) G = ((a c) + (b c)) + ((a d) + (b d)) AG+ = (a c) + (b c) + (a b) + (b d) Beispiel (. Binomische Formel) (a + b) (a + b) Verallgemeinerung = (a a) + (a b) + (b a) (a b) + (a b) =(+) (a b)=2 (a b) + (b b) Bemerkung (Zeitraffer) Ab jetzt kennen wir alle zehn Symbole, die uns die Araber gebracht haben. Auserdem kennen wir Stellenwertsysteme. Wir haben uns auf das Zehnersystem geeinigt. 6

7 efinition (N) ie Menge der natürlichen Zahlen bezeichnen wir ab jetzt mit N := {0,, 3,...} Satz 3 () ie Summe van aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen ab ist immer eine Quadratzahl. Beweis (Induktion) Behauptung: n (2k + ) = (n + ) 2 k=0 Beweisführung: n = 0 n n + 0 2k + = (2 0 + ) = = (0 + ) 2 k=0 Angenommen die Behauptung gilt für ein gewisses n n+ n (2k + ) = (2k + ) + (2 (n + ) + ) k=0 k=0 IA = (n + ) 2 + (2 (n + ) + ) = n 2 + 2n + + 2n = n 2 + 4n + 4 = (n + 2) 2 = ((n + ) + ) Q.E...2 as Rechnen mit ganzen Zahlen Zu jeder natürlichen Zahl n definieren wir eine Gegenzahl n für die gilt: n + n = 0 Wir verlangen, dass alle Rechenregeln für natürliche Zahlen auch für die Gegenzahlen gelten. 7

8 Beispiel () 4 3 = = Satz 4 (Gegenzahl einer Gegenzahl) n ist die Gegenzahl von n n + n = 0 n + n +n = 0 + n 0 n = n + n ie Menge der natürlichen Zahlen zusammen mit der Menge der Gegenzahlen natürlicher Zahlen bezeichnen wir mit Z, also Z = {..., 2,, 0,, 2,... } Satz 5 (Regeln für Gegenzahlen). a + b = a + b allgemein: a + b + c + d = a + b + c + d 2. a b = a b = a b allgemein: a b c = a b c = a b c Gegenzahl 3. a b = a b Folgt aus regel 2. a b = a b = a b 8

9 Beweis (). (a + a) + b + b = 0 Rechenregeln 0 0 ( a + b ) + (a + b) = 0 + (a + b) ( a + b ) + (a + b) + (a + b) 0 = (a + b) ( a + b ) + = (a + b) 2. 0 = a 0 = a (b + b ) = a b + a b a b + a b = 0 a b + a b +a b = a b 0 a b = a b + a b Q.E.. Übliche Schreibweise: a ( a) Wir schreiben nun z.b: 7 + ( 3) als 7 3 Beispiel () ( ) ( ) = = 7 + ( 2 + ) = 9 + = 8 7 ( 2 + ) = 7 + (2 ) = 7 + = 8.3 as Rechnen mit rationalen Zahlen Rationale Zahlen sind Paare [p, q] von ganzen Zahlen, wobei q 0 efinition (Äquivalenz von rationalen Zahlen) [p, q] = [r, s] ps = qr 9

10 efinition (Operationen mit rationalen Zahlen) [p, q] [r, s] = [pr, qs] [p, q] + [r, s] = [ps + rq, qs] [p, q] : [r, s] = [p, q] [s, r] falls r 0 2 Kettenbrüche 2. Euklid scher Algorithmus Gegeben Seien 2 Strecken a 0, a. Gesucht ist, die grösste Strecke d welche sowohl a 0, als auch a ganzzahlig teilt. Hier Bild Algebraisch am Beispiel a 0 = 986, a = 357 Gesucht ist die grösste Strecke d so, dass sich das Rechteck mit Quadraten der Seitenlänge d füllen lässt. a 0 a a = a a 2 a = a 2 a 3 a = a 3 a 4 85 = = ggt(986, 357) = Vom ggt zu Kettenbrüchen Ein endlicher, regulärer (mit -en auf den Bruchstrichen) Kettenbruch ist ein Bruch der Form: b 0 + b + b b n + bn 0

11 wobei b,..., b n positive natürliche Zahlen sind (d.h. b i 0 ) und b 0 eine Ganze Zahl ist (d.h. sie könnte auch negativ sein) Bemerkung (Kettenbrüche sind Brüche) Jeder Kettenbruch lässt sich in einen normalen Bruch umformen. Frage Ist auch das Umgekehrte möglich? Um dieser Frage näher auf den Grund zu Gehen betrachten wir nochmals welche Form der Euklid sche Algorithmus hat. er erste Schritt geht wie folgt: a 0 = b 0 a + a 2 :a a 0 a = b 0 + a 2 a er zweite Schritt war: a = b a 2 + a 3 :a 2 a a 2 = b + a 3 a 2 Reziprokwerte Also können wir das Ergebnis nach dem zweiten Schritt in dasjenige nach dem ersten einsetzen und erhalten: a 0 a = b 0 + a 2 a = b 0 + b + a 3 a 2 as sieht schon sehr gut aus. Versuchen wir dieselbe Idee Weiterzuführen indem wir den dritten Schritt des Algorithmus betrachten: a 2 = b 2 a 3 + a 4 :a 3 a 2 a 3 = b 2 + a 4 a 3 Nun setzen wir dieses Ergebnis erneut ein und erhalten: a 0 =... = b 0 + a b + b 2 + a 4 a 3 erneut Reziprokwerte

12 Beispiel ( ) = 2 + b b b b 3 Eine Näherungsmethode, die Schritt für Schritt genauer wird benutzt genau diese Kettenbrüche, lässt jedoch die letzten Bruchterme einfach weg. Also: = = 4 = 58 2 ( ) = Notation Wir schreiben ab jetzt [b 0, b,..., b n ] für b 0 + b + b b n + bn Also: = [2,, 3, 5] Wir haben also Kettenbrüche für Rationale Zahlen gesehen. iese werden immer endlich sein, da der Euklid sche Algorithmus endet. (Warum der Euklid sche Algorithmus endet ist ziemlich schwierig zu beweisen und braucht Hilfsmittel, die wir hier nicht haben.) Nun wollen wir schauen, wasfür eine Kettenbruchentwicklung nichtrationale Zahlen haben. 2

13 Beispiel (Kettenbruch von 2) a 0 2 = a Wir machen nun stur den Euklid schen Algorithmus: a 0 2 = b a a {}} 2 { ( ) + 2 : a 2 2 = + Nun betrachten wir den entsprechenden Kehrwert: a Erweitern ( 2 + ) 2 + = ( ) ( ) = a 2 b = = 2 + } {{} = 2 =a 2 a wir also dasselbe wie beim ersten Schritt herausbekommen haben, werden wir bei allen weiteren Schritten dasselbe herausbekommen. Folglich ist die Kettenbruchentwicklung periodisch. Es gilt: 2 = [, 2, 2, 2, 2,...] 3

14 Beispiel ( 28) 28 = 5 + ( 28 5 ) = = 3 ( ) = 4 ( ) = 3 ( ) 3 b ( ) = ( ) = = ( ) = ( ) = = 0 + ( 28 5 ) a 2 ab jetzt Wiederholung 28 = [5, 3, 2, 3, 0, 3, 2, 3, 0,...] = [5, 3, 2, 3, 0] symmetrisch Bemerkung () er letzte Term der Periode ist das oppelte des ersten Termes des Kettenbruchs. 2.3 Näherungsbrüche Motivation Betrachten wir nochmals 2 = Wenn wir die Kettenbruchentwicklung an immer späteren stellen abbrechen, erhalten wir:. =: A 0 B 0 4

15 =: A B =: A 2 B 2 ies bildet eine Folge von A n und B n 2.3. Formel für A n und B n A 2 := 0 A := A n := b n A n + A n 2 B 2 := B := 0 B n := b n B n + B n 2 Beispiel ( 2) n b n A n 0 b B n gewöhnliche Eins Warum funktioniert diese Formel? Begründung (Induktion nach n) n = 0 A 0 = b 0 = b 0 A 0 = b 0 A + A 2 = b = b 0 B 0 = b 0 = = O n n + Angenommen [b 0,..., b n ] = A n B n Zu zeigen: [b 0, b,..., b n, b n+ ] b 0 + b +... b n := {b n + b n+ = A n+ B n+ 5

16 Mit der Formel für Kettenbrüche der länge n, die nach Induktionsannahme gilt, erhalten wir: A n Formel = b n A n + A n 2 ( = b n + ) A n + A n 2 b n+ = b n A n + A n b n+ + A n 2 = b n+ b n A n + A n + b n+ A n 2 b n+ Analog erhalten wir für B n araus wiederum ergibt sich als Bruch: B n = b n+ b n B n + B n + b n+ B n 2 b n+ A n B n = b n+ b n A n + A n + b n+ A n 2 b n+ b n B n + B n + b n+ B n 2 Was wir nun Zeigen wollen ist, dass wir durch anwenden der Formel für n + auf die gleichen Zähler und Nenner kommen. Wir schreiben also A n+ und B n+ mit der Formel: A n+ = b n+ A n + A n B n+ = b n+ B n + B n Genauso kennen wir aber auch die Formel für A n und B n A n = b n A n + A n 2 B n = b n B n + B n 2 Wir setzen das Untere ins Obere ein und erhalten: A n+ = b n+ (b n A n + A n 2 ) + A n = b n+ b n A n + b n+ A n 2 + A n Aber das Erhaltene ist genau das, was Als Zähler in A n B n = b n+ b n A n + A n + b n+ A n 2 b n+ b n B n + B n + b n+ B n 2 steht. Bnalog erhalten wir B n+ = b n+ b n B n + b n+ B n 2 + B n Auch hier sehen wir die Übereinstimmung. Also funktioniert die Formel. 6

17 Aus dem Schema für die Näherungsbrüche beweisen wir folgende Behauptung: Satz () A n B n B n A n = ( ) n Beweis (Induktion) n = n n + A 2 B B 2 A = ( ) Angenommen A n B n B n A n = ( ) n für ein gewisses n c e A n+ g d f h B n+ Wir nehmen also an: c f d e = ( ) n Wir wollen zeigen, dass e h f g = ( ) n+ Aber diese Behauptung ist äquivalent zu: c f d e = f g e h Aus dem Algorithmus erhalten wir: } g = b n+ e + c f g = f (b n+ e + c) h = b n+ f + d und fg eh = fc ed = b n+ f e + f c e h = e (b n+ f + d) = eb n+ + ed Q.E.. Folgerung: Näherungsbrüche sind immer gekürzt. Beweis (Widerspruchsbeweis) Angenommen An B n ist nicht gekürzt. ann existiert ein d so, dass: d A n und d B n somit gilt: d (A n B n B n A n ) aber dann: d ( ) n (wegen der Formel) und somit: d = Also kann es keinen gemeinsamen Teiler geben ausser Q.E.. 7

18 Beispiel () 986 = [2,, 3, 5] = = ggt(986, 357) = = Periodische Kettenbrüche Betrachten wir als Einstieg folgenden (unendlichen) Kettenbruch: x = [ ] = + } = x.. x = + x x x 2 = x + x 2 x = 0 Mit der Mitternachtsformel kann man jetzt die Quadratische Gleichung lösen. Man erhält: x war positiv = x = as ist der goldene Schnitt, manchmal mit ϕ bezeichnet. (ϕ.68) Nun wollen wir etwas mit ϕ experimentieren, da wir auf eine schöne eigenschaft hoffen. ϕ 2 = ϕ + ϕ 3 = ϕ 2 + ϕ ϕ 3 = 2ϕ + Es gilt: ϕ ϕ 2 = ϕ + einsetzen Hier Bild ϕ : = (ϕ + ) : ϕ ϕ 2 = ϕ + ϕ stimmt!

19 In der Folge der Zähler und Nenner stehen die Fibonacci Zahlen. ie Verhältnisse von aufeinanderfolgenden Fibonacci Zahlen konvergieren gegen ϕ. Beispiel (ein total gewöhnliches, langweiliges beispiel, an dem wirklich nichts besonders ist) x = [ 3, 2, ] = =x Hier merkt man, dass es kein Vergnügen ist, den Kettenbruch aufzuschreiben. Stattdessen benutzt man besser das Schema: 3 2 x x x+2 x = 0x + 7 3x + 2 3x 2 + 2x = 0x + 7 3x 2 8x 7 = 0 Wieder löst man die Gleichung mit der Mitternachtsformel: x = Als letztes betrachten wir noch Kettenbrüche von Zahlen der Form : +P0 Q 0 wobei: / N und, P 0, Q 0 N Beispiel (Beispiele von Zahlen dieser Form) 3 = iese Zahl haben wir oben als Resultat bekommen. 9

20 Wir definieren: Q := P 0 2 Q 0 N warum eigentlich? Anschliessend machen wir Schritt für Schritt die Kettenbruchentwicklung: + P0 + P0 b 0 Q 0 = b 0 + b 0 b 0 auf den Bruchstrich nehmen Q 0 Q 0 + P0 b 0 Q 0 = b 0 + Q }{{ 0 } < Nun betrachten wir den Kehrwert des Bruchterms: ( ) Q Q 0 0 (P0 b 0 Q 0 ) = + P0 b 0 Q 0 (P b 0 Q 0 ) 2 = = Q 0 P {}} { + (b 0 Q 0 P 0 ) ( P0 2 2b 0 Q 0 P 0 + b 2 0Q 2 ) 0 P 2 + P ( ) P 2 Q } 0 {{} =:Q N (Warum der Nenner natürlich ist folgt noch) = + P Q mit P 2 Q N 20

21 Beweis (Warum der Nenner natürlich ist) ( P 2 ) = Q 0 Q 0 ( P0 2 2b 0 Q 0 P 0 + b 2 0Q 2 ) 0 P 2 = ( P0 2 2b 0Q 0 P 0 + b 2 ) 0 Q2 0 Q 0 = P b 0Q 0 P 0 b 2 0 Q2 0 Q 0 = P 2 0 Q 0 + 2b 0Q 0 P 0 b 2 0 Q2 0 Q 0 = P 2 0 Q 0 } {{ } N + 2b 0 P 0 b 2 0Q 0 N Q.E.. Nun zurück zum Ergebnis von vorhin. Wir sehen folgende Eigenschaften: P n, Q n und schliesslich noch b n < 2 araus folgt, dass Kettenbrüche von Zahlen der Form, P 0, Q 0 N immer Quasiperiodisch sind. 3 iophantische Gleichungen efinition (iophantische Gleichungen) iophantische Gleichungen sind Gleichungen in einer oder Mehreren Variablen, für die ganzzahlige Lösungen gesucht werden. Im Folgende betrachten wir zwei Typen von iophantischen Gleichungen. 3. Lineare diophantische Gleichungen efinition (Lineare iophantische Gleichung) Eine Lineare iophantische Gleichung hat die Form a x + b y = c (a, b, c Z, a 0, b 0) 2

22 Gesucht werden ganzzahlige Lösungen für x und y. (Noch konkreter wird die kleinste ganzzahlige Lösung gesucht) Folgendes Beispiel wird uns ein Stück weit Begleiten Begleitendes Beispiel Finde die kleinste Lösung in den positiven Zahlen für die iophantische Gleichung 299 x 22 y = 9 a=299 b= 22 Bemerkung (nicht immer lösbar) 2x 8y gerade = 7 keine Lösung möglich ungerade amit die Gleichung ax + by = c lösbar ist, muss c ein Vielfaches vom ggt(a, b) =: d sein. Begleitendes Beispiel 299 = = = = ggt(299, 22) = 3 und glücklicherweise: 9 = 7 3 Zuerst betrachten wir den Fall c = 0, also die sogenannte homogene Gleichung: ax + by = 0 iese hat die sogenannte triviale (d.h. offensichtliche) Lösung a = b = 0. Um eine nichttriviale Lösung zu finden massieren wir die Gleichung ein bisschen: ax + by = 0 ax = by =: l 22

23 somit muss l ein Vielfaches vom kgv(a, b) sein. ie kleinste, nicht-triviale Lösung der homogenen Gleichung ist: x 0 = kgv(a, b) a kgv(a, b) y 0 = b Bemerkung (kleiner Trick von Csaba) ies wurde nie wirklich gesagt, aber man kann sich folgendes überlegen: kgv(a, b) = ies kann man in die obige Formel einsetzen: a b ggt(a, b) wird zu: x 0 = kgv(a, b) a kgv(a, b) y 0 = b a b a b x 0 = y 0 = a ggt(a, b) b ggt(a, b) b a = = ggt(a, b) ggt(a, b) ie letzte Folmel wird für die Übungen und Aufgaben meistens einfacher sein, da man den ggt normalerweise als erstes ausrechnet und man so mit kleineren Zahlen rechnen muss. ie Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist: k x 0, k y 0 k Z Begleitendes Beispiel

24 299 = = 7 3 kgv(299, 22) = as heisst: x 0 = 7 und y 0 = 23 ist Lösung der homogenen Gleichung. 299 x 22 y = = 0 ie Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet dann: } k 7 k Z k 23 Als nächstes betrachten wir den Fall c = d ax + by = d Hier können wir auf beiden Seiten durch d teilen, da d a und d b. Wir erhalten: Begleitendes Beispiel a x + b y = d d a b Zu lösen ist somit die Gleichung = a 22 3 = b 23 x 7 y = Wir erinnern uns nochal an den satz mit den ( ) n und erhalten: = = 24

25 Somit ist x = 3 und y = 4 eine partikuläre Lösung der Gleichung. Wir können nun auf beiden Seiten multiplizieren: = 3 7 (weil 7 3 = 9) = 9 Also bilden x = 2 und y = 28 eine Lösung (von vielen) der ursprünglichen Gleichung: 299x 22y = 9 Als letztes wollen wir eine allgemeine Formulierung der Lösungen von ax + by = c formulieren. abei hilft uns folgende Überlegung: (I) : ax + by = c (II) : ax 2 + by 2 = c (I) (II) : a (x x 2 ) + b (y y 2 ) = 0 as heisst: (x x 2 ) und y y 2 bilden eine Lösung der Homogenen gleichung. a x 0 und y 0 die kleinsten lösungen für die Homogene Gleichung waren gilt: } (x x 2 ) = k x 0 (y y 2 ) = k für ein k Z y 0 beziehungsweise } x 2 = x + k x 0 y 2 = y + k y 0 für ein k Z Ist also x, y eine partikuläre Lösung der Gleichung ax + by = c und x 0, y 0 die Lösung der inhomogenen Gleichung, so ist die allgemeine Lösung dieser Gleichung: } x allg = x + k x 0 k Z y allg = y + k y 0 Begleitendes Beispiel ie Allgemeine Lösung der Gleichung 299x 22y = 9 ist also: } x allg = 2 + k 7 k Z y allg = 28 + k 23 Suchen wir die kleinste Lösung, so müssen wir k so wählen, dass: 2 + k 7 und 28 + k 23 25

26 beide positiv und möglichst klein sind. In diesem Fall ist k =. Also ist x = 4 und y = 5 die kleinste positive Lösung (k wurde durch ausprobieren gefunden) = Pell sche Gleichungen efinition (Pell sche Gleichung) Eine Pell sche Gleichung hat die From: wobei N und / N x 2 y 2 = Satz 6 (Teilbarkeit von Quadraten) Seien p q / N und ggt (p, q) = ann gilt: p 2 q 2 / N Beweis () p, q Sind Teilerfremd, also sind p 2 und q 2 Teilerfremd. Q.E.. Gesucht werden wieder ganzzahlige Lösungen für x, y. ie Lösung einer Pell schen Gleichung finden wir wieder mit Hilfe von Näherungsbrüchen, diesmal mit Näherungsbrüchen von Was wir bereits über den Kettenbruch von wissen: hat einen -en Kettenbruch. er Kettenbruch von ist quasi-periodisch. Ist d = so beginnt der Kettenbruch mit d. Es lässt sich zeigen: = [ b 0 = d, b,..., b n, 2b 0 = 2d ] 26

27 Beispiel ( 4) 4 = [ d = 3 3,, 2,, 6 2d ] Näherungsbrüche: Entsprechende Pell sche Gleichung: x 2 4 y 2 = n = =. man probiert der Reihe nach aus und nichts geht bis... n = = =. man wird so noch weitere finden Betrachten wir etwas allgemeiner: = [ b0, b,..., b n, 2b 0 ] Näherungsbrüche: = b 0 + wobei α n+ = + b 0 b +...bn+ 2b 0 +. b +.. =:α n+ =[b 0 +b 0,b,...,bn,2b 0] b 0 b b n α n+ 0 A 0 A... A n A n α n+ A n + A n 0 B 0 B... B n B n α n+ B n + B n 27

28 = a n + A n + A n α n+ B n + B n Multipliziere mit Nenner und ersetze a n+ = + b 0 ( ) + b0 B n + ( ) B n = + b0 A n + A n B }{{ n + b } 0 B n + B n = A n + b 0 A n + A }{{ n } N / N N Wir können nun einen Koeffizientenvergleich machen mit der Idee, dass die Summe Natürlicher Zahlen immernoch natürlich sein muss und dass die Summe Vielfacher von immernoch ein Vielfaches von sein muss. Also: Somit ist und B n = b 0 A n + A n b 0 B n + B n = A n A n = B n b 0 A n B n = A n b 0 B n Wir wissen: A n B n B n A n = ( ) n durch Einsetzen kommen wir auf: (B n b 0 A n ) B n (A n b 0 B n ) A n = ( ) n B 2 n A 2 n = ( ) n A 2 n B 2 n = ( ) n+ Somit können wir einfach x := A n und y := B n setzen und erhalten x + y = ( ) n+ ( ) Beispiel () Gesucht sind positive ganze Zahlen, x, y, z für die gilt: ( z 2 + ) (y 2 + ) = ( x 2 + ) (urch raten findet man sofort: ( 2 + ) ( ) = ) Aber systematisch würde man so vorgehen: ( z 2 + ) y 2 + z 2 + = x 2 + ( z 2 + ) y 2 + z 2 = x 2 x 2 ( z 2 + ) y 2 = z 2 Ist x, y eine Lösung von x 2 ( z 2 + ) y 2 =, dann ist z x, z y, Lösung von x 2 ( z 2 + ) y 2 = z 2 28

29 Beispiel (z=5) z = 5 z 2 + = 26(=: ) Wir lösen also: x 2 26y 2 = 26 = [ 5, 0 ] z=5 ( 5) ( 5) x y z Pythagoräische Tripel efinition (Pythagoräisches Tripel) Ein Tripel (a, b, c) mit a, b, c Z >0 heisst pythagoräisches Tripel, falls: a 2 + b 2 = c 2 Hier Bild Zum Beispiel: =

30 Bemerkung () a 2 + b 2 = c 2 a2 c 2 + b2 c 2 = ( a ) ( ) 2 b 2 + = c c ( er Punkt a c, b ) c ist Hier Bild ein Punkt auf dem Einheitskreis. Pythagoräische Tripel entsprechen also rationalen Punkten auf dem Einheitskreis. Wir wollen jetzt solche Punkte auf dem Einheitskreis finden. azu betrachten wir folgende Situation: Hier Bild Wir wollen nun zeigen, dass x, y Q m Q 30