= 4 = x + 3. y(x) = x

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Til Beltz
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1 Ü Aufgabenblatt Inhalt Brüche. Gleichungen. Summen. Potenzen. Logarithmen. Ebener Winkel (Definition und Einheiten). Trigonometrische Funktionen. Basisgrößen und Basiseinheiten des SI. Bequemes Rechnen mit physikalischen Größen. Fall einer Kugel in einer zähen Flüssigkeit. Aufgabe : Rechnen mit Brüchen Wiederholen Sie einleitend: das Erweitern und Kürzen von Brüchen: mit 5 erweitert, ist: 8 die Addition und Subtraktion von Brüchen: = + = 5 5 = = die Multiplikation und Division von Brüchen: 4 = 4 : = und bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben: = = = 7 Aufgabe : Umformen von Gleichungen gekürzt, ist: Als Gleichung wird die Aussage bezeichnet, dass zwei Ausdrücke gleich sind, bzw. die Forderung, dass zwei Ausdrücke gleich sein sollen. Es wird unterschieden zwischen: Bestimmungsgleichungen, z.b. Funktionsgleichungen, z.b. Identische Gleichungen oder Identitäten, z.b. 4 = x + y(x) = x Gleichungen lassen sich durch beliebige Operationen (z.b. durch Addieren, durch Dividieren, durch Logarithmieren oder durch Differenzieren) umformen, sofern diese Operationen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens angewendet werden. =

2 Lösen Sie nun folgende Gleichungen nach der Variable x auf: ax + c = c x a + b = c a x + b = c a x = b + c a b x = c Lösen Sie die folgende Gleichung nach b auf: a + b = f b = Mit den Bedeutungen a Gegenstandsweite, b Bildweite und f der Brennweite wird diese Beziehung Abbildungsgleichung genannt. Die Brennweite f ist dabei eine für das abbildende System (z.b. Spiegel, Linse) charakteristische Länge. Wo liegt das von einem abbildenden System entworfene Bild, wenn der Gegenstand in den folgenden Entfernungen aufgestellt wird: Lösen Sie die folgende Gleichung nach l auf: l T = π g l = a f f,5f f 0,5f b Diese Beziehung gibt die Schwingungsdauer T eines Fadenpendels an. Dabei bedeutet l die Fadenlänge und g die Fallbeschleunigung. Welche Länge hat ein Fadenpendel, für das T, s gemessen wird? Aufgabe : Summen Zur verkürzten Schreibweise von Summen wird der griechische Buchstabe Sigma Σ verwendet, z.b.: l b + b + + b n = Gelesen wird das wie folgt: Summe über b i von i = bis n. i wird hier Summationsindex genannt. Berechnen Sie die folgenden Summen für den Fall, dass n ganzzahlig ist: 6 n = i= 4 n = i= 5 i= n = n i= b i

3 Aufgabe 4: Rechnen mit Potenzen Ein Ausdruck der Form a n wird als Potenz bezeichnet, wobei a die Basis und n der Exponent genannt wird. Seien n und m natürliche Zahlen und a beliebig, dann gilt: a n = a a... a }{{} n Faktoren z.b. = = 8 a n = a a... a }{{} n Faktoren z.b. = = 8 a n /m = m a n z.b. / = = 8 Beim Rechnen mit Potenzen müssen die Potenzgesetze beachtet werden:. Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis:. Division von Potenzen mit gleicher Basis:. Potenzierung von Potenzen: a n a m = a n+m a n a m = an m = a a = a a = a = a 0 (a n ) m = a n m und (a m b) n = a m n b n Potenzgesetze zur Vereinfachung von Addition und Subtraktion von Potenzen gibt es nicht. 0 er Potenzen sind besonders wichtig bei der Darstellung von sehr großen bzw. sehr kleinen Zahlen, z.b.: = = 0 6 =, 0 7 bzw. 0, = Bringen Sie die folgenden Potenzen in die Form a 0 n = 0 8 = 0 8 =, 0 7 Beispiel: 0, 5 0, , 0 = = = 0 4 = =, , , = 000 0, = 0, 000 = 0, 5 Aufgabe 5: Rechnen mit Logarithmen Ein Ausdruck der Form log a b wird als Logarithmus b zur Basis a gelesen. Es stellt den Exponenten dar, mit dem a potenziert b ergibt: a n a m = log a b = n z.b. n = 8 log 8 = n = Hieraus folgt auch a = a log a a = oder a log a n = n. Außerdem lassen sich mit der Definition des Logarithmus aus den Potenzgesetzen Logarithmusgesetze ableiten:. log a (x y) = log a x + log a y ( ) x ( x ). log a = log y a x log a y log a = log a = log x a x log a x = 0. log a (x m ) = m log a x

4 Die Logarithmen zur Basis 0, zur Basis und zur natürlichen Basis e besitzen eigene Symbole: Berechnen Sie log 0 x lg x log x ld x log e x ln x log a = log a a = log a a = log a a = log 0 0 = log 0 = log 0 0 = log 0 0 = lg 0, 0 = lg 0,5 = ln e = ln e 0, = ld 8 = ld 0, 5 = Aufgabe 6: Winkel im Bogenmaß Wie lautet der Zusammenhang zwischen den Winkeln ϕ in grad und demselben Winkel ϕ in rad? Vervollständigen Sie die folgenden Tabellen: ϕ = ϕ ϕ / grad ϕ / rad ϕ / grad ϕ / rad 90 π 0 π/4 5, Gegeben sei der Winkel ϕ = 45 in einem Kreis mit dem Radius r = 78 cm, berechnen Sie die zugehörige Kreisbogenlänge s. Vervollständigen Sie das Feld unten: s = sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = cot ϕ = AK ϕ. HY GK ϕ 0 π/ π π/ π sin ϕ Einheitskreis ϕ sinϕ cosϕ cos ϕ 4

5 Skizzieren Sie y = sin ϕ im Bereich von 0 bis π. y ϕ Aufgabe 7: SI Einheitensystem Man gebe die Basisgrößen und Basiseinheiten des Internationalen Einheitensystems (SI) an: Basisgröße Basiseinheit Länge Aufgabe 8: Kugelfallviskosimeter I Schwierige Rechnungen mit physikalischen Größen lassen sich am bequemsten nach dem Folgenden Schema ausführen: ) Umrechnen der Einheiten der vorgegebenen Größen in SI-Einheiten. ) Größengleichung nach der zu berechnenden Größe auflösen. ) In diese Formel für die Bekannten Größen die gegebenen Werte (Zahl mal Einheit) einsetzen. 4) Zerlegung der eingesetzen Werte in die drei Faktoren (Bruchstriche): Einerzahl, Zehnerpotenz, Einheiten 5) Zusammenfassung der Einerzahlen, der Zehnerpotenzen und der Einheiten in der Form GRÖSSE ist gleich EINERZAHL mal ZEHNERPOTENZ mal EINHEIT. 5

6 Dazu die folgende Aufgabe: Mit einem Kugelfallviskosimeter soll die Zähigkeit η einer Flüssigkeit (Dichte ρ f =, 6 g/cm ) bestimmt werden. Es werden Stahlkugeln (Dichte ρ k = 7, 7 g/cm ) von mm Durchmesser verwendet. Die beobachtete Sinkgeschwindigkeit v beträgt 5,9 cm/s. Während die Kugel mit konstanter Geschwindigkeit fällt, befindet sie sich im Kräftegleichgewicht Reibungskraft gleich Gewichtskraft minus Auftriebskraft: ( ρ k ρ f ) g 4 π r = 6 π η r v η = wobei r der Kugelradius und g die Erdbeschleunigung ist. Aufgabe 9: Kugelfallviskosimeter II Eine Kugel befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 ruhend in einer zähen Flüssigkeit und fällt darin für t > 0. Stellen Sie für diese Bewegung qualitativ richtig dar: die Geschwindigkeit v (t), die Beschleunigung a (t) und den zurückgelegten Weg s (t). s(t) v(t) t a(t) t t 6

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