Mathematische Kenntnisse

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1 Lehrbrief 1 Technik Seite 1 von 9 Mathematische Kenntnisse Mathematik? Eigentlich sollte es och um Amateurfunk gehen. Amateurfunk ist nun mal ein technisches Hobby, eshalb sin einige grunlegene mathematische Kenntnisse erforerlich. Wir benötigen in er Regel nur Wissen, as in er Schule bis zur 10. Klasse behanelt wure. Um uns bezüglich er Hirn - Rechenleistung etwas zu entlasten, schauen wir uns erstmal en Taschenrechner an. Benötigt wir für iesen Fernkurs ein einfacher,,wissenschaftlicher'' Taschenrecher. Ein,,Küchenrechner'' reicht nicht. Wenn Dein Taschenrechner ie Tasten EE oer 10 x oer EXP un/oer LOG besitzt, bist Du auf er sicheren Seite. Wenn nicht, empfehlen wir en Kauf es TI- 30 von Texas Instruments (egal welche Ausführung). Der TI-30 ist ein einfacher wissenschaftlicher Taschenrechner, wie er in er Schule benutzt wir. Er ist nicht programmierbar. Bitte beachte, ass bei er Prüfung bei er Bunesnetzagentur programmierbare Taschenrechner nicht zugelassen sin. Ein nicht programmierbarer Taschenrechner wie er TI30 arf in er Prüfung benutzt weren. Was musst Du kennen: Aition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzen (x y ), ie Wurzel( x ) un Logaritmen (log). Die vier Grunrechenarten setzen wir als bekannt voraus. Kopfschmerzen machen manchmal Potenzen, Wurzeln un Logarithmen, sowie as Umformen von einfachen Gleichungen. Daher weren wir im folgenen näher arauf eingehen. Gleichungen umstellen In iesem Kurs wir es immer wieer nötig sein, einfache Gleichungen umzustellen. Bei en Strichrechenarten ( + un - ) ist as trivial. Grunlegen bei allen Formelum-stellungen ist ie sogenannte Äquivalenzumformung. Damit ist gemeint, ass man eine umzustellene Formel erst mal hinschreibt un ann auf beien Seiten gleiche Operationen ausführt, um ie Ausgangsformel zum gewünschten Ziel umzustellen:

2 Lehrbrief 1 Technik Seite 2 von 9 Beispiel 1: Bei nachstehener Formel ist c gesucht: a + b = c - a b = c c steht auf er rechten Seite Der Rechenbefehl + auf beien (!) Seiten ausführen sorgt afür, ass c alleine auf einer Seite steht. a b = c =0, kann also weggelassen weren a b = c nun noch umstellen (also lin- ke un rechte Seite er Glei- chung vertauschen) c=a b Solange man alle Operationen sowohl auf er linken als auch auf er rechten Seite urchführt, bleibt as Gleichheitszeichen weiter richtig. Somit ist ie Gleichung unveränert (eben nur umgestellt). Beispiel 2: Bei nachstehener Formel ist c gesucht: a b=c a b = c : auf beien (!) Seiten (um c allein zu stellen) a b a b = c = c =1, kann als Faktor weggelassen weren, enn c 1=c = c Seiten tauschen (umstellen) c= a b

3 Lehrbrief 1 Technik Seite 3 von 9 Noch einige alte Schulweisheiten zum Umstellen von Gleichungen un zur Eingabe in en Taschenrechner: Punktrechnung kommt vor Strichrechnung! a+ b c tippt man nicht er Reihe nach (also von links nach rechts) in en Taschenrechner, sonern erst ie Ziffern un ann a Beispiel: =3+ 10=13 b c Besonerheit Hat man einen Bruchstrich, so kann man sich im Zähler (oben) un Nenner (unten) ie Klammern azuenken. Beispiel: a b c = a b c Dasselbe gilt bei Exponenten. Beispiel : 10 3x t 3x t =10 Wie löse ich eine Klammer auf, in er eine Aition ausgeführt wir? Beispiel: a b c Hier wir ie Zahl vor er Klammer mit en in er Klammer stehenen Zahlen jeweils ausmultipliziert, anschließen wir aiert. a b c =a b a c Hinweis: Mit en Variablen a,b,c ist as Ganze sehr formelhaft. Zur Vereutlichung kannst u einfach mal Zahlen einsetzen un nochmal urchspielen. Man sieht sehr leicht, wie unterschielich ie Ergebnisse weren, wenn z.b. Punkt- un Strichrechnung vertauscht weren. Vorschlag : a = 3, b = 7, c = 11

4 Lehrbrief 1 Technik Seite 4 von 9 Potenzen Einige Beispiele: 10²=10 10= = =78125 Der Exponent (as ist ie Hochzahl ) sagt aus, wie viel mal ie Basis mit sich selbst multipliziert weren muss. In er Technik ist eine solche exponentielle Schreibweise bei sehr großen oer sehr kleinen Zahlenwerten üblich. Man verwenet hier meist en Exponent zur Basis 10. Beispiel: Frequenzangabe 3, Hz 3, Hz 3, Hz 3,5 MHz (bei ieser Frequenz beginnt as 80m Amateurfunkban) Beim Taschenrechner kann man sich aussuchen, wie man iese Zahl eingeben möchte. Am einfachsten geht as mit er EE -Taste: tippe: Anzeige es Taschenrechners: , wobei ie nachfolgene Zahl as x be- Die EE-Taste beeutet mal 10 x stimmt (hier 6). Hinweis zur Formelsammlung: In er Formelsammlung (ie Euch urch ie Bunesnetzagentur bei er Prüfung zur Verfügung gestellt wir) gibt es auf er ersten Seite eine Übersicht über ie Zehnerpotenzen un ie azugehörigen Vorsilben (Pico, Nano,., Giga, Terra). Die Formelsammlung vom Team Funken-Lernen ist vom Layout her so aufgebaut wie ie Formelsammlung er BNetzA. Das beeutet, ass Du bei er Prüfung ie Dinge an er gleichen Stelle finets wie in er im Kurs verweneten Formelsammlung. Wir haben leiglich einige inhaltliche Mängel (ie aber nicht prüfungsrelevant sin) korrigiert. Bitte nutze ie Formelsammlung auch jetzt währen es Kurses, wann immer es geht. Sie enthält viele Lösungen oer Lösungsansätze für ie Prüfungsfragen. Wenn Du Dich erst in er Prüfung mit er Formelsammlung beschäftigt, ist es zu spät. Hinweis zum Taschenrechner: Wir beziehen uns immer auf en TI-30, wenn wir Tasten am Taschenrechner beschreiben. Anere Taschenrechner haben teilweise abweichene Beschriftungen, z.b. heißt ie EE

5 Lehrbrief 1 Technik Seite 5 von 9 Taste bei CASIO EXP un bei aneren wieerum 10 x. Wurzelrechnung Die Wurzelrechnung ist ie Umkehroperation er Potenzrechnung. Bei er Ermittlung er Quaratwurzel wir eine Zahl (y) gesucht, ie mit sich selbst multipliziert ie Ausgangszahl ergibt (im Beispiel ist as x). Beispiel: y= x (aners geschrieben y y= x oer auch y 2 = x ) Nehmen wir einfache Zahlen, um ies zu vereutlichen. x = 4 Die Wurzel von 4 ist 2, enn 2 2=4 oer 2²=4 Eine solche Wurzel kann urch QUADRIEREN (auf beien Seiten er Gleichung!) aufgelöst weren. Beispiel: a=4 Die Formel ist nach a umzutellen. a = 4 : auf beien Seiten er Gleichung, um a alleine auf er linken Seite zu haben a = 4 ()², quarieren auf beien Seiten er Gleich- ung, um ie Wurzel aufzulö- sen a 2 = ( 4 ) 2 = 16 ² Das Quarat hoch 2 un ie Wurzel heben sich auf, also: a = 16 ²

6 Lehrbrief 1 Technik Seite 6 von 9 Logarithmen Hierbei geht es arum, einen Exponent ( ie Hochzahl ) zu finen, er mit einer gegebenen Basis eine bestimmte Zahl ergibt. Beispiel: 10 x = 1000 Wie groß ist x? 10 x = 1000 log 10 auf beien Seiten log x = log log 10 un 10( hoch ) auf er linken Seite heben sich gegenseitig auf. Das vormals als Exponent geschriebene x steht nun unten: x = log Nun in en Taschenrechner eingeben Ergebnis in er Anzeige: 3 also: log = 3, gesprochen: Der Logarithmus von 1000 zur Basis 10 ist 3. In er Regel weren in er Technik für ie Angabe von Werten nur Potenzen zur Basis 10 verwenet. Die Verwenung von Logarithmen bezieht sich analog azu ebenfalls fast immer auf ie Basis 10. Aus iesem Grun wir iese 10 nicht immer als log 10 mitgeschrieben, sonern einfach weggelassen. log1000 gesprochen: Der Logarithmus von Da keine weitere Angabe nach em log erfolgt, ist von er Basis 10 auszugehen. Achtung: Bitte im Taschenrechner nicht ie Taste mit er Taste ver- wechseln. ist er sog. natürliche Logarithmus! Weiteres über Potenzen un Logarithmen folgt an er jeweiligen Stelle im Kurs (Verstärker, Verlustrechnung an Antennenleitungen, Antennengewinn...)

7 Lehrbrief 1 Technik Seite 7 von 9 Einheiten SI-Basiseinheiten In er Technik kommen wir mit einer Reihe physikalischer Effekte, Bauelemente un Größen in Kontakt. Manche sin einem bekannt, z.b. weiß jeer in etwa was ein Meter ist, anere wieerum sin unbekannt un entziehen sich er eigenen Vorstellung. Das elektrische Fel un essen quantitative Beschreibung ist mit einfachen Worten nicht zu bewerkstelligen. In iesem Kapitel sehen wir uns ie grunlegenen Einheiten un Größen an. Die wichtigsten Größen un Einheiten wuren nach Festlegung es Meters als ie grunlegene Größe es metrisches System wie folgt festgelegt: Größe / Formelzeichen Länge / s Masse / m Zeit / t Strom / I Temperatur / T Stoffmenge / n Einheitszeichen (Bezeichnung) m (Meter) kg (Kilogramm) s (Sekune) A (Ampere) K (Kelvin) mol (Mol) Lichtstärke / l v c (Canela) Grunlegene Größen un Einheiten (MKSAKMC-System oer kurz MKSA-System) Diese Einheiten un Größen sin auch ie sogenannten SI Basiseinheiten (SI = Système international unités). Alle weiteren auf iesem Grunsystem fußenen Einheiten sin zusammengesetzte Einheiten. Zusammengesetzte Einheiten Beispiel einer zusammengesetzten Einheit: Die Kraft wir in Newton angegeben (N). Diese Einheit lässt sich auch in SI-Basiseinheiten angeben: 1 N=1 kg m s 2

8 Lehrbrief 1 Technik Seite 8 von 9 Auch in er Elektrotechnik begegnen uns viele zusammengesetzte Einheiten. Die wichtigsten finest Du in er folgenen Tabelle: Wichtige zusammengesetzte Einheiten aus er Elektrotechnik Größe / Formelzeichen Einheit zusammengesetzt aus SI Einheiten Spannung / U V (Volt) kg m 2 A s 3 Wierstan / R Ω (Ohm) kg m 2 A 2 s 3 Leitwert / G S (Siemens) A 2 s 3 kg m 2 Leistung / P W (Watt) kg m 2 Laung / Q C (Coulomb) As Energie bzw. Arbeit / W Ws (Wattsekune) kg m 2 Kapazität / C F (Fara) A 2 s 4 s 3 s 2 kg m 2 Inuktivität / L H (Henry) kg m 2 A 2 s 2 Frequenz / f Hz (Hertz) 1 s elektrische Felstärke / E V/m (Volt pro Meter) kg m A s 3 magnetische Felstärke / H A/m (Ampere pro Meter) Flussichte / B T (Tesla) V s m 2 Wichtige zusammengesetzte Einheiten aus er Elektrotechnik A m Unterschie: Formelzeichen / Einheit Die verweneten Buchstaben verursachen am Anfang oft etwas Verwirrung, a iese sowohl als Formelzeichen / Größe verwenet weren, aber eben auch als Einheitsabkürzung. Man sollte sich immer sicher sein, ob man nun eine Größe oer eine Einheit mit ei-

9 Lehrbrief 1 Technik Seite 9 von 9 nem Zeichen beschreibt. Beispielsweise verwenet man as Formelzeichen s in er Regel für eine Länge (Strecke), als Einheit bezeichnet s ie Sekune. Analog verhält es sich bei er Masse m (in kg) un em Einheitszeichen er Länge m für Meter.