Biosignal Processing II

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1 Biosignal Processing II LEARNING OBJECTIVES Describe the main purposes and uses of the Fouriertransforms. Describe the basic properties of a linear system. Describe the concepts of signal filtering. FOURIERREIHE Ein beliebiges periodisches Signal, oder auch eine beliebige Funktion (über ein bestimmtes Intervall) kann mathematisch als Summe von trigonometrischen Funktionen (Fourierreihe) approximiert werden. Eine Fourierreihe beschreibt auch welche Frequenzen in welchem Verhältnis in einem Signal enthalten sind. Grundsätzlich habe ich unendliche viele Terme die aufsummiert den Funktionswert des ursprünglichen Signals/ der ursprünglichen Funktion ergeben (unendliche Summe). Um einen Funktionswert zu erhalten wähle ich also ein gewisse Anzahl Terme N (partial Sum) welche ich addiere. Je mehr Terme addiert werden (je grösser N) desto genauer die Approximation. Beispiele von biologischen Signalen welche mit Fourierreihen dargestellt werden können: Herzschlag Sprache Alternativen/Modifkation der Fourierreihe Das Erste ist eine Vereinfachung. Die exponentielle Fourierreihe ist etwas einfacher zu rechnen. (Man bemerke die Eulerschen Gleichungen welche hier aufgelistet sind). 1

2 Fouriertransformation Transformiere Fourierreihe von Zeitdomäne in Frequenzdomäne und umgekehrt. In der Frequenzdomäne kann ich einfach ablesen, welche Frequenz zu welchem Anteil (Amplitude) im Signal versteckt ist. Von Zeitdomäne in die Frequenzdomäne Inverse Fouriertransformation (IFT) Von Frequenzdomäne in Zeitdomäne Eigenschaften der Fouriertransformation Transformationsregeln 2

3 ANWENDUNG DER FOURIERTRANSFORMATION Erkennen von congestive heart failure (CHF) aufgrund der HRV Herzfrequenzvariabilität. Ich untersuche die Herzschläge indem ich sie von der Zeitdomäne in die Frequenzdomäne transformiere. Eine tiefe HRV wird in den Zusammenhang gebracht mit CHF also untersuche ich die Fourietransformierte auf unterschiedliche Frequenzen. Je mehr unterschiedliche Frequenzen vorhanden sind, desto höher die Herzfrequenzvariabilität (HVR). Wobei eine hohe HVR gesund ist und eine tiefe HVR ein «congestive heart failure» (CHF) ankündigen kann. LF/HF an sondern auf die absoluten Werte. In der Abbildung links kann man weiter sehen, dass ein hoher absoluter Wert an tiefen Frequenzen (LF) positiv ist. Wichtig ist, es kommt nicht auf das Verhältnis HRV ist ein nicht invasives Tool um das autonome Nervensystem zu testen und ist mit verschiedenen Krankheiten assoziiert (diabetes, coronary artery disease). Das autonome Nervensystem steuert im Allgemeinen unbewusste physiologische Funktionen: Verdauung, Herzschlag, Atmung etc. DISKRETE FOURIERTRANSFORMATION Eine «normale» Fouriertransformation wird auf ein kontinuirliches Signal angewandt. Da wir aber durch die A/D Konvertierung ein diskretes digitales Signal haben, brauchen wir neu auch die disrkete Fouriertransformation. INVERSE DISKRETE FOURIERTRANSFORMATION 3

4 FAST FOURIER TRANSFORMATION (FTT) Ist ein effizienter Computeralgorithmus zur schnellen Berechnung der DFT. Beispiel DAS FALTUNGSTHEOREM Im Allgemeinen gilt, die Multiplikation zweier Funktionen ist viel schwieriger zu berechnen in der Zeitdomäne als in der Frequenzdomäne. Es bietet sich also unter Umständen an, die Funktionen in die Frequenzdomäne zu transformieren, zu multiplizieren und wieder zurück zu transformieren. LINEARE SYSTEME Ein System beschreibt den Zusammenhang zwischen Input und Output In der Natur sind die allermeisten Systeme nicht linear, werden aber mit einem Linearen System approximiert. Lineare Systeme sind charakterisiert durch Superposition und «Scaling». Superposition ist in der Gleichung unten durch das + gezeigt. Scaling durch die Faktoren k 1, k 2. o Superposition: Der Output der Kombination zweier unabhängiger Inputs (x 1, x 2 ) kann berechnet werden durch die Summe der jeweiligen Outputs (y 1, y 2 ). o Scaling: Höherer Input (k 1 x 1 ) produziert einen entsprechend höheren Output (k 1 y 1 ) (und umgekehrt) Lineares System mit periodischen Signalen Periodische Signale bestehen wie vorher besprochen aus Addition von trigonometrischen Funktionen. Angenommen wir haben ein Lineares System, so wird bei periodischem Input wohl auch der Output periodisch sein. Dabei wird das Lineare System beschrieben durch die Transfer Funktion, 4

5 welche einerseits eine Skalierung beinhaltet ( H m ) und andererseits eine Phasenverschiebung H m. Die Phasenverschiebung entspricht dem verschieben einer Kurve (nach links oder nach rechts) und die Skalierung einer Verzerrung (Amplitude wird grösser oder kleiner). Links findet man die Definition der Transferfunktion. Wobei A m, B m Amplituden sind und θ m, φ m Winkel darstellen. IMPULSE RESPONSE Die Transferfunktion die wir vorhin besprochen haben wird in der Zeitdomäne angewandt. Bei der Impulse Response ist unsere Funktion zeitabhängig (h(t)). Um den Output y(t) zu berechnen müssten wir die beiden Funktionen (h(t), x(t)) in der Zeitdomäne «aufwendig» multiplizieren Faltungsintegral (zu Erkennen in der Abbildung unten in der ersten Zeile) Einfacher ist es hier beide Funktionen in die Frequenzdomäne zu transformieren (Fourier Transformation) und einfach zu multiplizieren. Convolution Theorem es ist einfacher in der Frequenzdomäne zu arbeiten. FILTERS Filter sind spezielle lineare Systeme die nichts anderes machen als gewisse Frequenzen auf 0 zu skalieren bzw. abzublocken und andere durchzulassen also auf 1 zu skalieren. Mit Filtern kann man einerseits verschiedene Komponenten (Frequenzen) eines Signals rausnehmen, bspws das Rauschen beim EKG, oder aber auch einen Threshold konstruieren. Threshold meint, erst ab einer gewissen Intensität gibt es auch einen Output. Low-pass filter Lässt alle tiefen (low pass) Frequenzen durch, und entfernt die hohen Frequenzen. (Wir oftmals in biologischen Systemen verwendet, da «noise» meistens hohe Frequenzen sind) 5

6 High-pass filter Genau das Gegenteil, hohe Frequenzen (high pass) kommen durch, tiefe warden entfernt. Band-pass filter Lasse Frequenz in gewünschtem Bereich W 1, W 2 durch. 6