Querschnittsaufgabe: Messung des Magnetfeldes unterhalb einer Hochspannungsfreileitung

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1 orlesung "Grunlagen er Elektrotechnik" Seite von 5 Querschnittsaufgabe: Messung es Magnetfeles unterhalb einer Hochspannungsfreileitung. Ziel Die folgene Aufgabe soll azu ienen, einige Methoen un Kenntnisse zu en verschieenen Themen er orlesungen Grunlagen er Elektrotechnik + auf eine querschnittliche Aufgabenstellung anzuwenen. n ieser Aufgabe betrifft as hauptsächlich ie Themen Wechselstrom, Drehstrom Magnetisches Fel, Durchflutungsgesetz, nuktionsgesetz Elektronik, Operationsverstärker Die Aufgabe ist bewusst unscharf gestellt.. Problem un Lösungsansatz Unterhalb jeer Freileitung wir urch en elektrischen Strom in en Leitern ein magnetisches Fel erzeugt. Es soll ein Messgerät entworfen weren, mit em as magnetische Fel unterhalb einer 8 k-freileitung gemessen weren kann. Das Messgerät soll aus einer Spule (ohne Eisen) bestehen, in er as von er Freileitung erzeugte Fel eine Spannung inuziert. Diese Spannung wir urch einen oer mehrere Operationsverstärker verstärkt. Am Ausgang es erstärkers soll ein (Wechselspannungs-) oltmeter angeschlossen sein, as bei Nennstrom in er Freileitung eine Spannung von etwa (Effektivwert) anzeigen soll. Der erstärker soll als Tiefpass zur Unterrückung von höherfrequenten Einflüssen geschaltet sein. Für ie Auslegung sin folgene Einzelfragen zu klären:. Wie stark etwa ist as magnetische Fel un welche ichtung hat es? (stromlos) Freileitung L L Messspule L erstärker. Wie ist er Zusammenhang zwischen Querschnittsfläche, Winungszahl un inuzierter Spannung (bei Nennstrom in er Freileitung) für eine Messspule?. Wie könnte ie Spule aussehen, wenn man mit einer erstärkerstufe auskommen möchte? 4. Wäre ie Spule wesentlich einfacher, wenn man zwei erstärkerstufen verwenen würe? 5. Wie müsste man en erstärker beschalten, amit sich ein Tiefpassverhalten ergibt? 6. Wie müsste man ie Grenzfrequenz für en Tiefpass sinnvoll wählen un wie müsste afür er Operationsverstärker beschaltet weren?. Berechnungen.. Stärke un ichtung es magnetischen Feles Die Skizze zeigt ie ungefähre Lage er rei Leiter es Drehstromsstems. n er ealität besteht jeer Leiter aus vier einzelnen Leitern (iererbünel). Wegen es großen Abstanes vom Messort kann as aber als ein Leiter angesehen weren. Für ie Abschätzung er magnetischen Felstärke am Ort er Messspule wir er Einfluss er Ere außer Acht gelassen. Außerem wir mittig unterhalb er rei Leiter gemessen un er Einfluss es zweiten Drehstromsstems auf er anern Mastseite nicht berücksichtigt. Dann ergibt sich am Ort er Messspule urch en Leiter, er vom Strom (in üblicher Weise in er kompleen Darstellung er Wechselgrößen) urchflossen ist, as Fel [Skript ET, Gleichung 9.5]: Messort b m L α L a m c m L n A H ( ) α H ( ) H ( ) Technische Universität Hamburg-Harburg, nstitut für Elektrische Energiessteme un Automation Prof. Dr.-ng. G. Ackermann, Eißenorfer Str. 8, 7 Hamburg

2 orlesung "Grunlagen er Elektrotechnik" Seite von 5 ( ) H a + b Für ie Überlagerung er Feler er rei Leiter ist eine Aufteilung in ie vertikale un horizontale Komponente nötig, also H ( ) H( ) cos( α) π H ( ) H( ) sin( α) (.) π + ( a b ) Sinngemäß wir für ie rei aneren Leiter verfahren. Das gesamte Fel ergibt sich aus er Aition er einzelnen Komponenten. Für as Drehstromsstem ist [ Skrip ET, Kap. 7.] + + Damit kann ie Summenformel vereinfacht weren, wie in er unten stehenen Tabelle argestellt ist. n er Messung soll nur ie horizontale Komponente gemessen weren. ertiefene Frage: Was kann (bei einem smmetrischen Drehstromsstem) über ie zeitliche Phasenlage zwischen en beien Felkomponeten gesagt weren un wie groß ist ie gesamte maimal vorkommene Felstärke? Was kann über ie ichtung ausgesagt weren? Leiter, Größe H H Summe Scheitelwert für Nennstrom Hˆ + π ( a b ) π ( a c) + a π a c + ( a + b ) n a π + + ( ) b n b + a c ( a b ) π ( a b ) Hˆ mit en gegebenen Zahlenwerten H ˆ 7,5 A/m ( B ˆ 9,4 T ) H ˆ 5,7 A/m (kein Zahlenreher!) (Zum ergleich: Das stationäre Magnetfel er Ere hat in Deutschlan eine Flussichte von B Ere 5 T.).. Spannung abhängig von Querschnitt un Winungszahl Nach em nuktionsgesetz ist für eine ünne Spule mit er Querschnittsfläche A un er Winungszahl n ie inuzierte Spannung [Skrip ET, Gleichung 9.8]: Mit u i () () ( A n ) ΦSpule, H t H t (.) t t H t Hˆ t () sin( ω ) folgt er Effektivwert [Skript ET, Kap. 5..5] er inuzierten Spannung Technische Universität Hamburg-Harburg, nstitut für Elektrische Energiessteme un Automation Prof. Dr.-ng. G. Ackermann, Eißenorfer Str. 8, 7 Hamburg

3 orlesung "Grunlagen er Elektrotechnik" Seite von 5 U ˆ ieff, ω H A n un bei 5 Hz un mit er oben ermittelten Felstärke folgt: U A n,9 (.) m ieff, Wollte man ohne erstärker auskommen, ann könnte man etwa eine Spule mit einem Durchmesser von,5 m un 46 Winungen bauen... Spule für eine erstärkerstufe Es wir ein üblicher Operationverstärker mit einer Leerlaufverstärkung von 5 angesetzt. Damit ie Leerlaufverstärkung hinreichen wenig Einfluss hat, muss ausreichen gegengekoppelt weren. Die erstärkung ergibt sich [Skript ET, Kap..]: + λ Ab etwa λ > ist ausreichen unabhängig von er Leerlaufverstärkung es Operationsverstärkers. Mit em Faktor als eserve kann mit einer erstärkerstufe somit maimal ie erstärkung 5 erreicht weren. Damit folgt aus Gleichung (.) A n 4,8 5 m A n,96 m was z. B. mit einer Spule von cm Durchmesser un Winungen zu erreichen wäre..4. Spule für zwei erstärkerstufen Man käme ann mit A n 5 Winungen.,9 m aus, also z. B. mit einer Spule mit cm Durchmesser un leiglich Anmerkung: Die sehr hohe erstärkung macht ie Anornung sehr empfinlich gegen Störungen..5. erstärker mit Tiefpassverhalten.5.. Alternative: Nicht-invertierener erstärker Mit zunehmener Frequenz muss ie Gegenkopplungsimpeanz abnehmen. Deshalb kommt z. B. ie argestellte Schaltung in Frage. Dafür ergibt sich ie erstärkung für sinusförmige Größen [Skript ET, Kap...6] + _ + C U U j C A + E ( + ω ) für ( + j ω C ) (.4) U E U A Die Messspule wir in ieser Schaltung nicht von einem Strom urchflossen, eshalb braucht ie nuktivität er Messspule nicht berücksichtigt zu weren: C.5.. Alternative: nvertierener erstärker Für ie argestellte Schaltung ergibt sich ie erstärkung für sinusförmige Größen [Skript ET, Kap...6] UA (.5) U + j ω C E ( ) Jetzt muss aber berücksichtigt weren, ass ie Messspule von L _ + U i U E U A Technische Universität Hamburg-Harburg, nstitut für Elektrische Energiessteme un Automation Prof. Dr.-ng. G. Ackermann, Eißenorfer Str. 8, 7 Hamburg

4 orlesung "Grunlagen er Elektrotechnik" Seite 4 von 5 einem Strom urchflossen wir. Die gesamte Spulenspannung setzt sich also aus er von em äußeren Fel inuzierten Spannung (Gleichung (.)) sowie er urch ie Selbstinuktivität verursachten Spannung zusammen: () ( ) H t i() t u A n + L t t Das führt auf as in er Skizze argestellte Ersatzschaltbil für ie Messspule. Bei er Berechnung er erstärkung ist eshalb in Gleichung (.5) formal er Wierstan urch ie eihenschaltung aus un L zu ersetzen, es ergibt sich also insgesamt: UA (.6) U + j ω L + j ω C i ( ) ( ) (Dies ist ein Tiefpass. Ornung, weil bei hohen Frequnzen ie erstärkung quaratisch mit er Frequenz abnimmt.) Es ist zu prüfen, ob L groß genug ist, amit es sich überhaupt nenneswert auswirkt..6. Grenzfrequenz für en erstärker.6.. Alternative: Nicht-invertierener erstärker Ziel ist es, hauptsächlich as urch en 5-Hz-Strom erzeugte Fel zu messen. Es kommen meist auch geringe Anteile mit 5 Hz, 5 Hz un höherer Frequenz vor. Deshalb wäre es vorteilhaft, wenn man bei f n 5 Hz fast ie maimale erstärkung un bei 5 Hz schon eine wesentlich reuzierte erstärkung hätte. Setzt man z. B. in Gleichung (.) ω C,4 mit ω f ein, ann folgt aus Gleichung (.4) mit er Gleichstromverstärkung n n n G f ( 5 Hz) G G,98 +,4 f ( 5 Hz) G G,447, + 5,4 ( ) womit ie Beingung brauchbar erfüllt wäre. Es folgen somit ie Beingungen zur Bestimmung er Bauelemente:,4 C,7 ms π fn 5 Für sollte etwa gelten kω < < MΩ, um einerseits einen zu großen Strom vom Ausgang es erstärkers zu vermeien un anerseits auch zu vermeien, ass eine nicht-ieale solierung en Wierstanswert zu sehr beeinflusst. Für ie beien Grenzfälle sowie einen Fall für Werte azwischen erhält man folgene Dimensionierungen: Alternative a) Alternative b) Alternative c) kω kω MΩ Ω 4 Ω kω C 7 nf 6,4 nf,7 nf Alternative b) scheint plausibel mit eserve zu beien Grenzen zu sein. Technische Universität Hamburg-Harburg, nstitut für Elektrische Energiessteme un Automation Prof. Dr.-ng. G. Ackermann, Eißenorfer Str. 8, 7 Hamburg

5 orlesung "Grunlagen er Elektrotechnik" Seite 5 von Alternative: nvertierener erstärker Gegenüber em nicht-invertierenen erstärker ist hauptsächlich er Einfluss er nuktivität er Messspule zu untersuchen. Für einen Drahtring mit em Durchmesser a, un einem Drahturchmesser kann man er Literatur für ie Selbstinuktivität entnehmen: L a a ln Nimmt man statt er einen Winung n Winungen Draht, ann ist ie nuktivität mit n umzurechnen [Skript ET, Gleichung 9.]. Durch Betrachtung er Geometrie man kann mit kreisförmigen Leitern en aum nur zu etwa 9 % füllen - erhält man aus em Durchmessser D es isolierten Drahtes en Durchmesser es Drahtbünels (für nicht allzu kleines n:) D n,9 Somit folgt für ie Selbstinuktivität er Spule: L n a a ln Setzt man als Drahturchmesser, mm an un nimmt wie in Kapitel. vorgeschlagen einen Spulenurchmesser von cm un Winungen, ann ist:, mm, mm,9, m L, ln,5 mh Damit ergibt sich er Einfluss er Spuleninuktivität für Gleichung (.6) mit en in Kapitel.6. angegebenen Alternativen. Alternative a) Alternative b) Alternative c) kω kω MΩ Ω 4 Ω kω Der Term C 7 nf 6,4 nf,7 nf ω ν L/,5,8 -,5 - ( + j ω L) hat also im relevanten Frequenzbereich keinen praktischen Einfluss auf ie gesamte erstärkung. Technische Universität Hamburg-Harburg, nstitut für Elektrische Energiessteme un Automation Prof. Dr.-ng. G. Ackermann, Eißenorfer Str. 8, 7 Hamburg