Übungen zur Physik II PHY 121, FS 2018

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1 Übungen zur Physik II PHY 2, FS 208 Serie 0 Abgabe: Dienstag, 5. Mai 2 00 Quellenfrei = source-free Wirbel = curl, ey, vortex Verschiebungsstrom = isplacement current Eisenkern = iron/magnet core quellenfreies Fel = solenoial fiel Durchflutungsgesetz = Ampere s law Luftspalt = air/magnet gap Ringspule = toroial coil Allgemeine Fragen. Vergleiche ie Energie un ie Energieichte es elektrischen Feles un es Magnetfeles in einem Konensator, resp. in einer Spule. Elektrisches Fel (Konensator) Magnetisches Fel (Spule) Energie W el = 2 CV 2 W mag = 2 LI2 W el = 2 ε 0ε r AE 2 W mag = 2 µ 0µ r AlB 2 Energieichte w el = 2 ε 0ε r E 2 w mag = 2 µ 0µ r B 2 w el = 2D E w mag = 2H B Für lineare un homogene Materialien gelten ie folgenen Zusammenhänge zwischen elektrischer Flussiche D, elektrischer Felstärke E, magnetischer Flussichte B un magnetischer Felstärke H: D = ε 0 ε r E (0.) B = µ 0 µ r H (0.2) Zusätzlich gilt für en Zusammenhang zwischen elektrischer un magnetischer Felkonstante (c = Lichtgeschwinigkeit): ε 0 µ 0 = c 2. (0.3) 2. Diskutiere ie verschieenen Maxwell-Gleichungen un ihre verschieenen Schreibweisen. Die Maxwellgleichungen (0.4-0.) bilen zusammen mit en Materialgleichungen (0.2 un 0.3) ie Grunlage er klassischen Elektroynamik. Sie können sowohl in ifferentieller Form,

2 D = ρ (0.4) B = 0 (0.5) E = B t H = j + D t (0.6) (0.7) als auch in integraler Form argestellt weren (für eine zeitlich konstante Fläche A). V V A A D A = V ρ V = Q innen (0.8) B A = 0 (0.9) E s = H s = A B A t A (0.0) j A D + t A = I + I v (0.) Die erste Maxwellgleichung (0.4 un 0.8) entspricht em Gauß schen Gesetz für as elektrische Fel un besagt, ass ie Laungsichte ρ ie Quelle er elektrischen Flussichte ist, resp. er elektrische Fluss urch ie geschlossene Oberfläche A eines Volumens V gegeben ist urch ie eingeschlossene Laung Q innen. Die zweite Gleichung (0.5 un 0.9) entspricht em Gauß schen Gesetz für magnetische Feler: Die magnetische Flussichte B ist Quellenfrei,.h. es gibt keine magnetischen Monopole, bzw. er magnetische Fluss urch eine geschlossene Oberfläche A von V ist gleich Null. Die ritte Gleichung (0.6 un 0.0) entspricht em Faraay schen Inuktionsgesetz. Die zeitliche Änerung er magnetischen Flussichte B erzeugt Wirbel es elektrischen Feles E, resp. as Integral von E über en geschlossenen Ran A einer Fläche A (.h. ie inuzierte Spannung U in ) ist gleich er negativen Änerung es magnetischen Flusses urch A. Die vierte Gleichung (0.7 un 0.) entspricht em Ampère schen Gesetz erweitert mit em (Maxwell schen) Verschiebungsstrom un wir auch Durchflutungsgesetz genannt. Die Wirbel er magnetischen Felstärke H weren urch ie elektrische Stromichte j un ie zeitliche Änerung er elektrischen Flussichte D erzeugt, resp. as Umlaufintegral von H über en geschlossenen Ran A einer Fläche A ist gegeben urch ie Summe es elektrischen Stromes un er zeitlichen Änerung es elektrischen Flusses urch A. Die Änerung es elektrischen Flusses urch eine Fläche wir auch als Verschiebungsstrom I v bezeichnet. Die Materialgleichungen (0.2 un 0.3) beschreiben ie Zusammenhänge zwischen elektrischer Flussichte D, elektrischer Felstärke E un elektrischer Polarisation P, resp. magnetischer Flussichte B, magnetischer Felstärke H un Magnetisierung M. Die Ausrücke hinter en letzten Gleichheitszeichen gelten nur für lineare, zeitlich un räumlich homogene Materialien. A D = ε 0 E + P = ε0 ε r E (0.2) B = µ 0 ( H + M) = µ 0 µ r H (0.3) Abbilung illustriert ie Maxwell-Gleichungen im Vakuum. 2

3 Abbilung : Die Grafik illustriert ie Entstehung er E- un B-Feler im Vakuum, also für D = ε 0 E un H = B/µ 0. Oben links: Eine Laung q (Punkt in er Mitte) ist ie Quelle (oer auch Senke) es elektrischen Feles E. Oben rechts: Bewegte Laung (elektrischer Strom) erzeugt ein B-Fel. Unten links: Eine zeitliche Änerung es B-Feles erzeugt Wirbel im elektrischen Fel E. Unten rechts: Eine zeitliche Änerung es E-Feles erzeugt Wirbel im magnetischen Fel B. Die Grafik wure entnommen aus: Demtröer, Experimentalphysik 2, Betrachte einen Elektromagneten bestehen aus einer Ringspule in en rei Konfigurationen ohne un mit Eisenkern, un mit einem Eisenkern mit Spalt. Vergleiche ie magnetische Inuktion B er rei Konfigurationen. Wie veränert sich B ohne Eisenkern un mit Eisenkern mit Spalt? Ohne Eisenkern kann ie magnetische Felstärke über as Integral urch einen geschlossenen Weg in er Mitte er Ringspule berechnet weren. H s = H 0 = N I, (0.4) 3

4 wobei r er mittlere Raius er Ringspule ist, N ie Anzahl Winungen un I er Strom. Es gilt also Mit Eisenkern ohne Spalt gilt: H 0 = N I un (0.5) B 0 = µ 0 N I. (0.6) H s = H F e = N I, (0.7) un somit: H F e = N I un (0.8) B F e = µ rµ 0 N I. (0.9) Mit Spalt ist as Linienintegral gegeben urch H s = ( ) H F e + H Spalt = N I. (0.20) Zuem muss ie Normalkomponente von B beim Grenzübergang stetig sein,.h. B Spalt = B F e un somit H Spalt = µ r H F e. Es gilt also im Spalt µ r N I H Spalt = µ r H F e = un + (µ r ) (0.2) B Spalt = B F e = µ 0µ r N I + (µ r ). (0.22) Ist µ r genügen gross, so ass (µ r ) so gilt näherungsweise: B Spalt µ 0 N I. (0.23) Das Fel ist somit um en Faktor verstärkt im Vergleich zum Fel B 0 = µ0 N I ganz ohne Eisenkern. Aufgaben Inuktionsgesetz [3P] Eine leitene kreisförmige Schleife, ie aus einem Draht mit Durchmesser, elektrischer Leitfähigkeit σ, un Massenichte ρ hergestellt ist, fällt aus grosser Höhe h (in z-richtung) mit v(t = 0) = 0 in einem Magnetfel mit z-komponente B z = B 0 (+κz), wobei κ eine Konstante ist. Die Schleife mit Gesamturchmesser D soll währen es Falls parallel zur x y Ebene ausgerichtet sein. Finen Sie unter Vernachlässigung es Luftwierstanes ie Engeschwinigkeit er Schleife. 2 Gegenseitige Inuktion [3P] Eine rechteckige Leiterschleife (Länge a, Breite b) befinet sich im Abstan von einem Draht. Im Draht fliesse er Strom I (t) = k t. 4

5 (a) [0.25P] In welche Richtung zeigt as von I erzeugte B -Fel auf er Seite er Leiterschleife? x y b I (t) (c) [P] In welche Richtung fliesst er in er Leiterschleife inuzierte Strom I 2? Geben Sie in Worten eine Argumentation. [0.25P] In welche Richtung zeigt as von I 2 erzeugte B 2 -Fel? a () [.5P] Berechnen Sie en inuzierten Strom I 2 als Funktion er Konstanten k un en geometrischen Parametern a, b un. 3 Verschiebungsstrom [3P] (a) [2P] Zeigen Sie, ass as vom Verschiebungsstrom in einem (Platten-)Konensator hervorgerufene Magnetfel im Aussenraum es Konensators as gleiche ist, wie as um ie Zuleitung herum urch en Laestrom I erzeugte Magnetfel. [P] Zeigen Sie für en Fall von kreisrunen Konensatorplatten, ass as Magnetfel zwischen en Platten linear mit em Abstan vom Zentrum zunimmt, also B r. 4 Energiebilanz [3P] R S Gegeben sei ein Schaltkreis bestehen aus zwei Konensatoren mit gleicher Kapazität C = C 2 = C un einem ohmschen Wierstan R. C C 2 Zur Zeit t = 0 hat C ie Laung Q (t = 0) = Q 0 un C 2 ie Laung Q 2 (t = 0) = 0. Der Schalter S wir geschlossen. (a) [P] Berechnen Sie ie gesamte elektrostatische Energie zur Zeit t = 0 un t =. (c) [P] Berechnen Sie en Strom I als Funktion er Zeit t un stellen Sie as Resultat qualitativ grafisch ar. [P] Berechnen Sie ie gesamte im Wierstan prouzierte Wärme W = R 0 I 2 t. Stimmt ie Energiebilanz (vergleiche mit Punkt a)? 8. Mai 208 5