Funktionen und andere Zuordnungen
|
|
- Hedwig Lenz
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Funktionen und andere Zuordnungen Rainer Hauser November Allgemeine Zuordnungen 1.1 Pfeildarstellung von Zuordnungen Sätze wie Das ist der Schlüssel zu diesem Schloss und Hänsel ist der Bruder von Gretel sagen etwas aus über eine Zuordnung zwischen Objekten. Zuordnungen sind Beziehungen zwischen den Elementen zweier Mengen. Bei endlichen Mengen lassen sich Zuordnungen durch Pfeile darstellen. Legt man beispielsweise sämtliche Schlösser und sämtliche Schlüssel auf einen Tisch, so kann man mit Pfeilen jedem Schloss die dazu gehörigen Schlüssel zuordnen. In der unten stehenden Abbildung sind vier verschiedene Zuordnungen als Pfeildiagramme gezeigt, wobei die eine Menge jeweils links und die andere Menge rechts platziert ist. Beide Mengen sind Zahlen, und die Zuordnungen können mathematisch beschrieben werden. In (a) zeigen die Pfeile von der linken Zahl zur rechten Zahl, wobei die rechte Zahl um 3 grösser ist als die linke Zahl, während in (b) die rechte Zahl das Quadrat der linken ist. In (c) zeigt ein Pfeil von einer Zahl links zu einer Zahl rechts, wenn die rechte Zahl grösser als die linke Zahl ist, und in (d) zeigt ein Pfeil von einer Zahl links zu einer Zahl rechts, wenn die rechte Zahl kleiner ist als die linke Zahl. Wenn eine Zuordnung wie in (a) und (b) jedem Element der linken Menge genau ein Element der rechten Menge zuordnet, nennt man die Zuordnung eindeutig (auf Englisch many-to-one). Eine eindeutige Zuordnung ist eine Funktion. Die Funktion in (a) ist eineindeutig (auf Englisch one-to-one), weil zu jedem Element der Menge rechts höchstens ein Pfeil führt. Die Zuordnungen in (c) und (d) sind keine Funktionen, denn sie sind in englischer Terminologie many-to-many Zuordnungen. 1.2 Funktionen Für Funktionen schreibt man f: D W, x f(x), was bedeutet, dass die Funktion f genannt wird und jedem Element aus der Menge D genau ein Element aus der Menge W zuordnet. Die Menge D heisst Definitionsbereich und die Menge W Wertebereich. Für x D ist f(x) das Bild. Wie in der nebenstehenden Figur ist B W die Menge aller Bilder von Elementen aus D und heisst der Bildbereich. Der Bildbereich kann kleiner sein als der Wertebereich, wenn der Wertebereich grosszügig festgelegt worden ist. 1
2 1.3 Graph einer Funktion Wählt man für eine Funktion f: x f(x) ein geeignetes, beschränktes Intervall I x, das ganz im Definitionsbereich liegt, ein geeignetes, beschränktes Intervall I y, das die Bilder aller Werte in I x enthält, und trägt man die Menge aller Punkte (x, y) mit x I x und y = f(x) I y in einem Koordinatensystem ein, dessen x-achse I x und dessen y-achse I y umfasst, so ist die entstehende geometrische Figur der Graph von f im Intervall I x. Die Quadratfunktion f: R R, x f(x) = x 2, die jeder reellen Zahl das Quadrat zuordnet, hat als Definitionsbereich die Menge R der reellen Zahlen. Als Wertebereich ist ebenfalls R angegeben, obwohl die Funktion keine negativen Zahlen als Bilder hat. Der Bildbereich ist die Menge aller reellen Zahlen grösser oder gleich 0. Der Wertebereich hätte also auch als W = {y R y 0} in mathematischer Notation angegeben werden können. Im nebenstehenden Graphen sind die Intervalle I x = [ 3, 3] und I y = [0, 9] gewählt worden. Der Graph der Quadratfunktion f(x) = x 2 ist eine Parabel, die für betragsmässig sehr grosse x-werte beliebig grosse y-werte annehmen kann. Die Abbildung zeigt also nur einen Ausschnitt des ganzen Graphen. Je nachdem, was gezeigt werden soll, wählt man den Ausschnitt so, dass er gewisse Maxima und Minima, Nullstellen oder sonstige Punkte enthält, für die man sich besonders interessiert. 2 Transformationen von Funktionen 2.1 Übersicht über die Transformationen Algebraische Transformationen einer Funktion haben eine geometrische Transformation des Graphen zur Folge. Die nebenstehende Abbildung zeigt (a) den Graphen einer auf dem Intervall [6, 11] definierten Funktion f(x), (b) den Graphen der Funktion f(x) + 1, (c) den Graphen der Funktion f(x + 9), (d) den Graphen der Funktion 3 f(x), (e) den Graphen der Funktion f(2x) und (f) den Graphen der Funktion ( 1) f(x). Diese aus einer Funktion f(x) gewonnenen Funktionen sind Beispiele von algebraischen Transformationen dieser Funktion. Diese Transformationen sind von der Form f(x)+a, f(x+a), a f(x) und f(a x). Ihr Effekt auf den Graphen sind Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen. (Streckungen müssen nicht notwendigerweise zu einer Vergrösserung des Graphen führen. Eine Streckung um 0.5 beispielsweise ist eigentlich eine Stauchung auf die Hälfte, wird mathematisch aber als Streckung bezeichnet.) 2.2 Algebraische Transformationen der Form f(x) + a Eine algebraische Transformationen der Form f(x) +a für a R bewirkt als geometrische Transformation auf den Graphen von f eine Verschiebung um a parallel zur y-achse. Der Definitionsbereich ist gleich wie von f. Im Beispiel aus der obigen Abbildung gilt: x f(x) Ist a grösser als 0, verschiebt sich der Graph nach oben, und ist a kleiner als 0, so verschiebt er sich nach unten. Die Form des Graphen bleibt hingegen gleich. 2
3 2.3 Algebraische Transformationen der Form f(x + a) Eine algebraische Transformationen der Form f(x+a) für a R bewirkt als geometrische Transformation auf den Graphen von f eine Verschiebung um a parallel zur x-achse. Der Definitionsbereich verschiebt sich also gegenüber dem Definitionsbereich von f. Im Beispiel aus der obigen Abbildung gilt: x f(x + 9) Ist a grösser als 0, verschiebt sich der Graph nach links, und ist a kleiner als 0, so verschiebt er sich nach rechts. Die Form des Graphen bleibt hingegen gleich. 2.4 Algebraische Transformationen der Form a f(x) Eine algebraische Transformationen der Form a f(x) für a R bewirkt als geometrische Transformation auf den Graphen von f für a > 0 eine Streckung um a parallel zur y-achse und für a = 1 eine Spiegelung an der x-achse. Der Definitionsbereich ist gleich wie von f. Im Beispiel aus der obigen Abbildung gilt: x f(x) ( 1) f(x) Die Form des Graphen ändert sich, falls a ±1 ist. 2.5 Algebraische Transformationen der Form f(a x) Eine algebraische Transformationen der Form f(a x) für a R bewirkt als geometrische Transformation auf den Graphen von f für a > 0 eine Streckung um 1 a parallel zur x-achse und für a = 1 eine Spiegelung an der y-achse. Der Definitionsbereich verschiebt sich also gegenüber dem Definitionsbereich von f. Im Beispiel aus der obigen Abbildung gilt: x f(2x) Die Form des Graphen ändert sich, falls a ±1 ist. 2.6 Aufgaben Aufgabe 1 Gegeben ist die im Intervall [0, 4] definierte Funktion f(x) mit dem Graphen gemäss Abbildung. Bestimmen Sie den Graphen der Funktion f(x). Aufgabe 2 Gegeben ist die im Intervall [0, 4] definierte Funktion g(x) mit dem Graphen gemäss Abbildung. Bestimmen Sie den Graphen der Funktion g(x) Lösungen Lösung der Aufgabe 1 Die algebraische Transformation ist von der Form a f(x) mit a = 1, ist also eine Spiegelung an der x-achse. Lösung der Aufgabe 2 Das sind zwei algebraische Transformationen: Erst wird aus g(x) die Funktion 0.5 g(x), und anschliessend wird (mit h(x) = 0.5 g(x)) aus h(x) die Funktion h(x)
4 3 Zusammengesetzte Funktionen 3.1 Eingabe und Ausgabe einer Funktion Gegeben seien zwei Funktionen: f: x x 2 mit D f = {0, 1, 2, 3, 4} und W f = { 2, 1, 0, 1, 2} g: x x 2 mit D g = { 2, 1, 0, 1, 2} und W g = {0, 1, 2, 3, 4, 5} wie in der unten stehenden Figur auf der linken Seite gezeigt. Unter der Bedingung B f D g kann man das Resultat von f nehmen und als Eingabewert für g nehmen wie in der obigen Abbildung rechts gezeigt. Die so entstehende Funktion wird g f genannt, und es gilt g f: x (x 2) 2 in diesem Beispiel. Wenn der Bildbereich der Funktion f also ganz im Definitionsbereich der Funktion g enthalten ist, kann man die Funktionen f und g zu g f zusammensetzen, indem man die Ausgabe (auf Englisch Output) von f nimmt und als Eingabe (auf Englisch Input) für g benutzt, sodass (g f)(x) = g(f(x)) gilt. Gibt man g f den Namen h, so sieht man der Funktion h (wie h: x (x 2) 2 im obigen Beispiel) nicht mehr an, dass sie ursprünglich aus zwei Funktionen zusammengesetzt worden ist. 3.2 Das Zusammensetzen von Funktionen Um zwei Funktionen zusammenzusetzen, benutzt man am einfachsten verschiedene Variablen. Will man beispielsweise zu den gegebenen Funktionen f: x x 2 und g: x x 2 die Funktion h = g f bestimmen, so setzt man mit der zusätzlichen Variablen y erst f: x x 2 = y und g: y y 2 und bekommt dann h: x x 2 = y y 2 = (x 2) 2. So lassen sich auch kompliziertere Funktionen zusammensetzen. Sei f: x 3x 2 2x + 1 und g: x x x oder g: y y2 + 1 y, weil ja die Variable beliebig gewählt werden darf. Setzt man y = 3x 2 2x + 1 in y y ein, so bekommt man (3x2 2x + 1) x 2 2x+1, sodass g f: x (3x 2 2x + 1) x 2 2x+1 gelten muss. Man beachte, dass für viele Funktionenpaare g f f g gilt, es also auf die Reihenfolge ankommt. Ob man zum Beispiel erst quadriert und danach etwas dazu zählt, oder ob man erst etwas dazu zählt und danach quadriert, spielt eine Rolle, weil im zweiten Fall die dazu gezählte Zahl mit quadriert wird. 3.3 Aufgaben Aufgabe 3 Gegeben sind f: x 2x + 1, g: x 3x. Bestimmen Sie (f g)(x) und (g f)(x). Aufgabe 4 Gegeben sind f: x 3x 1, g: x x 2, h: x 2 x. Bestimmen Sie (f g)(x), (g f)(x), (f h)(x), (h g)(x), (g g)(x), (f f)(x). 4
5 3.4 Lösungen Lösung der Aufgabe 3 (f g)(x) = 6x + 1, (g f)(x) = 6x + 3. Lösung der Aufgabe 4 (f g)(x) = 3x 2 1, (g f)(x) = (3x 1) 2 = 9x 2 6x + 1, (f h)(x) = 6 x 1, (h g)(x) = 2 x 2, (g g)(x) = x4, (f f)(x) = 9x 4 4 Inverse Funktionen 4.1 Identitätsfunktion Man kann eine Funktion statt als Zuordnung auch als Operation betrachten. Die Funktion x x 1 beispielsweise operiert eine Einheit von der Eingabe weg, so wie der Chirurg bei einer Blinddarmoperation den so genannten Appendix vermiformis aus dem Körper des Patienten entfernt. Wenn der Patient auf dem Bett in den Operationssaal gerollt wird, ist das quasi die Eingabe, und wird er anschliessend ohne den Appendix oder Wurmfortsatz auf Deutsch wieder hinaus gerollt, ist das die Ausgabe. Es gibt eine spezielle Funktion id M : M M, x x mit dem Namen Identität, die jedem Element x des Wertebereichs M den Wert x zuordnet. Sie ist deshalb speziell, weil man von einer Funktion normalerweise erwartet, dass sie die Eingabe verändert. Die Quadratfunktion beispielsweise quadriert die Eingabe. Die Identität gibt aber die Eingabe unverändert als Ausgabe zurück. Bei der Identitätsfunktion wird somit der Patient sozusagen ohne operativen Eingriff wieder aus dem Operationssaal gerollt. 4.2 Das Rückgängigmachen einer Veränderung Will man eine Blinddarmoperation rückgängig machen, müsste man dem Patienten den meist entzündeten Wurmfortsatz wieder einsetzen, was unter Umständen gar nicht mehr geht, weil er bereits entsorgt worden ist. (Bei chirurgischen Eingriffen ist es in den meisten Fällen auch gar nicht wünschenswert, sie wieder rückgängig zu machen.) Im Fall von mathematischen Funktionen ist die Situation anders. Subtrahiert eine Funktion f beispielsweise 1 von der Eingabe, kann eine andere Funktion g, die 1 zur Eingabe addiert, die Wirkung der ersten Funktion als g f wieder aufheben. Addition von a wird durch Subtraktion von a und Multiplikation mit a wird durch Division durch a neutralisiert. Es gibt zwar nicht für alle mathematischen Funktionen eine Funktion, die deren Wirkung rückgängig macht, aber für jede eineindeutige Funktionen f gibt es eine solche so genannte inverse Funktion (auch Umkehrfunktion genannt), die mit f 1 bezeichnet wird. Es gilt f f 1 = f 1 f = id M, wobei angenommen wird, dass f und f 1 beide auf M definiert sind. Die Quadratfunktion x x 2 definiert auf R ist nicht eineindeutig, weil a 2 = ( a) 2 gilt. Beschränkt man diese Funktion aber auf den Definitionsbereich D = {x R x 0}, so ist sie eineindeutig, und die Wurzelfunktion x x ist die Umkehrfunktion. Die mathematischen Gesetze a 2 = a und ( a) 2 = a bedeuten nichts anderes als f f 1 = f 1 f = id D für f: x x 2. Es gibt Funktionen f, für die f 1 = f gilt. Die Funktionen x ( 1) x und x 1 x sind Beispiele dafür. Das sind Funktionen, die sich selber rückgängig machen, wenn man sie zweimal anwendet. 4.3 Bestimmung der inversen Funktion Bei der Bestimmung der zusammengesetzten Funktion sind die Funktionen f und g bekannt, und die Funktion h = g f ist gesucht. Will man aber für eine Funktion f die inverse Funktion f 1 finden, sind f und f g = id M bekannt, während g = f 1 gesucht ist. Weil f g als Identität eine einfache Funktion ist, 5
6 lässt sich g leicht finden, indem man die Gleichung f(x) = y nach x auflöst, denn es folgt aus f(x) = y die Umkehrung f 1 (y) = x. Weil wir gewohnt sind, die Variable x als Eingabe und die Variable y als Ausgabe zu benutzen, hier aber mit f 1 : y f 1 (y) = x die Rollen vertauscht sind, kann man die Variablen x und y einfach umbenennen, um wieder geordnete Verhältnisse zu bekommen. Für f: x 3x 4 kann man f(x) = 3x 4 = y nach x auflösen, was x = y+4 3 ergibt. Die Umkehrfunktion ist also f 1 (y) = y+4 3 oder anders geschrieben mit x als gewohnter Eingabevariablen f 1 (x) = x+4 3. Funktionen mit einem endlichen (nicht zu grossen) Definitionsbereich D stellt man oft als Pfeildiagramme dar. Ist eine eineindeutige Funktion f als Pfeildiagramm gegeben, wobei der Wertebereich möglichst klein gewählt sei, sodass W = B gilt, so bekommt man ein Pfeildiagramm von f 1, indem man die Richtung der Pfeile wie in (a) der unten stehenden Abbildung gezeigt umkehrt. (Jetzt kann man noch die Mengen links und rechts vertauschen, damit die Pfeile in der üblichen Richtung von links nach rechts zeigen.) Für die Visualisierung von Funktionen mit unendlichem Definitionsbereich D benutzt man Graphen. In einem Graphen kann man den Funktionswert für den Eingabewert x 0 ablesen, indem man von x 0 auf der x-achse senkrecht nach oben oder unten geht, bis man den Graphen trifft, und anschliessend nach links oder rechts geht, bis man die y-achse trifft, wo man den zugehörigen Wert y 0 ablesen kann. Für einen gegebenen Wert y 0 kann man aber auch den zugehörigen Wert x 0 finden, indem man den umgekehrten Weg geht. So lassen sich die Funktionswerte der Umkehrfunktion aus dem Graphen der gegebenen Funktion ablesen. Spiegelt man den Graphen an der Geraden x = y, so bekommt man somit den Graphen der Umkehrfunktion wie in (b) der obigen Abbildung dargestellt. Spiegelung an der Geraden x = y bedeutet Vertauschung der Variablen x und y. 4.4 Aufgaben Aufgabe 5 Bestimmen Sie die inverse Funktion f 1 für f: x 7x + 3. Aufgabe 6 Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von f: x 4x Lösungen Lösung der Aufgabe 5 Aus y = 7x + 3 folgt x = y 3 7, und weiter durch Vertauschen von x und y ergibt das f 1 : x x 3. 7 Lösung der Aufgabe 6 x + 7 Die Funktion f ist auf ganz R definiert und eineindeutig, sodass auch f 1 : x 3 auf ganz R 4 definiert ist. 6
1 Funktionen. 1.1 Definitionen und Bezeichnungen
1 1 Funktionen 1.1 Definitionen und Bezeichnungen Eine Funktion f ist eine eindeutige Abbildung einer Menge X in eine andere Y. Ist x X, dann ist f(x) y Y das Bild des Elementes x. x heißt das Urbild des
Mehr3. Die Definition einer Abbildung von A in B beinhaltet eigentlich zwei Bedingungen, nämlich
Kapitel 3: Abbildungen Seite 32 Kap 3: Abbildungen Kap. 3.1: Abbildungen (Funktion), Bild und Urbild Der Begriff der Abbildung ist wie auch der Begriff der Menge von fundamentaler Bedeutung für die Mathematik.
MehrAnalytische Geometrie I
Analytische Geometrie I Rainer Hauser Januar 202 Einleitung. Geometrie und Algebra Geometrie und Algebra sind historisch zwei unabhängige Teilgebiete der Mathematik und werden bis heute von Laien weitgehend
MehrLineare Funktionen und Proportionalität
Lineare Funktionen und Proportionalität Rainer Hauser Dezember 2013 1 Allgemeine Funktionen 1.1 Blackboxmodell einer Funktion Eine Funktion liefert für Eingabewerte x, die man ihr gibt, Ausgabewerte y.
MehrMathematik für Ökonomen 1
Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Herbstemester 2008 Mengen, Funktionen und Logik Inhalt: 1. Mengen 2. Funktionen 3. Logik Teil 1 Mengen
MehrMengen, Funktionen und Logik
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Mengen, Funktionen und Logik Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,
Mehr1.3 Funktionen einer reellen Veränderlichen und ihre Darstellung im x, y - Koordinatensystem
.0.0. Funktionen einer reellen Veränderlichen und ihre Darstellung im, - Koordinatensstem Vereinbarungen Wir betrachten vorerst nur noch Funktionen f, deren Definitionsund Wertebereich jeweils R oder ein
Mehr9 Funktionen und ihre Graphen
57 9 Funktionen und ihre Graphen Funktionsbegriff Eine Funktion ordnet jedem Element aus einer Menge D f genau ein Element aus einer Menge W f zu. mit = f(), D f Die Menge aller Funktionswerte nennt man
Mehr13. Funktionen in einer Variablen
13. Funktionen in einer Variablen Definition. Seien X, Y Mengen. Eine Funktion f : X Y ist eine Vorschrift, wo jedem Element der Menge X eindeutig ein Element von Y zugeordnet wird. Wir betrachten hier
MehrZuammenfassung: Reelle Funktionen
Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,
Mehr3 Abbildungen von Funktionsgraphen
27 3 Abbildungen von Funktionsgraphen In Kapitel 1 dieses Workshops haben wir uns mit der Transformation von geometrischen Figuren im Achsenkreuz beschäftigt: mit Verschiebungen, Spiegelungen, Achsenstreckungen
MehrDefinitions- und Formelübersicht Mathematik
Definitions- Formelübersicht Mathematik Definitions- Formelübersicht Mathematik Mengen Intervalle Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Elementen zu einem Ganzen. Dabei muss entscheidbar
MehrUrs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2
Urs Wyder, 4057 Basel Urs.Wyder@edubs.ch Funktionen f 3 ( ) = + f ( ) = sin(4 ) Inhaltsverzeichnis DEFINITION DES FUNKTIONSBEGRIFFS...3. NOTATION...3. STETIGKEIT...3.3 ABSCHNITTSWEISE DEFINIERTE FUNKTIONEN...4
MehrDie Steigung m ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt daher Differenzenquotient.
Seite Definition lineare Funktion Eine Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) = m x + b, also der Funktionsgleichung y = m x + b, heißt lineare Funktion. Ihr Graph G f ist eine Gerade mit der Steigung m
MehrTrigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen Wir beginnen mit der Sinusfunktion: f(x) = sin(x) Wir schränken den Definitionsbereich auf eine Periode ein, d.h. xœ 0,2 bzw. 0 x 2p. Hier ist der Graph: Folgendes sollte beachtet
Mehr1.7. Die indirekte (umgekehrte) Proportionalität. a x heisst umgekehrte (indirekte) Proportionalität.
34 1.7. Die indirekte (umgekehrte) Proportionalität a Die Funktion f : y = a 0, 0 heisst umgekehrte (indirekte) Proportionalität. Spezialfall a = 1: f: Bilde den Kehrwert der gegebenen Zahl. An der Stelle
MehrFunktionen. Mathematik-Repetitorium
Funktionen 4.1 Funktionen einer reellen Veränderlichen 4.2 Eigenschaften von Funktionen 4.3 Die elementaren Funktionen 4.4 Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit Funktionen 1 4. Funktionen Funktionen 2
MehrMathematik 1 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 0 Einführung Hans Walser: Modul 0, Einführung ii Inhalt Zahlen.... Natürliche Zahlen.... Ganze Zahlen.... Rationale Zahlen.... Reelle Zahlen... Smbole....
MehrKosinusfunktion: graphische Darstellung und Interpretation. 1-E Vorkurs, Mathematik
Kosinusfunktion: graphische Darstellung und Interpretation 1-E Vorkurs, Mathematik Kosinusfunktion: Erklärung der Aufgabe 1 Aufgabe 1: Zeichnen Sie die trigonometrische Kosinusfunktion g (x) = a cos x.
MehrMathematischen Grundlagen und Notationen
Mathematischen Grundlagen und Notationen Susanne Schimpf Juni 008 Es geht in dieser Lerneinheit darum, mathematische Notationen besser zu verstehen und auch selbst korrekt zu benutzen. Außerdem sollen
MehrVorlesung. Funktionen/Abbildungen
Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.
MehrEinführung in das mathematische Arbeiten im SS Funktionen. Evelina Erlacher 1 7. März 2007
Workshops zur VO Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 007 Inhaltsverzeichnis Funktionen Evelina Erlacher 7. März 007 Der Funktionsbegriff Darstellungsmöglichkeiten von Funktionen 3 Einige Typen
MehrLeseprobe. Michael Knorrenschild. Vorkurs Mathematik. Ein Übungsbuch für Fachhochschulen. ISBN (Buch):
Leseprobe Michael Knorrenschild Vorkurs Mathematik Ein Übungsbuch für Fachhochschulen ISBN (Buch): 978-3-446-43798-2 ISBN (E-Book): 978-3-446-43628-2 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser-fachbuch.de/978-3-446-43798-2
MehrBrückenkurs Mathematik für Studierende der Chemie
Brückenkurs Mathematik für Studierende der Chemie PD Dr Dirk Andrae (nach Vorlagen von Dr Werner Gans vom WS 2015/2016) Institut für Chemie und Biochemie Freie Universität Berlin 20 September 2016 1 Teil:
MehrRationale, irrationale und reelle Zahlen. 4-E Vorkurs, Mathematik
Rationale, irrationale und reelle Zahlen 4-E Vorkurs, Mathematik Rationale Zahlen Der Grund für die Einführung der rationalen Zahlen ist der, dass wir mit ihnen auch Gleichungen der Form q x = p lösen
MehrBrückenkurs Mathematik 2015
Technische Universität Dresden Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch Brückenkurs Mathematik 2015 1. Vorlesung Logik, Mengen und Funktionen Ich behaupte aber, dass
MehrFunktionen. Operation versus Funktion. Elementare Funktionen
Funktionen Funktionen sind Anweisungen, wie man ein oder mehrere Argumente miteinander verrechnet um ein Ergebnis zu erhalten. Notiert werden sie mit einem Namen (oft einfach nur f) gefolgt von den Argumenten
MehrArbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf.
Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF Arbeitsblatt I.1 Nullstellen Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der
MehrMathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 8
Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 8 Abgabe Donnerstag 7. Dezember, 0:5 in H 5+7+8 = 20 Punkte Mit Lösungshinweisen zu einigen Aufgaben 29. Das Bisektionsverfahren sucht eine Nullstelle
MehrBetragsfunktion 6-E1. Vorkurs, Mathematik
Betragsfunktion 6-E1 Betragsfunktionen: Aufgabe 6 a) Zeichnen Sie folgende Betragsfunktionen f (x) = x 2, g (x) = x + 1 Bestimmen Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich dieser Funktionen. b) Wie
MehrFaktorisierung bei Brüchen und Bruchtermen
Faktorisierung bei Brüchen und Bruchtermen Rainer Hauser Mai 2016 1 Einleitung 1.1 Rationale Zahlen Teilt man einen Gegenstand in eine Anzahl gleich grosse Stücke, so bekommt man gebrochene Zahlen, die
MehrFunktionen. Funktionsbegriff Einführende Beispiele und Erklärungen Grundwissen. Beispiele zu den wichtigen Funktionsarten des Mathematikunterrichts
Funktionen Allgemeines Funktionsbegriff Einführende Beispiele und Erklärungen Grundwissen Beispiele zu den wichtigen Funktionsarten des Mathematikunterrichts Ein Lesetext Datei Nr. 800 Stand: 5. Juli 0
MehrFunktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren. Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion.
Tutorium Mathe 1 MT I Funktionen: Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion 1 Definitionsbereich/Wertebereich
MehrKomplexe Zahlen. Rainer Hauser. Januar 2015
Komplexe Zahlen Rainer Hauser Januar 015 1 Einleitung 1.1 Zahlen und Operationen auf Zahlen Addiert man mit Eins als erster gegebener Zahl beginnend sukzessive Eins zu einer bereits gefundenen Zahl, so
MehrAnalysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 4. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. (1) Eine bijektive Abbildung f: M N. () Ein
MehrKomplexe Funktionen. für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg. Reiner Lauterbach. Universität Hamburg
Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg Reiner Lauterbach Universität Hamburg SS 2006 Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen
Mehrgebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind
Vorbereitungsaufgaben Mathematik. Bruchrechnung.. Grundlagen: gebrochene Zahl gemeiner Bruch Zähler Nenner Dezimalbruch Ganze, Zehntel Hundertstel Tausendstel Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl
Mehr(Man sagt dafür auch, dass die Teilmenge U bezüglich der Gruppenoperationen abgeschlossen sein muss.)
3. Untergruppen 19 3. Untergruppen Nachdem wir nun einige grundlegende Gruppen kennengelernt haben, wollen wir in diesem Kapitel eine einfache Möglichkeit untersuchen, mit der man aus bereits bekannten
Mehr1.1 Mengen und Abbildungen
Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 3 1.1 Mengen und Abbildungen In diesem Abschnitt stellen wir die grundlegende mathematische Sprache und Notation zusammen, die für jede Art von heutiger Mathematik
Mehr1. Gruppen. 1. Gruppen 7
1. Gruppen 7 1. Gruppen Wie schon in der Einleitung erläutert wollen wir uns in dieser Vorlesung mit Mengen beschäftigen, auf denen algebraische Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften definiert sind.
MehrThema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen
Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen Wir betrachten jetzt Funktionen zwischen geeigneten Punktmengen. Dazu wiederholen wir einige grundlegende Begriffe und Schreibweisen aus der Mengentheorie.
MehrBei den Parabeln gibt es eine Grundfigur: Die Normalparabel, sie hat die
Die allgemeine Sinusfunktion Bei den Parabeln gibt es eine Grundfigur: Die Normalparabel, sie hat die Funktionsgleichung f(x) x. Aus ihr erzeugt man andere Parabeln, indem man den Funktionsterm verändert.
MehrParabeln - quadratische Funktionen
Parabeln - quadratische Funktionen Roland Heynkes 9.11.005, Aachen Das Gleichsetzungsverfahren und die davon abgeleiteten Einsetzungs- und Additionsverfahren kennen wir als Methoden zur Lösung linearer
MehrAnalytische Geometrie II
Analytische Geometrie II Rainer Hauser März 212 1 Einleitung 1.1 Geradengleichungen in Parameterform Jede Gerade g in der Ebene oder im Raum lässt sich durch einen festen Punkt auf g, dessen Ortsvektor
MehrFunktionen in der Mathematik
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 05.0.008 Funktionen in der Mathematik Bei der mathematischen Betrachtung natürlicher, technischer oder auch alltäglicher Vorgänge hängt der Wert einer Größe oft
MehrMathematik für Informatik 3
Mathematik für Informatik 3 - ANALYSIS - Folgen, Reihen und Funktionen - Funktionen mehrerer Veränderlicher - Extremwertaufgaben - Normen und Approximationen - STATISTIK - WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Literaturempfehlungen:
MehrMathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010
Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 4 23. Oktober 2009 Kapitel 1. Mengen, Abbildungen und Funktionen (Fortsetzung) Berechnung der Umkehrfunktion 1. Man löst die vorgegebene Funktionsgleichung
Mehr8.1 Proportionalität. 8.2 Funktionen Proportionale Zuordnungen Funktion. P = x y ist der Vorrat von 6000g.
Gmnasium bei St. Anna, Augsburg Seite Grundwissen 8. Klasse 8. Proportionalität 8.. Proportionale Zuordnungen Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zu einem Vielfachen der einen Größe das gleiche Vielfache
MehrAbbildungseigenschaften
Abbildungseigenschaften.5. Injektivität Injektivität (injektiv, linkseindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion. Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert
Mehr2 Mengen und Abbildungen
2.1 Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heiÿen Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreiben wir x M. Wir sagen auch:
Mehr1.3. Beträge, Gleichungen und Ungleichungen
.3. Beträge, Gleichungen und Ungleichungen Das Maimum zweier Zahlen a, b (also die größere von beiden) wird mit ma(a,b) bezeichnet, ihr Minimum (also die kleinere von beiden) mit min(a,b). Der Absolutbetrag
MehrVorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS. Prof. Dr. M. Voigt
Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS Prof. Dr. M. Voigt 2. März 2015 II Inhaltsverzeichnis 5 Grundlagen 1 5.1 Funktionen einer Variablen...................... 1 5.2 spezielle Funktionen.........................
MehrIn diesem ersten Abschnitt werden die gebräuchlichsten Bezeichnungen und Symbole definiert. N = {1,2,3,...}, p in Z,q in N}.
1 1 Grundlagen 1.1 Zahlen, Mengen und Symbole In diesem ersten Abschnitt werden die gebräuchlichsten Bezeichnungen und Symbole definiert. Zahlenmengen Die Menge N der natürlichen Zahlen ist gegeben durch
MehrMit Funktionen rechnen ein wichtiges Thema der Sekundarstufe 2
Mit Funktionen rechnen ein wichtiges Thema der Sekundarstufe 2 FRANZ PAUER, FLORIAN STAMPFER (UNIVERSITÄT INNSBRUCK) 1. Einleitung Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe 1 lernt man ganze und rationale
MehrLineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl 11.1)
Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl.) Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus m Gleichungen mit n Unbekannten x,...,x n und hat die Form a x + a 2 x 2 +... + a n x n b a 2 x + a 22 x 2 +...
Mehr6 Bestimmung linearer Funktionen
1 Bestimmung linearer Funktionen Um die Funktionsvorschrift einer linearen Funktion zu bestimmen, muss man ihre Steigung ermitteln. Dazu sind entweder Punkte gegeben oder man wählt zwei Punkte P 1 ( 1
Mehr1.3. Beträge, Gleichungen und Ungleichungen
1.3. Beträge, Gleichungen und Ungleichungen Das Maximum zweier Zahlen a, b wird mit max(a,b) bezeichnet, ihr Minimum mit min(a,b). Der Absolutbetrag einer reellen Zahl a ist a = max ( a, a ) oder auch
MehrJedem x - Wert aus dem Definitionsbereich ID wird genau ein y - Wert aus dem Wertebereich W zugeordnet.
8. Funktionen: Wird jeder reellen Zahl x aus einem Definitionsbereich ID durch eine eindeutige Zuordnungsvorschrift f eine reelle Zahl y = f(x) zugeordnet, dann heißt f eine reelle Funktion. x heißt die
MehrVektoren. Jörn Loviscach. Versionsstand: 11. April 2009, 23:42
Vektoren Jörn Loviscach Versionsstand:. April 29, 23:42 Rechnen mit Pfeilen Bei den komplexen Zahlen haben wir das Rechnen mit Pfeilen schon kennen gelernt. Addition und Subtraktion klappen in drei wie
MehrHinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft
Berufsbildende Schule 11 der Region Hannover Hinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft Das folgende Material soll Ihnen helfen sich einen Überblick
MehrAnwendungen der Differentialrechnung
KAPITEL 5 Anwendungen der Differentialrechnung 5.1 Maxima und Minima einer Funktion......................... 80 5.2 Mittelwertsatz.................................... 82 5.3 Kurvendiskussion..................................
MehrLineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund
Lineare Algebra 1 Detlev W. Hoffmann WS 2013/14, TU Dortmund 1 Mengen und Zahlen 1.1 Mengen und Abbildungen Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung/unseres Denkens/unserer
MehrGruppe. Unter einer Gruppe (G, ) versteht man eine Menge G, auf der eine binäre Operation definiert ist:
Gruppe Unter einer Gruppe (G, ) versteht man eine Menge G, auf der eine binäre Operation definiert ist: : G G G, d.h. jedem Elementepaar (a, b): a, b G ist ein Element a b G zugeordnet. Gruppe 1-1 Gruppe
MehrIst die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt
Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt f 1 : W D, y wobei D mit f() = y die Umkehrfunktion zu f. Der Graph G f 1 = {(y,
MehrE. AUSBAU DER INFINITESIMALRECHNUNG 17. UMKEHRFUNKTIONEN (INVERSE FUNCTION)
160 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken aus Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften I von Hans Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie das Buch auch
MehrFormelsammlung Mathematik 9
I Lineare Funktionen... 9.) Funktionen... 9.) Proportionale Funktionen... 9.) Lineare Funktionen... 9.4) Bestimmung von linearen Funktionen:... II) Systeme linearer Gleichungen... 9.5) Lineare Gleichungen
MehrEinführung in die Integralrechnung. Mag. Mone Denninger 13. November 2005
Einführung in die Integralrechnung Mag. Mone Denninger. November 5 INHALTSVERZEICHNIS 8. Klasse Inhaltsverzeichnis Einleitung Berechnung einfacher Stammfunktionen. Integrationsregeln.........................
MehrZahl und Funktion Grundlagen der Analysis aus der Sek I. Oliver Passon Seminar zur Didaktik der Analysis
Grundlagen der Analysis aus der Sek I Seminar zur Didaktik der Analysis Quellen Lehrpläne und Richtlinien des Landes NRW für Gymnasien und Gesamtschulen Lambacher Schweizer: Mathematik für Gymnasien, Klett
Mehr1. Funktionen. 1.3 Steigung von Funktionsgraphen
Klasse 8 Algebra.3 Steigung von Funktionsgraphen. Funktionen y Ist jedem Element einer Menge A genau ein E- lement einer Menge B zugeordnet, so nennt man die Zuordnung eindeutig. 3 5 6 8 Dies ist eine
MehrFunktionen (linear, quadratisch)
Funktionen (linear, quadratisch) 1. Definitionsbereich Bestimme den Definitionsbereich der Funktion f(x) = 16 x 2 2x + 4 2. Umkehrfunktionen Wie lauten die Umkehrfunktionen der folgenden Funktionen? (a)
MehrLineare Funktion. Wolfgang Kippels 3. November Inhaltsverzeichnis
Lineare Funktion Wolfgang Kippels. November 0 Inhaltsverzeichnis Grundlegende Zusammenhänge. Aufbau der Linearen Funktion......................... Nullstellenbestimmung............................. Schnittpunktbestimmung............................
Mehr6 Gleichungen und Gleichungssysteme
03.05.0 6 Gleichungen und Gleichungssysteme Äquivalente Gleichungsumformungen ( ohne Änderung der Lösungsmenge ).) a = b a c = b c Addition eines beliebigen Summanden c.) a = b a - c = b - c Subtraktion
MehrVerschiebung/Streckung von Funktionsgraphen. Verwenden von Schablonen zum Zeichnen von Funktionsgraphen. Idee der Koordinatentransformation
Verschiebung/Streckung von Funktionsgraphen Verwenden von Schablonen zum Zeichnen von Funktionsgraphen Idee der Koordinatentransformation Rahmenlehrplan Berlin P4 9/10: Situationen mit n und Potenzfunktionen
Mehrf : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1
III. Funktionen und Gleichungen ================================================================== 3.1. Lineare Funktionen Eine Funktion mit der Zuordnungvorschrift f : x y = mx + t und m, t R heißt lineare
MehrLernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung:
Vektorrechnung eine Einführung Einleitung: Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Abbildung an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um sieben Einheiten nach rechts und drei nach oben
MehrZahlen und elementares Rechnen
und elementares Rechnen Christian Serpé Universität Münster 7. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September 2011 1 / 51 Gliederung 1 2 Elementares Rechnen 3
MehrDemo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002
Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur Analysis Teilbereich : Ganzrationale Funktionen Hier nur Aufgaben als Demo Datei Nr. 9 März 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Vorwort Die in dieser Reihe von
MehrLeitprogramm Funktionen
3. Quadratische Funktionen (Zeit 10 Lektionen) Lernziel: Grundform y = ax + bx + c und Scheitelform y = a(x + m) + n der Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen kennen. Bedeutung der Parameter a,
MehrGleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen
Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term
MehrLernzirkel: Addieren, Subtrahieren und Verschieben von Funktionen
Station 1: Funktionen entlang der y-achse verschieben An dieser Station sollt Ihr euch mit Hilfe des ClassPad 300 eine Vorstellung erarbeiten, wie man eine Funktion entlang der y-achse verschieben kann.
MehrLineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung
Lineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck Technikerstr. 13/7, A-6020 Innsbruck, Österreich franz.pauer@uibk.ac.at 1 Einleitung In der linearen
MehrKölner Mathematikturnier 2011 Das Turnierlogo
Kölner Mathematikturnier 2011 Das Turnierlogo Was sind denn das für komische Punkte im Turnierlogo?, fragt Ihr Euch sicherlich. Unser Turnierlogo stellt einee Visualisierung der Primzahlen in den Gaußschen
MehrGrundwissen Mathematik JS 11
GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ math-naturw u neusprachl Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 957 PEGNITZ FERNRUF 94/48 FAX 94/564 Grundwissen Mathematik JS Was versteht man allgemein unter einer
MehrGleichungen, Ungleichungen, Beträge
KAPITEL 2 Gleichungen, Ungleichungen, Beträge Man bestimme alle reellen Lösungen der Gleichung x + 2 x 2 4 = 1. Nach Multiplikation beider Seiten mit x 2 4 ergibt sich die quadratische Gleichung x + 2
MehrZahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} bzw. N 0 = {0, 1, 2,
MehrWeitere einfache Eigenschaften elementarer Funktionen
Kapitel 6 Weitere einfache Eigenschaften elementarer Funktionen 6.1 Polynome Geg.: Polynom vom Grad n p(x) = a 0 + a 1 x +... + a n 1 x n 1 + a n x n, also mit a n 0. p(x) = x n ( a 0 x + a 1 n x +...
MehrWurzelfunktionen Aufgaben
Wurzelfunktionen Aufgaben. Für jedes k (k > 0) ist die Funktion f k (x) = 8 (x k ) kx, 0 x gegeben. a) Untersuchen Sie die Funktion f k auf Nullstellen und Extrema. Ermitteln Sie lim f k(x) sowie für 0
Mehr2. Symmetrische Gruppen
14 Andreas Gathmann 2 Symmetrische Gruppen Im letzten Kapitel haben wir Gruppen eingeführt und ihre elementaren Eigenschaften untersucht Wir wollen nun eine neue wichtige Klasse von Beispielen von Gruppen
MehrWertetabelle : x 0 0,5 1 2 3 4 0,5 1. y = f(x) = x 2 0 0,25 1 4 9 16 0,25 1. Graph der Funktion :
Quadratische Funktionen ================================================================= 1. Die Normalparabel Die Funktion f : x y = x, D = R, heißt Quadratfunktion. Wertetabelle : x 0 0,5 1 3 4 0,5 1
Mehrkommt zur Kreisinversion eine Spiegelung des Punktes an der reellen Achse dazu. Die folgenden vier Eigenschaften gelten auch für diese Abbildung
1 3. Die Kreisinversion 3.1. Definition Die Abbildung 1 ordnet der Zahl das folgende Bild zu 1 1 1 1 1 Die Konstruktion des Bildpunkts besteht also aus zwei Schritten: Der Punkt wird in den Bildpunkt abgebildet,
MehrDas Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens
Wurrzellffunkttiionen Das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens y = x 2, x 0, y 0 nach x auflösen x = ± y Minus entfällt wegen x 0 x = y Vertauschen von x und y, d.h. Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden
MehrZahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus
MehrExponential- & Logarithmusfunktionen
Exponential- & Logarithmusfunktionen Referenten: Paul Schmelz & Wadim Krapp Fachlehrer: Herr Wettlaufer Fach: Mathematik Thema: Exponential- & Logarithmusfunktionen Inhaltsverzeichnis file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html
MehrDie Taylorreihe einer Funktion
Kapitel 6 Die Taylorreihe einer Funktion Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit Taylorreihen, Taylorpolynomen und der Restgliedabschätzung für Taylorpolynome. Die Taylorreihe einer reellen Funktion ist
MehrEinführung in die Mengenlehre
Einführung in die Mengenlehre D (Menge von Georg Cantor 845-98) Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unseres Denkens oder unserer Anschauung zu einem Ganzen wobei
MehrTermumformungen (ohne binomische Formeln)
ALGEBRA Terme Termumformungen (ohne binomische Formeln) Datei Nr. 0 Stand 6. Oktober 0 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mathe-cd.schule 0 Term-Umformungen Inhalt DATEI 0 Zahlenterme
MehrFunktionen. 1. Einführung René Descartes Cartesius (Frankreich, )
Mathematik bla Funktionen 1. Einführung 167 René Descartes Cartesius (Frankreich, 1596-1650)...führt das kartesische Koordinatensystem ein. Er beschreibt einen Punkt als ein Paar von reellen Zahlen und
MehrElementare Mengenlehre
Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok WWU Münster Fachbereich Mathematik und Informatik 5.9.2013 Ÿ2 Elementare Mengenlehre Der grundlegendste Begri, mit dem Objekte und Strukturen der Mathematik (Zahlen,
Mehr9.2 Invertierbare Matrizen
34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
MehrInhaltsverzeichnis Mathematik
1. Mengenlehre 1.1 Begriff der Menge 1.2 Beziehungen zwischen Mengen 1.3 Verknüpfungen von Mengen (Mengenoperationen) 1.4 Übungen 1.5 Übungen (alte BM-Prüfungen) 1.6 Zahlenmengen 1.7 Grundmenge (Bezugsmenge)
Mehr