Skript zur Verwendung von Übungszwecken. Aufgabensammlung zum Propädeutikum Mathematik. WiSe 2017/18

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1 Skript zur Verwendung von Übungszwecken Aufgabensammlung zum Propädeutikum Mathematik für die Studiengänge Maschinenbau (-MB), Ingenieurwissenschaften (-IngWiss), Wirtschaftsingenieurwesen (-WiIng) und Augenoptik/Optische Gerätetechnik (-AOG) WiSe 207/8 Josef Esser, Dr. rer. nat. Technische Hochschule Brandenburg Fachbereich Technik

2 Elementare algebraische Umformungen Aufgabe : Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke ohne Benutzung des Taschenrechners. a) % von 25, 00 Aufgabe 2: a) Stellen Sie 7 8 als Dezimalzahl dar. Stellen Sie 0, 8 als Bruch dar. Aufgabe 3: Bringen Sie die folgenden Ausdrücke auf den Hauptnenner. 2 a) x a x + a 3 x b + b x b x Aufgabe 4: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. a) 2a 3b a b + b a + a b 5a + 2b b a 3a + 3b a b c) 2 3 ab2 c a2 b 3 c 5 6 a3 bc 2 d) (a 3 (b a) 2 Aufgabe 5: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. (a, b 0) a) a 6 a b 0 4 b 2 a a a Aufgabe 6: Geben Sie die folgenden Winkel im Bogenmaß bzw. Gradmaß an. a) π

3 2 Arbeitsblatt: Rechnen mit Brüchen Die Gleichung 4x 7 hat in der Menge der ganzen Zahlen Z {..., 3, 2,, 0,, 2, 3,...} keine Lösung. Daher erweitert man die Menge der ganzen Zahlen Z um ihre inversen Elemente der Multiplikation zur Menge der rationalen Zahlen. Q { m n m Z, n N, n 0} Zu jedem n Z \ {0} führt man den Kehrwert n n mit der Eigenschaft n n n n ein. Sprich das inverse Element der Multiplikation. Die Lösung der Gleichung 4x 7 ist nun x 7 4. In der Menge der rationalen Zahlen ist jede Divisionsaufgabe mit Ausnahme der Division durch 0 lösbar. Einige Regeln für das Rechnen in der Menge der rationalen Zahlen Q sind. Das neutrale Element bzgl. der Addition ist die Zahl 0 mit a a a für alle a N. (Nullelement) 2. Das neutrale Element bzgl. der Multiplikation ist die Zahl mit a a a für alle a Q. (Einselement) 3. Für diese Rechenoperationen gelten jeweils das Kommutativ- und das Assoziativgesetz sowie das Distributivgesetz: a + b b + a und a + (b + c) (a + + c a b b a und a (b c) (a c a (b + c) a b + a c Beispiel: Wir bringen unter Verwendung des Einselements und des Distributivgesetzes zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. a b + c d a b d d + c d b b bd (ad + c ad + cb bd Beispiel: Wir verwandeln x 0, 2 in einen gewöhnlichen Bruch. 00 x 2, 2 x 0, 2 99 x 2 x

4 3 Arbeitsblatt: Rechnen mit Potenzen Die Potenz a n ist gegeben durch die Basis a und durch den Exponenten n. Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten (Hochzahlen) addiert und die Basis beibehält. Beispiel a m a n a m+n Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten (Hochzahlen) subtrahiert und die Basis beibehält. Beispiel a m a n am n Sinnvolle Festlegungen sind a 0, a a und a n a n mit a 0. Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert bzw. dividiert, indem man das Produkt bzw den Quotienten der Basen bildet und mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. Beispiel a n b n (a n (2 3) 3 26 a n b n (a b )n b (6 3 ) Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. Beispiel (a n ) m a m n (3 2 ) Die Potenzgesetze gelten auch für Exponenten (Hochzahlen) aus der Menge Q. n a m a m n a 0

5 4 Elementare algebraische Umformungen Aufgabe 7: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke zu einem gewöhnlichen Bruch. a) c) 0, 2345 Aufgabe 8: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe der Logarithmenregeln. a) ln 2 ln 4 ln(e 3 2 x ) c) lg 0 d) ln b a ln a b Aufgabe 9: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. a) +sin x sin x cos x ( sin x) ( + sin x)( cos x) ( sin x) (x2 + ) 2 2x x + x 2 + c) a2 + 8 a 2 4 a + a 2 + a a + 2

6 5 Abkürzende Schreibweisen Aufgabe 0: Berechnen Sie. a) 4 k k 2 0 k k c) 6 k k 2 d) 6! Aufgabe : Überprüfen Sie die folgenden Aussagen für n, 2, 3, 4. a) n k k 2 n(n + ) n k k 2 6 n(n + )(2n + ) Aufgabe 2: Schreiben Sie unter Benutzung des Summenzeichens folgende Summen um. a) (2n )

7 6 Arbeitsblatt: Rechnen mit Logarithmen Was ist ein Logarithmus? am Beispiel der Gleichungen 2 n 8 0 n (Gedankenexperiment: Falten eines DIN A4-Blattes in der Übung.) Die Logarithmusdefinition: Die Potenz a n b lässt sich umstellen zu n log a b mit a, a, b > 0 sprich n ist der Logarithmus von b zur Basis a. Also: Der Logarithmus einer Zahl b zur Basis a ist die Zahl n, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten. Der Logarithmus eines Produkts x y zur Basis a erhält man, indem die einzelnen Logarithmen addiert werden und die Basis beibehalten wird a, a, x, y > 0. log a (x y) log a x + log a y Der Logarithmus eines Quotienten x y zur Basis a erhält man, indem die einzelnen Logarithmen subtrahiert werden und die Basis beibehalten wird a, a, x, y > 0. log a ( x y ) log a x log a y Der Logarithmus einer Potenz x y zur Basis a erhält man, indem der Logarithmus mit dem Exponenten multipliziert und die Basis beibehalten wird a, a, x, y > 0. log a (x y ) y log a x Insbesondere sind log a a log a 0 log 0 x lg x dekadischer Logarithmus zur Basis 0 log e x ln x natürlicher Logarithmus zur Basis e 2, 7828

8 7 Elementare algebraische Umformungen Aufgabe 3: Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke ohne Benutzung des Taschenrechners. a) c) d) 0, 39 Aufgabe 4: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. a) (25 ) 2 (2 3 ) 4 (2 7 ) 2 3 ln 2 2 ln 3 ln 4 Aufgabe 5: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. a) x2 (x+) 2 (x + ) x (x + ) 2 c) +y y y +y +y y + y +y x 2 y 2 (x y)x + x2 y 2 (x + y)x Abkürzende Schreibweisen Aufgabe 6: Berechnen Sie die folgenden Summen. 8 + ( ) k a) 2 k0 c) 9 ( k + k + 2 ) k0 n ( k + k + 2 ) k0

9 8 Aufgabe 7: Schreiben Sie unter Benutzung des Summenzeichens folgende Summen um. a) n 2 n Gleichungen mit einer Unbekannten Aufgabe 8: Lösen Sie nach x auf und geben Sie den Gültigkeitsbereich an. a) 20x + 2 6x + 6 6x 4 2x + 2 x a + b c) 0, mm 2 x 3, 5 m Elementare algebraische Umformungen Aufgabe 9: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe der Logarithmenregeln. a) log a (x + ) + log a (2x + 2) log a (x 2 ) 2 ln(a2 ab + b 2 ) + 2 ln(a + Aufgabe 20: Machen Sie bei den folgenden Ausdrücken den Nenner rational. a) c) a a d) 6 5 3

10 9 Abkürzende Schreibweisen Aufgabe 2: Überprüfen Sie die folgenden Aussagen für n, 2, 3, 4. n k k(k + ) n + Aufgabe 22: Berechnen Sie die folgenden Binomialkoeffizienten. ( ) 7 a) für k 0,,..., 7 k c) d) e) f) ( ) ( ) n 0 ( ) n n ( ) n ( ) n n Gleichungen mit einer Unbekannten Aufgabe 23: Lösen Sie nach x auf und geben Sie den Gültigkeitsbereich an. a) x 2 + 5x x x 2 c) 2 ln x ln 4 d) 2 x+ 0, 5 3

11 0 Aufgabe 24: Lösen Sie die folgenden Gleichungen und überprüfen Sie jeweils ihr Ergebnis mithilfe des Wurzelsatzes von Vieta. a) x 2 + 3x 8 0 6x x c) a 2 x 2 (a x)(b x) d) 5x 2 + 0x 0 e) x 2 4x Abkürzende Schreibweisen Aufgabe 25: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. a) xn+ (n + )! x n n! 3 2(n+) (2(n+))! 3 2n (2n)! Gleichungen mit einer Unbekannten Aufgabe 26: Lösen Sie nach x auf und geben Sie den Gültigkeitsbereich an. a) 35x+5 4 8x x c) ax+ ax a+b a b

12 Aufgabe 27: Worin besteht der Fehler? Überlegen Sie, welche Umformungen gemacht wurden. x + 9 2x 30 3 x 7 23 x <> 2x + 30 x 7 2x x <> 2x 30 7 x 2x x <> 7 x 23 x <> 7 x 23 x <> 7 23 Aufgabe 28: Ein Onkel ist 40 Jahre alt und sein Neffe ist 5 Jahre alt. In wie viel Jahren ist der Onkel doppelt so alt wie sein Neffe? Elementare Umformungen und Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen Aufgabe 29: Skizzieren Sie das rechtwinklige Dreieck (γ 90 0 ) mit den Seiten a 3 cm und b 4 cm. Bestimmen Sie die folgenden Größen: a) den Winkel α den Winkel β c) die Seitenlänge c d) sin 2 α + cos 2 α Aufgabe 30: Skizzieren Sie das rechtwinklige Dreieck (γ 90 0 ) mit den Seiten c und dem Winkel β 30 0 in einem Einheitskreis dargestellt in einem x, y Diagramm. Bestimmen Sie die folgenden Größen: a) cos β sin β c) tan β d) a 2 + b 2

13 2 Gleichungen mit einer Unbekannten Aufgabe 3: Lösen Sie nach den angegebenen Größen auf. nu a) I nr i + R a n, R a u v (m m 2 ) + 2m 2 v 2 m + m 2 m, v 2 c) J n i m i r 2 i m, m n d) R R + R 2 R, R Aufgabe 32: Eine Strecke der Länge l soll so in zwei Teile (der Längen x und l x) geteilt werden, dass sich die Länge der Gesamtstrecke zur Länge des größeren Teils x genauso verhält wie x zur Länge des kleineren Teiles l x. Wie ist x zu wählen und welchen Wert hat dann das Verhältnis l x? Aufgabe 33: Lösen Sie die folgenden Gleichungen und geben Sie den Gültigkeitsbereich an. a) 4 + lg 3 x 7 lg 3 x ex e x 2 y c) ex e x e x + e x y Ungleichungen Aufgabe 34: Lösen Sie die folgenden Ungleichungen und skizzieren Sie die Lösungsmenge. a) x + 2 < 2x 3 3x + 3 < 5 x und x + > 0 c) x 3 d) 2y + 3 < 6x + 5

14 3 Vermischte Aufgaben Aufgabe 35: Wie lautet die Gleichung des Kreises mit den folgenden Eigenschaften? a) Der Kreis geht durch den Punkt P ( ) und hat den Mittelpunkt M( 2 3). Beschreiben Sie den Kreis aus a) mithilfe von trigonometrischen Funktionen. Aufgabe 36: Ein Drachen wird an einer Schnur von 00 m Länge unter einem Winkel von 60 0 zur Horizontalen gehalten. Wie hoch steht der Drachen? Gleichungen mit einer Unbekannten Aufgabe 37: Lösen Sie die folgenden Gleichungen und geben Sie den Gültigkeitsbereich an. a) 24x + 3 2x 3 x c) x + 4 x + 2 Aufgabe 38: Worin besteht der Unterschied zwischen den gegebenen Gleichungen? a) x x und x(x 5) (2 + x)x x x und (x )(x + 4) (0 x)(x ) c) 2x + 6 x und 2x + 6 x + 2 x x + 2 Aufgabe 39: Lösen Sie die folgenden Gleichungen und geben Sie den Gültigkeitsbereich an. a) 2 lg x lg 4 2 log a x log a 4 c) lg x 6 lg x 3 + 6

15 4 Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Aufgabe 40: Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme und interpretieren Sie die Gleichungen grafisch. a) 2x + y 3 3x 2y x 7 3y 2 5 2x + y 7 x + 2y Aufgabe 4: Vor zwei Jahren war ein Vater dreimal so alt wie sein Sohn. In 5 Jahren wird er nur noch doppelt so alt sein. Wie alt sind zur Zeit Vater und Sohn? Vermischte Aufgaben Aufgabe 42: Um den Äquator der Erde (Erde ist als Kugel idealisiert) wird ein Reifen, der m zu lang ist, gelegt. Wie weit steht der Reifen ab? Noch ein ähnliches Problem: Ein Reifrock der Prinzessin vergrößert ihren Hüftumfang um m. Wie weit steht der Reifrock von der Hüfte ab? Gleichungen mit einer Unbekannten Aufgabe 43: Lösen Sie die folgenden Gleichungen und geben Sie den Gültigkeitsbereich an. a) 3 2x x x 2x c) + x x 3 Ungleichungen Aufgabe 44: Lösen Sie die folgenden Ungleichungen und skizzieren Sie die Lösungsmenge. a) x + 3 < 3x 4 x x + > 2 c) 2 5 x + 3 y 5 3 x 5 y + 5

16 5 Vermischte Aufgaben Aufgabe 45: Wie lauten die Gleichungen von Kreisen mit den folgenden Eigenschaften? a) Der Kreis berührt im Punkt P (5 0) die x-achse und hat den Radius r 2. Der Kreis geht durch die Punkte P ( 3 3) und P 2 ( 5) und hat den Radius r 5. c) Der Kreis geht durch die Punkte P (5 3) und P 2 ( ) und berührt die y-achse. Elementare Umformungen und Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen Aufgabe 46: Skizzieren Sie das Dreieck mit den Seiten a 8 cm und c 25 cm, und dem Winkel β Bestimmen Sie die folgenden Größen: a) die Seitenlänge b den Winkel α c) den Winkel γ d) den Flächeninhalt F Aufgabe 47: Berechnen Sie ohne Benutzung des Taschenrechners. a) cos(600 0 ) sin( 67 π 6 ) c) tan( 50 0 ) Elementare algebraische Umformungen Aufgabe 48: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. a) 36x2 y 48xy 2 4(x + y) + 45x2 y + 60xy 2 5(x + y) ax+bx (c + d) a+b + ax bx (c + d) a b

17 6 Elementare algebraische Umformungen Aufgabe 49: Formen Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe der Logarithmenregeln um. a) ln(5p 2 q 3 ) ln( 3 b 2 3c ) c) ln( ab a + b ) Aufgabe 50: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. (v 0) a) (ax + ay)n+ b n (abx + aby) n 2v 2 v 4v 2 (v 2) 2 Aufgabe 5: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. 3 a) 27 e a π 4 c) 4 6 e a4π 3 8 e a π 2 e a π 3 Gleichungen mit einer Unbekannten Aufgabe 52: Lösen Sie die folgenden Gleichungen. a) 2 e 2, t 0 e t 0,3 c) 0, 542, 03 e h 7.99

18 7 Aufgabe 53: Wird ein Kondensator mit der Kapazität C über einen ohmschen Widerstand R entladen, so nimmt seine Ladung q exponentiell mit der Zeit t nach der Gleichung q(t) q 0 e t R C ab. Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, von dem an die Kondensatorladung unter 0 % ihres Anfangswertes gesunken ist (Zeitkonstante R C 0, 3 ms). Aufgabe 54: Bestimmen Sie aus der barometrischen Höhenformel p(h), 03 bar e 7.99 m den Luftdruck in den Höhen h.000 m und h m. Elementare algebraische Umformungen h Aufgabe 55: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe der Logarithmenregeln. a) ln x 2 + ln x ln x ln c ln b ln 3 c) ln(7 e 2 7 x ) Aufgabe 56: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. (x, y > 0) a) a a 2 b 2 a + a 2 b 2 ( y 4 x 3 x 3 y 4 ) x 5 y 6 Aufgabe 57: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. a) ln( ax + ) + ln( ax ) 2 ln(ax ) c) ( ) 2

19 8 Gleichungen mit einer Unbekannten Aufgabe 58: Lösen Sie die folgenden Gleichungen. a) 0, 95 e 5 2,5 t 60 65, 57 e 0,087 t + 20 c) 5, 2 30 ( e t 0,5 ) Aufgabe 59: Lösen Sie nach den angegebenen Größen auf. a) v2 0 2a v 02 t 2 at2 nach t h + v 0 sin ϕ t 2 gt2 0 nach t Aufgabe 60: Lösen Sie nach den angegebenen Größen auf. a) m a + M a M g m g nach a m ω 2 (h + R E ) γ m M E (h + R E ) 2 nach h

20 9 Elementare algebraische Umformungen und Lösen von Gleichungen an Beispielaufgaben aus dem Bereich der komplexen Zahlen Aufgabe 6: Stellen Sie folgende komplexe Zahlen durch einen Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene dar. a) z + 3j z 2 2 4j c) z 3 j Aufgabe 62: Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen in Polarform an und bestimmen Sie jeweils die konjugiert komplexe Zahl. a) z 3 + 5j z 2 6 c) z 3 4j Aufgabe 63: Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der kartesischen Form an. a) z 3 e j 30 0 z 2 5(cos( 60 0 ) + j sin( 60 0 )) c) z 3 2 e j 3 2 π Aufgabe 64: Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke und geben Sie das Ergebnis in der kartesischen Form an. a) (3 2j)(4 + 2j) 3 2j + 3(j 8) 4 3j c) (2 4j) j j

21 20 Aufgabe 65: Führen Sie die folgenden Operation mit der komplexen Zahl z + 2j durch und stellen Sie das Ergebnis grafisch dar. a) j z z c) e j 30 0 z Aufgabe 66: Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen. a) z 3 j z 4 6 e j 60 0 c) z 5 3 4j Elementare algebraische Umformungen und Lösen von Gleichungen an Beispielaufgaben aus dem Bereich der Vektoralgebra Aufgabe 67: Normieren Sie die folgenden Vektoren. 2 a) a 4 b 3 e x 4 e y + 8 e z c) c Aufgabe 68: Bilden Sie mit den Vektoren a, b und c folgende Skalarprodukte. 3 a b 0 c

22 2 a) a b ( a 3 (4 c) c) ( a + ( a c) Aufgabe 69: Durch die Punkte A (; 4; 2), B (3; ; 0) und C ( ; ; 2) wird ein Dreieck festgelegt. Berechnen Sie die Länge der drei Seiten, die Innenwinkel im Dreieck sowie den Flächeninhalt. Aufgabe 70: Gegeben sind die Vektoren a, b und c. Berechnen Sie mit ihnen die folgenden Vektorprodukte. 2 0 a 4 b c a) a b ( a (3 c) c) ( a + 2 c) ( Aufgabe 7: Bestimmen Sie das Volumen des von den Vektoren a, b und c aufgespannten Spats. 3 a b 4 c Aufgabe 72: Zeigen Sie: Die Vektoren a, b und c liegen in einer gemeinsamen Ebene. 3 2 a 4 b 3 c

23 22 Lösungen Aufgabe : a) 9 3, 75 Aufgabe 2: a) 0, Aufgabe 3: a) x 2 +a 2 (x a)ax 3+x b xb Aufgabe 4: a) 4 b a c) 3 (abc)6 d) (a 5 Aufgabe 5: a) a + b 8 a 7 Aufgabe 6: a) 9 4π 35 0 Aufgabe 7: a) c) Aufgabe 8: a) ln x c) 2 d) 2 ln b a Aufgabe 9: a) 2 cos x x 2 + c) a 4 a+2 Aufgabe 0: a) c) d) 720 Aufgabe : a) n :, n 2 : 3 3, n 3 : 6 6, n 4 : 0 0 n :, n 2 : 5 5, n 3 : 4 4, n 4 : Aufgabe 2: a) 2n k3 (2k ) 6 k ( ) k+ k Aufgabe 3: a) 2 5 c) 7 d) 3 33 Aufgabe 4: a) 256 ln 2 9

24 23 Aufgabe 5: a) 2x+ y c) 2 Aufgabe 6: a) 5 0 c) n+ n+2 Aufgabe 7: a) n k k 2 k 7 k ( ) k+ k k Aufgabe 8: a) x 2, x x ab a+b, x, a, b 0, a b c) x 5, Aufgabe 9: 2(x+) a) log a x 2 ln(a3 + b 3 ) Aufgabe 20: a) c) 6+5 a 6a 9 4a d) 8( 5 + 3) Aufgabe 2: a) n : 2 2, n 2 : , n 3 : , n 4 : Aufgabe 22: a), 7, 2, 35, 35, 2, 7, c) d) e) n f) n Aufgabe 23: a) x 7, 2 x R keine Lösung, x 7 6 c) x 2, x > 0 d) x 4, x R Aufgabe 24: a) x 6, 3 x 3 4, 7 b a 4 c) x a, 2 d) x 0, 2 e) keine Lösung Aufgabe 25: a) x(n + ) 9 (2n+)(2n+2) Aufgabe 26: a) x 9, x 4 x 2, x 0, 3 2 c) x b, x a, a b, b Aufgabe 27: von 3 nach 4: Division mit (2x 30) verliert die einzige Lösung x 5 Aufgabe 28: in 0 Jahren

25 24 Aufgabe 29: a) 36, , 3 0 c) 5 cm d) Aufgabe 30: a) c) 3 3 d) Aufgabe 3: a) n I Ra U I R i, R a n(u I R i) I v m m +u 2v 2 2 u v, v 2 u (m +m 2 )+v (m 2 m ) 2m 2 c) m J n i2 m i r 2 i, m n J n i m i r 2 i d) R R R 2 R +R 2, R R R 2 R 2 R Aufgabe 32: a) x 5 l 2 l x 5+ 2, goldener Schnitt Aufgabe 33: a) x 00, x > 0 x ln(y + y 2 + ), x, y R c) x +y 2 ln( y ), x R, < y < Aufgabe 34: a) x > 5 < x < 3 c) x < 3 oder x 4 d) y < 3x + Aufgabe 35: a) (x + 2) 2 + (y 3) 2 25 x cos ϕ, y sin ϕ, 0 ϕ < 2π Aufgabe 36: h 86, 6 m Aufgabe 37: a) x, 2, x 24 x,, x R c) x 0, x 4 Aufgabe 38: in den Lösungen a) keine Lösung bzw x 0 x 3 bzw. x 3, c) x 2 bzw. keine Lösung Aufgabe 39: a) x 2, x > 0 x 2, x > 0 c) x 00, x > 0 Aufgabe 40: a) x 5, y 3 x, y 3

26 25 Aufgabe 4: S 9, V 53 Aufgabe 42: h 6 cm Aufgabe 43: a) x 5 2, x 2 x, x c) x 4, x 0, x Aufgabe 44: a) x > < x < c) y 8 x + 2 Aufgabe 45: a) (x 5) 2 + (y ± 2) 2 4 (x ) 2 + y 2 25 oder (x + 3) 2 + (y + 2) 2 25 c) (x 2, 5) 2 + (y 3) 2 6, 25 oder (x 5) 2 + (y + 2) 2 25 Aufgabe 46: a) b 29, 82 cm α 3, 44 0 c) γ 46, 56 0 d) F 86, 60 cm 2 Aufgabe 47: a) 0, 5 0, 5 c) 3 3 Aufgabe 48: a) 8x2 y x+y 2 x c + d Aufgabe 49: a) ln ln p + 3 ln q 2 3 ln b ln 3 ln c c) ln a + ln b ln(a + Aufgabe 50: a) a 2 b(x + y) 2 v 2 2 Aufgabe 5: a) 3e a π 2 2e aπ c) 2e 8 a Aufgabe 52: a) t 3, t 0, 69 c) h Aufgabe 53: t 0, 69 ms Aufgabe 54: p 0, 8938 bar, p 2 0, 548 bar

27 26 Aufgabe 55: a) 0 ln( 3 b 2 3c ) c) ln x Aufgabe 56: a) b x y x4 y 5 Aufgabe 57: a) ax+ 2 ln (ax ) 3 4 c) 2 Aufgabe 58: a) t, 498 t 75, 96 c) t 0, 3533 Aufgabe 59: a) t v 02 a ± v 2 02 a 2 v2 0 a 2 t v 0 sin ϕ g ± v 2 0 sin2 ϕ g 2 + 2h g Aufgabe 60: a) a (M m) M+m g Aufgabe 6: grafische Darstellung h 3 γ ME ω 2 R E Aufgabe 62: a) r 34, ϕ 20, 0, z 3 5j r 6, ϕ 80 0, z2 6 c) r 4, ϕ 90 0, z3 4j Aufgabe 63: a) z 2, 598 +, 5j z 2 2, 5 4, 330j c) z 3 2j Aufgabe 64: a) 6 2j 23, , 04j c) 2 8j Aufgabe 65: a) 2 + j, Drehung um j, Spiegelung an der x-achse c) 0, , 232j, Drehung um Aufgabe 66: a) r, ϕ 30 0, 50 0, r 2, ϕ 40 0, 30 0, 220 0, 30 0 c) r 5 5, ϕ 0, 63 0, 6, 37 0, 33, 37 0, 205, 37 0, 277, 37 0 Aufgabe 67: a) 2 a 89 b c) 3 c

28 27 Aufgabe 68: a) 288 c) 2 Aufgabe 69: AB 7, AC 29, BC 20, α 54, 6 0, β 77, 47 0, γ 48, 37 0, F 8 FE Aufgabe 70: a) (2, 4, 9) T (93, 9, 6) T c) ( 2, 26, ) T Aufgabe 7: 75 VE Aufgabe 72: Da V 0 VE.

29 28 FH Brandenburg - FB Technik Dr. Josef Esser esser@fh-brandenburg.de Propädeutikum Mathematik WS 204/5 Testaufgaben Aufgabe : Berechnen Sie den folgenden Ausdruck ohne Benutzung des Taschenrechners Aufgabe 2: Berechnen Sie ohne Benutzung des Taschenrechners. 5 % von 25, 00 Aufgabe 3: Lösen Sie folgende Gleichung nach x auf und berechnen Sie x. 20x + 2 3(2x + 2) 3(6x 4) x Aufgabe 4: Berechnen Sie den folgenden Ausdruck unter Verwendung von Potenzgesetzen. (2 5 ) 2 (2 3 ) 4 (2 7 ) 2 Aufgabe 5: Berechnen Sie den folgenden Ausdruck mit Hilfe der Logarithmenregeln. log 0 (00) log 0 ( 0 ) Aufgabe 6: Stellen Sie die folgende Gleichung nach R i um. U I R i + R a

30 29 R i Aufgabe 7: Geben Sie den folgenden Winkel im Gradmaß an. 9 4 π 0 Aufgabe 8: Berechnen Sie die folgende Summe. 4 k k 2 Viel Erfolg!

31 30 FH Brandenburg - FB Technik Dr. Josef Esser esser@fh-brandenburg.de Propädeutikum Mathematik WS 204/5 Testaufgaben Aufgabe : Berechnen Sie den folgenden Ausdruck ohne Benutzung des Taschenrechners Aufgabe 2: Berechnen Sie ohne Benutzung des Taschenrechners. 5 % von 25, 00 3,75 Aufgabe 3: Lösen Sie folgende Gleichung nach x auf und berechnen Sie x. 20x + 2 3(2x + 2) 3(6x 4) x 2 Aufgabe 4: Berechnen Sie den folgenden Ausdruck unter Verwendung von Potenzgesetzen. (2 5 ) 2 (2 3 ) 4 (2 7 ) Aufgabe 5: Berechnen Sie den folgenden Ausdruck mit Hilfe der Logarithmenregeln. log 0 (00) log 0 ( 0 ) 3 Aufgabe 6: Stellen Sie die folgende Gleichung nach R i um. U I R i + R a

32 3 R i U RaI I Aufgabe 7: Geben Sie den folgenden Winkel im Gradmaß an. 9 4 π Aufgabe 8: Berechnen Sie die folgende Summe. 4 k k 2 30 Viel Erfolg!

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34 TH Brandenburg - FB Technik Dr. Josef Esser esser@th-brandenburg.de Propädeutikum Mathematik WS 206/7 Mathe-Check Name, Vorname: Immatrikulations-Nr.: Studiengang: Punkte: Aufgabe : Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke ohne Benutzung des Taschenrechners. a) % von 25, 00 Aufgabe 2: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. a) 2a 3b a b 5a + 2b b a 3a + 3b + b a a b + a b c) 2 3 ab2 c a2 b 3 c 5 6 a3 bc 2 d) (a 3 (b a) 2 e) 9 a a 2 + b b 2 f) a a a Aufgabe 3: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe der Logarithmusregeln. a) ln 2 ln 4 ln(e 3 2 x ) Aufgabe 4: Lösen Sie nach x auf. a) 20x + 2 6x + 6 6x 4 2x + 2 x x a + b x c) x 2 + 5x 4 0 x d) 7 6x x 2 x e) 2 ln x ln 4 x f) 2 x+ 0, 5 3 x Aufgabe 5: Geben Sie die folgenden Winkel im Bogenmaß bzw. Gradmaß an. a) π Aufgabe 6: Berechnen Sie. a) 4 k k 2 5! Viel Erfolg!

35 FH Brandenburg - FB Technik Dr. Josef Esser esser@fh-brandenburg.de Propädeutikum Mathematik WS 204/5 Mathe-Check Name, Vorname: Immatrikulations-Nr.: Studiengang: Punkte: Aufgabe : Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke ohne Benutzung des Taschenrechners. a) Aufgabe 2: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. 5 % von 25, 00 3, 75 a) 2a 3b a b 5a + 2b b a 3a + 3b 4 + b a a b + a b b a c) 2 3 ab2 c 3 e) 9 a a2 b 3 c 4 6 a 2 + b a3 bc 2 3 (abc)6 d) (a 3 (b a) 2 (a b 2 a + b f) Aufgabe 3: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe der Logarithmusregeln. a) ln 2 ln 4 ln 3 ln(e 3 2 x ) 3 2 x a a a 8 a 7 Aufgabe 4: Lösen Sie nach x auf. a) 20x + 2 6x + 6 6x 4 2x + 2 x 2 x a + b x ab a + b c) x 2 + 5x 4 0 x 7; 2 d) 7 6x x 2 x { }; keine Lösung e) 2 ln x ln 4 x 2 f) 2 x+ 0, 5 3 x 4 Aufgabe 5: Geben Sie die folgenden Winkel im Bogenmaß bzw. Gradmaß an. a) π 3 4 π 35 0 Aufgabe 6: Berechnen Sie. a) 4 k k ! 20 Viel Erfolg!

36 35 Quellenverzeichnis. Prof. Dr. Angela Schwenk, Prof. Dr. Werner Nehrlich, Brückenkurs Mathematik, Beuth Hochschule für Technik Berlin, 5. Auflage (2004). 2. Kusch, Mathematik für Schule und Beruf, Teil Arithmetik, 5. Auflage Essen Girardet (97). 3. Wendeler, Vorkurs der Ingenieurmathematik, Harri Deutsch Verlag 2. Auflage (2002). 4. Stingl, P., Einstieg in die Mathematik für Fachhochschulen, Hanser Fachbuchverlag 2. Auflage (2002). 5. Papula, L., Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band, Vieweg 0. Auflage (200). 6. Papula, L., Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2, Vieweg 0. Auflage (200).