Exponentialgleichungen und Logarithmen

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1 . Exponentialgleichungen und Logarithmen. Logarithmen Ergänzung 3. Logarithmenregeln Seiten 4. Aufgaben Exponentialgleichungen 5. Didaktisches 6. Was sind Logarithmen? 7. Exponentialgleichungen Kurzfassung 8. Aufgaben Exponentialgleichungen 9. Überblick 0. Grafisches Wurzelziehen. Grafisches Multiplizieren. Exponentialgleichungen grafisch lösen

2 Exponentialgleichungen und Logarithmen. Löse die Gleichungen: a) x = 6 b) 3 4x = 9 Tipp: Exponentialgleichungen (die Variable x steht im Exponenten) lassen sich durch Zurückführen auf die gleiche Basis lösen.. Löse die Gleichung: 3 x =. Die Zahlen 3 und müssen zunächst mit einer gleichen Basis dargestellt werden, empfehlenswert ist 0. 3 = 0 0,477 und = 0 0,300 Die Exponenten von 0 werden mit dem Taschenrechner ermittelt, sie heißen Logarithmen. Sprechweise: Der Logarithmus von 3 ist 0,477. lg3 = 0,477 und lg = 0,300 Mit dieser Schreibweise kann die Rechnung zu 3 x = vereinfacht werden. Merke: Der Logarithmus von negativen Zahlen existiert nicht, da z.b. 0 x = 3 keine Lösung hat. Nützlich sind die Logarithmenregeln: a) lgab = lga+lgb b) lg a b = lga lgb c) lga n = n lga a, b > 0 Mit der Logarithmenregel c) können in der Rechnung zu 3 x = noch Zeilen eingespart werden. 3. Löse die Gleichungen: a) 4 x = b) 8 x = 5 x+ c) 6x+ = d) 3 7 x 3 = 6 e) 4 9 x = 6 x f) 3 4x = x. a) x = 6 x = 4 x = 4 Die Seiten der. Zeile stimmen nur überein, wenn beide Exponenten gleich sind. b) 3 4x = 9 3 4x = 3 4x = : 4 x =. 3 x = (0 0,477 ) x = 0 0,300 beachte: 0 0,477 x = 0 0,300 (a m ) n = a mn 0,477 x = 0,300 x = 0,300 0,477 x = 0, x = (0 lg3 ) x = 0 lg 0 lg3 x = 0 lg lg3 x = lg x = lg lg3 x = 0, x = lg x lg3 = lg x = lg lg3 x = 0, a) x =,797 b) 8 x = 5 x+ lg x lg8 = (x+) lg5 x lg8 = x lg5+lg5 x (lg8 lg5) = lg5 lg5 x = lg8 lg5 x = 3,443 c) x = 0,64 d) x =,930 e) x = 0,536 f) x = 0,968

3 Logarithmen Ergänzung Für Logarithmen wie z.b. lg6, d.h. der Lösung der Gleichung 0 x = 6, können Näherungswerte ohne wesentlichen Einsatz des Taschenrechners ermittelt werden. 0 x = 6 Es ist zu erkennen, dass gilt: < x <, da 0 = 0 und 0 = 00 ist. x beginnt daher mit,.... Um die nächste Ziffer y zu ermitteln, schreiben wir für x =,y... genauer x = + y y x = 6 y 0 y 0 = 6 = 6 : 0 =,6 ( ) 0 0 y = 09,95 Nun ist zu erkennen, dass gilt: < y < 3, da 0 = 00 und 0 3 = 000 ist. Insgesamt erhalten wir: x =,.... Finde auf diese Weise Näherungen für: a) lg660 b) lg c) lg Fleißige ermitteln Stellen (nach dem Komma).

4 Logarithmenregeln Für natürliche Zahlen ist 0 n 0 m = 0 n+m z.b = offensichtlich. Nicht offensichtlich ist die Gültigkeit, falls n und m reelle Zahlen sind. Sie folgt jedoch aus einer Eigenschaft einer von Leonhard Euler ( ) gefundenen Berechnungsformel für Potenzen. Zu ihrer Begründung sind Elemente der höheren Mathematik erforderlich, über die wir hier noch nicht verfügen. Betrachten wir ein Zahlen-Beispiel: 0 } 0,3003 {{} 00,477 }{{} = } 00,7785 {{} 3 6 oder in anderer Schreibweise: 0 }{{} lg }{{} 0lg3 = }{{} 0lg6 3 6 Es gilt hier: 0, ,477 = 0,7785 oder lg+lg3 = lg6 und allgemein ist lga+lgb = lgab. Wir erkennen, dass diese Logarithmenregel eine Beziehung zwischen Exponenten ist, die 0 n 0 m = 0 n+m auf reelle Zahlen verallgemeinert.. Veranschauliche an Zahlen-Beispielen die Beziehungen a) lg a b = lga lgb b) lga n = n lga a, b > 0. Löse die Exponentialgleichung: 4 3 x = 7 Die Anwendung der Logarithmenregeln zur Lösung der Gleichung (das Logarithmieren also) bedeutet, dass die Beziehung zwischen den Exponenten aufgeschrieben wird. Tipp: Schreibe statt lg 3 x stets x lg 3. Die Übersichtlichkeit wird erhöht, wenn die Faktoren vor dem Logarithmus stehen. Lösung: x =0,55 3

5 Logarithmenregeln Offensichtlich ist 0 n 0 m = 0 n+m z.b = Betrachten wir 3 = 6 in Potenzschreibweise: 0 } 0,3003 {{} 00,477 }{{} = } 00,7785 {{} 3 6 oder kürzer: 0 }{{} lg }{{} 0lg3 = }{{} 0lg6 3 6 Für die Exponenten, Logarithmen genannt, gilt: 0, ,477 = 0,7785 oder lg+lg3 = lg6 Allgemein: lga+lgb = lg(ab) Wir erkennen, dass diese Logarithmenregel eine Beziehung zwischen Exponenten ist. Der Übergang von 3 = 6 lg zu den Exponenten 0, ,477 = 0,7785 oder besser lg+lg3 = lg6 heißt logarithmieren. Weitere Logarithmenregeln, die sich aus dem Rechnen mit Potenzen ergeben: lg a b = lga lgb lga n = n lga a, b > 0 Löse die Exponentialgleichungen: Tipp: Schreibe statt lg 3 x stets x lg 3. Die Übersichtlichkeit wird erhöht, wenn die Faktoren vor dem Logarithmus stehen.. 5 x = x = x = 5 x x = 3 x 4

6 . 5 x = 00,86. 3 x = 0, x = 5 x, x = 3 x 0,437 5

7 Didaktisches Exponentialgleichungen können auch durch Anwenden der Potenzgesetze umgeformt werden. 5 4x = 8 3 x+ 5 4x = 8 3 x 3 (5 4 ) x = 4 (3 ) x ( 54 3 )x = 4 a x = b x = lgb lga x = 0,749 Hierbei ist es nicht erforderlich, den Exponenten x als Logarithmus von b zur Basis a zu benennen. Das erforderliche Vorwissen beschränkt sich auf: 0 x = b x = lgb a x = b (0 lga ) x = b 0 xlga = 0 lgb oder direkt: 0 xlga = b xlga = lgb x = lgb lga xlga = lgb x = lgb lga Die in Schulbüchern zu findenden Aufgaben wie: Bestimme a) log 4 0,065; log a 3 a ; usw. erscheinen mir gänzlich überflüssig. Die hierfür benötigte Zeit sollte mit Sinnvollerem zugebracht werden. Im KC Ni 05 wird das Lösen dieser Aufgaben jedoch verlangt. 6

8 Was sind Logarithmen? Wir betrachten den Bereich positiver Zahlen R > Jede positive Zahl kann als Potenz von (von 0) dargestellt werden. Einige Exponenten sind ohne Mühe zu ermitteln ,6439 0,39 3,39 4 7,39 9, , , , ,04 0, Als Basis wäre jede andere positive Zahl geeignet. Die Exponenten heißen Logarithmen zur jeweiligen Basis. Eine Multiplikation kann durch Addition der Exponenten ausgeführt werden. Die Logarithmenregeln ergeben sich unmittelbar aus den Potenzgesetzen. 0 } 0,300 {{} 00,6990 }{{} = 0 5 oder in anderer Schreibweise: }{{} 0 lg }{{} 0lg5 = } 0lg0 {{} 5 0 Es gilt hier: 0,300+0,6990 = oder lg( 5) = lg+lg5 und allgemein: lgab = lga+lgb Beachte auf der linken Seite das Produkt ab, für eine Summe a+b gibt es keine Regel. Der Übergang zu den Exponenten heißt logarithmieren. Ermittle begründet lg. 7

9 Exponentialgleichungen Kurzfassung Vorüberlegung 3 4x = 9 3 4x = 3 4x = : 4 x = oder 3 4x = 9 (3 ) x = 9 9 x = 9 x = x = Idee für das Lösen von Exponentialgleichungen: Beide Seiten sind mit derselben Basis darzustellen. 4 x = 00 0 lg4 =4, lg4 = 0,60 heißt Logarithmus (0 lg4 ) x = 0 0 x lg4 = 0 x lg4 = x = lg4 x = 3,3 3 x = 0 lg3 =3, 0 lg = (0 lg3 ) x = 0 lg 0 x lg3 = 0 lg x lg3 = lg x = lg lg3 x = 0,6309 Und allgemein: a x = b a, b > 0 x = lgb lga a) 5 x = 0, b) 4 x = 0 c) 3 x = 50 d) 4x = 60 e) 7 x = 6 x Tipp: Bringe die Gleichung auf die Form: a x = b 8

10 Exponentialgleichungen a) 5 x = 0, x =,43 b) 4 x = 0 x =,6 c) 3 x = 50 x = 3,56 d) 4x = 60 x =,477 e) 7 x = 6 x Tipp: Bringe die Gleichung auf die Form: a x = b ( 7 6 )x = x = 6,0 9

11 Überblick a = b n x = 3 Potenzrechnung 8 = x 3 Wurzelrechnung 8 = x Logarithmenrechnung y 5 y = 0 x 4 3 x = 0 y y = lgx x

12 Grafisches Wurzelziehen 8 y y = x =, x Um die Wurzel aus einer Zahl zu ziehen, wird ihr Exponent (Logarithmus) halbiert. 8 = 3 8 = ( 3 ) 5 =,3 5 = (,3 ) = 3 =,88 =,6 =,36

13 Grafisches Multiplizieren 8 y y = x 7 6 a b = 5, b =,84 3 a =,493, x Bei der Multiplikation werden die Exponenten addiert. =,84 =,493,84 = +,493 =,493 = 5,69,845 = 0,884 3,338 =,739,845 3,338 = 0,884+,739 =,63 = 6,59

14 Exponentialgleichungen grafisch lösen 8 y y = x , x Hier werden Exponenten dividiert. 3 x = 8 3 =,585 8 = 3 (,585 ) x = 3 5 x = 7 5 =,3 7 =,807 (,3 ) x =,807,585 x = 3 x =,893,3 x =,807 x =,09 3