Einführung in die Chaostheorie

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1 Einführung in ie Chaostheorie Die sogenannte Chaostheorie befasst sich mit er Erforschung nichtlinearer ynamischer Systeme, ie chaotisches Verhalten zeigen können. Chaotisches Verhalten liegt u.a. ann vor, wenn geringste Änerungen in en Anfangsbeingungen zu nahezu beliebig großen Änerungen führen ( sogenannter Schmetterlingseffekt ). Beispiele für Systeme, ie gelegentlich chaotisches Verhalten zeigen, sin: Wetter, Wirtschaftskreisläufe, Bevölkerungswachstum, Herzschlag, etc.. Bei er Betrachtung es eterministischen (georneten) Chaos liefert vor allem eine berühmte Gleichung viele Überraschungen. Es hanelt sich um ie sog. logistische Gleichung x n+1 = k x n ( 1 - x n ) Anmerkung: Diese Gleichung beschreibt übrigens einen interessanten Prozess in er Natur, nämlich ie schwankenen Zahlen von Tierbevölkerungen. x n+1 stellt hierbei ie Zahl er Tiere in er neuen Generation ar. Der Zahlenwert wir so normiert, ass er nur zwischen 0 un 1 ( 1 = 100% er Population ) schwanken kann. Man setzt bei vorgegebenem festen k-wert zu Beginn ( n = 0 ) für x 0 eine Zahl zwischen 0 un 1 ein, z.b. 0,4, un berechnet ann x 1. Anschließen wir x 1 rechts eingesetzt un x 2 berechnet, un so fort. Man erhält auf iese Art eine Folge von Zahlen. Interessant ist bei Folgen, ob sie einem Grenzwert zustreben,.h. man untersucht, ob ie Glieer er Folge über alle Grenzen wachsen oer sich einem festen Wert, em Grenzwert, nähern. Wir weren sehen, ass ie urch obige Gleichung efinierten Folgen sogar gegen verschieene feste Werte streben können, abhängig vom jeweils gewählten k-wert. In er Mathematik spricht man ann von Häufungswerten, a sich ie Folgenglieer in er Umgebung ieser Werte häufen! Beispielrechnung für k = 1: Dann gilt x n+1 = x n ( 1 - x n ) Wir starten mit x 0 = 0,4. x 1 = 0,4 ( 1-0,4 ) = 0,4 0,6 = 0,24. x 2 = 0,24 ( 1-0,24 ) = 0,24 0,76 = 0,1824. x 3 = 0,1824 ( 1-0,1824 ) = 0,1824 0,8176 = 0, Es ist bereits jetzt zu sehen, ass ie begrenzte Nachkommastellenzahl ein Problem weren kann. Ein Computer ( Delphi-System mit 17-stelliger Genauigkeit ) liefert folgenes : n x n 0 0,4 1 0,24 2 0, , , , , , , , , ,

2 Offensichtlich strebt ie Folge em Grenzwert 0 zu! Bei aneren Startwerten, etwa 0,6 oer 0,2, ist er Grenzwert ebenfalls 0. Die Darstellung es Ergebnisses er Tabelle in einer Zeitreihe n x n lässt Konvergenz vermuten. Zeitreihe für k = 1 : Eine weitere Darstellungsmöglichkeit bietet as sogenannten Cob-Web-Diagramm mit x n auf er Rechtsachse un x n+1 auf er Hochachse. Das Streben hin zum Grenzwert 0 ist hier besoners eutlich zu erkennen. Cob-Web - Diagramm für k = 1 : Man kann en Grenzwert auch ermitteln, inem man ie Gleichung x = x ( 1 x ) nach x auflöst. Nimmt man nämlich an, ass sich ie Folgenglieer für x n = x nicht mehr änern ( man spricht auch vom Fixpunkt x ), so gilt für iesen Fall gerae x = x ( 1 x ). Die Umformung ergibt: x = x - x², woraus x² = 0 folgt. Die einzige Lösung ist ann x = 0, also er bereits aus en Computerberechnungen vermutete Grenzwert. Zusammenfassung für k = 1 : Die Folge x n+1 = x n ( 1 - x n ) hat en Grenzwert 0. Dieser Grenzwert wir unabhängig vom Startwert x o erreicht, sofern x o ] 0 ; 1 [. x = 0 ist auch er Fixpunkt er Gleichung x = x ( 1 x ).

3 Die Entwicklung er Folge für verschieene k-werte soll im Folgenen untersucht weren: Iteration er rekursiven Folge x n+1 = k x n ( 1 - x n ) Die Iterationen weren urchgeführt mit k = 2,8 ; 3,2 ; 4. Der Startwert sei immer x 0 = 0,4 Für k = 2,8 gilt : x n+1 = 2,8 x n ( 1 x n ) Zeitreihe für k = 2,8 : Cob Web Diagramm für k = 2,8 :

4 Fixpunktberechnung: Aus x = 2,8x ( 1 x ) folgt x = 2,8x - 2,8x² un somit 2,8x² = 1,8x. Lösungen: x = 0 bzw. x = 9/14. Zusammenfassung für k = 2,8 : Die Folge x n+1 = 2,8 x n ( 1 - x n ) hat en Grenzwert 0,643. Dieser Grenzwert wir unabhängig vom Startwert x o erreicht, sofern x o ] 0 ; 1 [. 9 x = 0,643 ( genau: 14 ) ist auch ( neben x = 0 ) ein Fixpunkt er Gleichung x = 2,8 x ( 1 x ). Für k = 3,2 gilt : x n+1 = 3,2 x n ( 1 x n ) Zeitreihe für k = 3,2 :

5 Cob Web Diagramm für k = 3,2 : Fixpunktberechnung: Aus x = 3,2x ( 1 x ) folgt x = 3,2x - 3,2x² un somit 3,2x² = 2,2x. Lösungen: x = 0 bzw. x = 11/16. Zusammenfassung für k = 3,2 : Die Folge x n+1 = 3,2 x n ( 1 - x n ) hat keinen Grenzwert, sonern 2 Häufungspunkte bei 0,513 un bei 0,8. Diese Häufungspunkte weren unabhängig vom Startwert x o erreicht, sofern x o ] 0 ; 1 [. Erstaunlicher Weise haben beie nichts mit en Fixpunkten er Gleichung x = 3,2 x (1 x), nämlich x = 0 sowie x = 0,6875, zu tun. Später weren wir sehen, ass man auch iese beien Häufungspunkte algebraisch berechnen kann!

6 Für k = 4 gilt : x n+1 = 4 x n ( 1 x n ) Zeitreihe für k = 4 : Cob Web Diagramm für k = 4 :

7 Fixpunktberechnung: Aus x = 4x ( 1 x ) folgt x = 4x - 4x² un somit 4x² = 3x. Lösungen: x = 0 bzw. x = 3/4. Zusammenfassung für k = 4 : Die Folge x n+1 = 4 x n ( 1 x n ) hat keinen Grenzwert, sonern beliebig viele Häufungspunkte, ie sich für x o ] 0 ; 1 [ erzeugen lassen. Wegen er Beliebigkeit er Anzahl er Häufungspunkte kann man schwer entscheien, ob verschieene Startwerte ie gleichen Häufungspunkte erzeugen. Forschungen haben gezeigt, ass iese Folge sehr empfinlich auf verschieene Startwerte reagiert,.h. es ist keine Vorhersage über en Verlauf er Folge möglich. Man nennt iese Folge aher auch CHAOS Folge. Zusammenfassung er Iteration xn+1 = k xn ( 1 - xn ) ; k > 0 Die angegebene Iterationsgleichung ( auch logistische Gleichung genannt ) gehört zum Gebiet er sog. CHAOS-Forschung ( Chaos un Ornung in ynamischen Systemen ). Forscher verwenen ie Gleichung, um Aussagen un ggfs. Vorhersagen über komplexe Systeme wie Herzschlag (Meizin), Populationen (Biologie), Doppelpenel (Physik/Technik) oer as Wetter machen zu können. In er Forschung wuren bzgl. er obigen Gleichung folgene Ergebnisse erzielt: 0 < k < 1 : Die Folge besitzt einen Grenzwert, nämlich 0. 1 k < 3 : Die Folge besitzt einen Grenzwert, nämlich 1 - k 1. 3 k < 3,449 : Die Folge besitzt 2 Häufungswerte bzw. Häufungspunkte ( Anm.: Die Menge aller Häufungswerte heißt Attraktor ). 3,4495 k < 3,544 : In iesem Intervall erhalten wir 4 Häufungswerte. 3,5441 k < 3,5644 : In iesem Intervall erhalten wir 8 Häufungswerte. 3,56441 k < 3,56875 In iesem Intervall erhalten wir 16 Häufungswerte. 3,56876 k < 3,56969 In iesem Intervall erhalten wir 32 Häufungswerte. 3,8 k 4 : Die Folge verhält sich chaotisch,.h. es gibt unenlich viele Häufungswerte, un as Verhalten er Folge ist nicht vorhersagbar. Bereits bei kleinen Veränerungen es Startwerts ergeben sich große Unterschiee im Verhalten er Folge! Hinweis: Im Kapitel über Zweierzyklen, Viererzyklen, etc. wir er rechnerische Nachweis für einige er oben angegebenen Intervalle erbracht!

8 Bifurkations-Diagramm Man kann ie Häufungswerte in Abhängigkeit es Parameters k arstellen. Dieses Diagramm heißt FEIGENBAUM Diagramm oer Bifurkations-Diagramm. ( Anmerkung: Mitchell J. Feigenbaum ist ein Physiker un Chaos Forscher ) Für x = kx(1-x) erhält man folgenes Diagramm: Wie man sieht, gibt es sowohl im negativen als auch im positiven k-bereich Häufungspunkte! Einen Ausschnitt aus em positiven k-bereich zeigt as folgene Diagramm:

9 Anmerkung: Dieser Ausschnitt es Feigenbaumiagramms wure mit 2000 Iterationen berechnet. Man erkennt eutlich ie fortgesetzte Aufspaltung in immer mehr Häufungswerte un en Übergang ins Chaos. Ferner lässt sich feststellen, ass selbst im Chaos noch stabile Inseln möglich sin!

10 Es folgen jetzt einige algebraische Untersuchungen: Vorbemerkung: Berechnung er k-intervalle für as Vorliegen von Häufungspunkten Bei en hier betrachteten Iterationen liegt stets as sogenannte Allgemeine Iterationsverfahren vor, welches nach er Formel x n+1 = g(x n ) abläuft. Man nennt g(x) ie Iterationsfunktion. Das Verfahren konvergiert ann, wenn in einem Intervall I ( bzw. einer Umgebung U ) um en Grenzwert für jees x aus I gilt: g'(x) < 1. g' ist hierbei ie erste Ableitung von g(x). Daher beeutet obige Ungleichung, ass bei einer Steigung es Graphen von g(x), ie betraglich kleiner als 1 ist (bzw. Steigung zwischen -1 un +1 ) as Iterationsverfahren konvergiert. Die lässt sich z.b. anhan von g(x) = cos(x) überprüfen: g '(x) = -sin(x), somit ist ie Ungleichung -sin(x) < 1. Bei iesem Beispiel ist ie Ungleichung sogar für fast alle x erfüllt, enn ie Sinusfunktion beträgt vom Betrag her maximal 1, un zwar an en relativen Extremstellen. Diese stimmen mit en Nullstellen er Cosinusfunktion überein. Also kommen außer x i = (2n+1) π /2 alle aneren x-werte als Startwerte x 0 infrage. Z.B. x 0 = 0,2 ( weitere Rechnung im Bogenmaß! ) x 1 = cos(0,2) = 0,98... x 2 = cos(0,98...) = 0, usw. Das folgene sogenannte Cob-Web-Diagramm stellt ie Iteration ar un liefert auch eine Näherung für en Grenzwert, nämlich 0, Außerem sieht man, ass ie Steigung er Cosinusfunktion betraglich nie größer als 1 ist. Wir kommen zurück zu unserer Iteration mit x = k x ( 1 x ) : 1. Frage: Für welche Werte von k hat ie Iteration mit g(x) = k x ( 1 x ) genau einen Häufungswert ( also einen Grenzwert )? Dazu bestimmen wir zunächst ie x-koorinaten er Fixpunkte: x = k x ( 1 x ) besitzt ie Lösungen x = 0 sowie x = 1 - k 1.

11 Anschließen untersuchen wir ie Beingung g' (x) < 1 in einer Umgebung es jeweiligen Fixpunktes: Es gilt: g (x) = k (1-x) + k x (-1) = k (1-2x). Zu untersuchen ist also k (1-2x) < 1. Für x = 0 ergibt sich ann k < 1 (wegen k > 0) 0 < k < 1 Übrigens ist auch für k = 1 er Grenzwert = 0, wie sich leicht überprüfen lässt! Für x = 1 - k 1 ergibt sich k (1-2 ( 1 - k 1 )) < 1 -k + 2 < 1 1< k < 3 Zusammenfassung: Die Iteration mit g(x) = k x ( 1 x ) besitzt für 1 1 < k < 3 en Grenzwert g = 1 k 0 < k 1 en Grenzwert g = 0 un für Dies konnte an Beispielen ( k = 1 ; k = 2,8 ) bereits beobachtet weren. In er folgenen Grafik mit g(x) = kx(1-x) k = 0, ,8 3,3 kann man sich en Sachverhalt anhan er Steigungen nochmals grafisch veranschaulichen : Wir betrachten nur en 2. Fixpunkt ( 0 ) Dieser ist in er Grafik jeweils markiert: Die Grafen mit k=0,5 un k=1 besitzen überhaupt keinen 2. Fixpunkt. Der Graf mit k = 3,3 besitzt zwar einen 2. Fixpunkt, jeoch ist ort seine Steigung betraglich größer als 1, so ass keine Konvergenz zu erwarten ist. Die Grafen für k=2 un k=2,8 besitzen einen 2. Fixpunkt un man kann wegen er Steigungsverhältnisse Konvergenz erwarten. Exakte Rechnungen hierzu: k=2: g k '(0,5) = 2 (1-2 0,5) = 0. k=2,8: g k '(9/14) = 2,8 (1-2 9/14) = -0,8. 2. Frage: Für welche Werte von k hat ie Iteration mit g(x) = k x ( 1 x ) genau zwei Häufungswerte? Man spricht in iesem Fall auch von Zweierzyklen! Bei Zweierzyklen springt ie Iteration zwischen 2 Werten hin un her. Es gilt also für große n : g(g(x)) x! Wir bilen zunächst g(g(x)) : g(x) = k x ( 1 x ) g(g(x)) = k g(x) ( 1 g(x) ) = k k x ( 1 x ) ( 1 k x ( 1 x ) )

12 g(g(x)) = k 2 x ( 1 x ) ( 1 k x ( 1 x ) ) Dies ist eine ganzrationale Funktion 4.Ornung, ie unten grafisch argestellt wir ( k=3,2 bzw. k=3,5 ). Man erkennt für jee er zwei Funktionen 3 Fixpunkte ( abgesehen von x=0). Anhan er Steigungsverhältnisse erkennt man ferner, ass eine Iteration mit x = g(g(x)) am jeweils mittleren Fixpunkt (blau) nicht konvergieren kann, wohl aber an en äußeren Fixpunkten (rot). Löst man ie Gleichung x = g(g(x)), so erhält man ie Fixpunkte in Abhängigkeit vom Parameter k. Da ie Lösung x = 0 er obigen Gleichung für ie Untersuchung unwichtig ist, können wir ie Gleichung urch x iviieren un ann ie Lösungen suchen : Zu lösen ist ann (Unbekannte x ): 1 = k 2 ( 1 x ) ( 1 k x ( 1 x ) ) Dies löst man am besten mit einem CAS- System (z.b. TI92) exakt ( siehe unten). Der TI92 z.b. liefert für 1 = k 2 ( 1 x ) ( 1 k x ( 1 x ) ) 3 Lösungen : x = 1 - k 1 Dies ist er mittlere er Fixpunkte, für en ie Iteration nicht konvergiert. Diesen brauchen wir aher im folgenen nicht mehr beachten! Außerem ie Lösungen x = k 2 2k 3 + k + 2k 1 sowie x = k 2 2k 2k 3 + k + 1 Für iese beien Lösungen ist jetzt noch ie Beingung g(g(x)) < 1 zu untersuchen. Für ie Ableitung ergibt sich folgene Lösung ( z.b. TI92 ) : g(g(x)) = k 2 (1-2x) (2kx 2-2kx + 1) Setzt man für x ie obigen ( interessanten ) Fixpunkte ein, so erhält man in beien Fällen: g(g( x )) = 2(k+2) k 2 ( Steigungen in en Fixpunkten in Abhängigkeit von k ) Die Beingung g(g(x)) < 1 reuziert sich emnach zu 4 + 2k k 2 < 1. Dies lässt sich umformen: 4 + 2k k 2 < 1, falls 4 + 2k k 2 gleichzeitig 0 ist o e r -(4 + 2k k 2 ) < 1, falls 4 + 2k k 2 gleichzeitig < 0 ist. Es folgen weitere Äquivalenzumformungen : ( k 2 2k - 3 > 0 k 2 2k ) ( k 2 2k - 5 < 0 k 2 2k - 4 > 0 )

13 Die erste Klammer liefert: ( k < -1 k > 3 ) ( 1-5 < k < ) 3 < k < Die zweite Klammer : ( 1-6 < k < ) ( k < 1-5 k > ) ) < k < Die ODER Verknüpfung er beien Klammern liefert as Ergebnis: 3 < k < Zusammenfassung: Die Iteration mit g(x) = k x ( 1 x ) besitzt für 1 < k 4 genau 2 Häufungspunkte bzw. attraktive Zweierzyklen, wenn gilt : 3 < k < ,4495 Entsprechen kann man nach längerer Rechnung zeigen, ass attraktive Viererzyklen auftreten, wenn < k < 3,54

14 Beispiel 1: g(x) = x 2 0,3 ( Grenzwert ) Iterationen an weiteren Funktionen Iteration an er Funktion g(x) = x 2 - k Beispiel 2: g(x) = x 2 1 ( Zweierzyklus )

15 Beispiel 3: g(x) = x 2 1,3 ( Vierfachzyklus ) Beispiel 4: g(x) = x 2 1,5 ( Mehrfachzyklus bzw. Chaos)

16 Für ie Funktion g(x) = x 2 - k ergeben sich ähnliche Bereiche wie bei er logistischen Gleichung. -0,25 < k < 0,75 Die entsprechene Zahlenfolge besitzt einen Grenzwert 0,75 < k < 1,25 Die Folge besitzt 2 Häufungspunkte 1,25 < k < 1,3... Die Folge besitzt 4 Häufungspunkte 1,3... < k < 2 Die Anzahl er Häufungspunkte nimmt zu Das Bifurkationsiagramm zu g(x) = x 2 - k :

17 Iteration an er Funktion f (x) = (x-k) 2 Nachfolgen ist iese Kurvenschar für k = -0,4 bis k = 1 (Schrittweite 0,2) abgebilet: Man erkennt, ass es für k > 0 immer 2 Fixpunkte (Schnittpunkte von f mit y=x) gibt, ie aber nur für einige ieser k attraktiv (anziehen) sin. ( Bei Attraktivität muss bekanntlich ie Steigung in en Fixpunkten betraglich < 1 sein! ) Zwischen k = -0,4 (schwarze Kurve) un k = -0,2 (rote Kurve) muss es ein k mit nur einem Fixpunkt geben. Dort berührt er Graph also ie Winkelhalbierene mit y=x! Kleinere als ieses k führen zu gar keinem Fixpunkt! Berechnung er Fixpunkte un er Anzahl er Fixpunkte: Aus em Ansatz x = f k (x),.h. x = (x-k) 2 folgt x = x² - 2xk + k² un x² - (1+2k)x + k² = 0, woraus sich ie folgenen Lösungen ergeben: x 1,2 = k + 0,5 ± k + 0, 25 Für k = -0,25 gibt es genau einen Fixpunkt x = k + 0,5, a er Wurzelterm ann 0 ist. Für k < -0,25 gibt es keinen Fixpunkt, a er Wurzelterm ann keine Lösung besitzt. Für k > -0,25 gibt es 2 Fixpunkte x 1,2 ( siehe Lösungsformel oben ). Zu untersuchen ist noch, welcher er Fixpunkte attraktiv ist,.h. für welchen er Fixpunkte ie Iteration x n+1 = (x n -k) 2 zu Häufungswerten führt. Eine Beingung für ie Existenz von Häufungswerten ist : f (x) < 1 Für obige Funktion ist ies 2(x-k) < 1, also x-k < 0,5. Die Lösung ieser Ungleichung lautet k-0,5 < x < k+0,5. x muss also kleiner als k+0,5 sein, aher scheiet ie + -Lösung er obigen Lösungsformel aus. Für ie - -Lösung ergibt sich: k-0,5 < x = k+0,5- k + 0, 25 < k+0,5. Subtrahiert man in er Gleichungskette (k-0,5), so erhält man: 0 < 1- k + 0, 25 < 1. Hieraus folgt k + 0, 25 < 1 oer k + 0, 25 > 0 un ann urch Quarieren er Wurzel k+0,25 < 1 oer k+0,25 > 0 bzw. -0,25 < k < 0,75 ( k-intervall für Häufungswerte).

18 Frage: Gibt es für k = -0,25 ebenfalls Häufungswerte?? Zur Klärung ieser Frage zeichnen wir as Cob-Web-Diagramm für (x+0,25) 2 mit verschieenen Startwerten. Ergebnis: Bei Startwerten links vom Fixpunkt gibt es einen Häufungswert (sogar Grenzwert), er ientisch mit em Fixpunkt x = 0,25 ist! Startwerte, ie größer als er Fixpunkt sin, führen zur Divergenz. Untersuchung von Zweierzyklen: Es gilt: f(f(x)) = ((x-k) 2 -k) 2. Wir suchen zunächst Fixpunkte,.h. x = ((x-k) 2 -k) 2 x = (x 2-2kx+k 2 -k) 2 x = x 4 4kx 3 + (6k 2-2k)x 2 4k 2 (k-1)x + (k 2 -k) 2. Zu lösen ist aher ie Gleichung x 4 4kx 3 + (6k 2-2k)x 2 (4k 3-4k 2 +1)x + (k 2 -k) 2 = 0. 2 Lösungen sin bereits urch ie Fixpunkte von f bekannt, nämlich ie Lösungen von x = (x-k) 2 bzw.. (x-k) 2 x = 0 bzw. x 2 (2k+1)x +k 2 = 0. Eine Polynomivision liefert ann ie beien aneren Lösungen: Pol.iv.: ( x 4 4kx 3 + (6k 2-2k)x 2 +(-4k 3 +4k 2-1)x + (k 2 -k) 2 ) : (x 2 + (-2k-1)x +k 2 ) = x 2 +(-2k+1)x+(k-1) 2 x 4 +(-2k-1)x 3 +k 2 x (-2k+1)x 3 +(5k 2-2k)x 2 +(-4k 3 +4k 2-1)x (-2k+1)x 3 +(4k 2-1)x 2 +(-2k 3 +k 2 )x (k 2-2k+1)x 2 +(-2k 3 +3k 2-1)x+(k 2 -k) 2 (k-1) 2 x 2 +(-2k-1)(k-1) 2 x+k 2 (k-1) Rest = 0 Setzt man nun as Restpolynom Null, so ergeben sich ie weiteren Lösungen:

19 x 2 +(-2k+1)x+(k-1) 2 = Lösung: x 3/4 = k-0,5 ± k k + 0,25 ( k 2k + 1) Vereinfacht ergibt sich ie Lösung: x 3/4 = k-0,5 ± k 0, 75 Anhan er Beingung f(f(x)) < 1 lässt sich nun untersuchen, welcher er 2 Fixpunkte attraktiv ist,.h. für welchen ie entsprechene Iteration x n+1 = f(f(x n )) Häufungswerte besitzt. Zunächst ie Grafen von f k (f k (x)) = ((x-k) 2 -k) 2 für k = 0,6 0,85 1,1 1,35 : Nur für ie Grafen mit k = 0,85 k = 1,1 un k=1,35 gibt es 4 Schnittpunkte mit er Winkelhalbierenen. Für k= 1,35 sin ie Steigungen in en Schnittpunkten betraglich alle größer als 1, so ass hier keine Häufungswerte zu erwarten sin. Für k=0,6 gibt es nur 2 Schnittpunkte, ie aber bereits Fixpunkte von f sin. Auch hier führt ie Iteration aher nicht zu Häufungswerten! Betrachte nun k=0,85 un k=1,1 : Bei welchen er auftretenen 4 Schnittpunkte führt ie Iteration zu Häufungswerten? (Steigung betrachten! ) Hier ie vergrößerten Grafen von ((x-k) 2 -k) 2 für k = 0,85 un k = 1,1: Man erkennt, ass jeweils in em ersten un letzten Schnittpunkte ie Steigung betraglich kleiner als 1 ist, so ass für jeen ieser k-werte zwei Häufungswerte zu erwarten sin.

20 Nun ie rechnerische Betrachtung: Aus f(f(x)) < 1 folgt 2((x-k) 2 -k) 2(x-k) < 1 ((x-k) 2 -k)(x-k) < 0,25 Es ist ratsam, jetzt nicht nach x aufzulösen (sehr schwieriger Term!), sonern ie obigen Lösungen x 3,4 = k-0,5 ± k 0, 75 einzusetzen. Dann folgt: ((-0,5 ± k 0, 75 ) 2 -k)(-0,5 ± k 0, 75 ) < 0,25 Hierbei muss k > 0,75 vorausgesetzt weren! Formt man weiter um, so ergibt sich: (0,25+k-0,75 k 0, 75 -k)(-0,5 ± k 0, 75 ) < 0,25 (-0,5 k 0, 75 )(-0,5 ± k 0, 75 ) < 0,25 0,25-(k-0,75) < 0,25 1-k < 0,25 1-k < 0,25, falls 1-k 0 oer 1-k > -0,25, falls 1-k < 0 Vereinfachen: k > 0,75 un k 1 oer k < 1,25 un k > 1 Dies liefert: 0,75 < k 1 oer 1 < k < 1,25 Was sich auch so schreiben lässt : 0,75 < k < 1,25 In iesem k-intervall gibt es ie beien Häufungswerte x 3 un x 4! Cob-Web-Diagramme für ((x-k) 2 -k) 2 mit k = 0,85 (Startwerte 0,2 bzw. 0,5) : Die theoretisch errechneten Werte sin: x 3,4 = 0,85-0,5 ± 0,85 0,75 Also x3 = 0, un x4 = 0, , was vom Computerprogramm auch gut bestätigt wir!

21 Feigenbaumiagramm für ie Iterationsfunktion f k (x) = (x k) 2

22 Zum Schluss noch ein weiteres Diagramm mit einer recht komplizierten Iterationsfunktion:

23 Bestimmen er Feigenbaum Konstante Der amerikanische Physiker Mitchell J. Feigenbaum fan in en 70er Jahren eine Konstante δ, für ie er folgenen Wert bestimmte : δ = k k n n 1 lim 4, n kn + 1 kn Hierbei sin ie k i aufeinanerfolgene Bifurkationspunkte ( siehe unten ). Interessant ist, ass iese Konstante für viele Iterationsfunktionen gültig ist, z.b. auch für g(x) = x 2 - k oer g(x) = k x 2 sin(π x)! Übungsbeispiel: Bestimmung er Konstante für g(x) = k x ( 1 x ) : Die ersten Bifurkationspunkte seien im folgenen angegeben. Zu berechnen sin zunächst ie Differenzen aufeinanerfolgener Punkte : k 1 = 3,0 k 2 = 3, k 2 k 1 = 1 0,44949 k 3 = 3, k 3 k 2 = 2 0,0946 k 4 = 3, k 4 k 3 = 3 0, k 5 = 3, k 5 k 4 = 4 0, k 6 = 3, k 6 k 5 = 5 0, k 7 = 3, k 7 k 6 = 6 0, Schließlich berechnet man ie Quotienten aufeinanerfolgener Differenzen, nämlich 1 2 4, , , ,66 k k : 4,69 Man sieht, ass ie Quotienten näherungsweise konstant sin!