Mathematik III Die Fourier-Transformation in Bildern

Transkript

1 Mathematik III Die Fourier-Transformation in Bildern Cornelia Busch D-CHAB 20. Dezember 2018

2 Eine periodische Funktion f (t)...

3 ... wird zerlegt: f (t) = sin(3t) + cos(5t).

4 f (t) = cos(2t) + sin(3t) + cos(5t) Theorie der Fourier-Reihen

5 Fourier-Reihen Eine auf R definierte, periodische Funktion f : R R mit der Periode T = 2π besitzt die Fourier-Reihe f (t) a ( ak cos(kt) + b k sin(kt) ), wobei oder a k = 1 π f (t) k= k=1 f (t) cos(kt) dt, b k = 1 π c k e ikt, wobei c k = 1 2π f (t) sin(kt) dt f (t)e ikt dt.

6 Fourier-Koeffizienten Es sei eine 2π-periodische, reelle Funktion f (t) = gegeben. Was ist f (t)e it?

7 Fourier-Koeffizienten Was ist f (t)e it? f (t)e it = f (t) cos(t) i f (t) sin(t).

8 Fourier-Koeffizienten Was ist 1 2π f (t)e it dt? f (t)e it :

9 Fourier-Koeffizienten Es ist der Schwerpunkt der Kurve. 1 2π f (t)e it dt

10 Fourier-Koeffizienten 1 2π f (t)e it dt = 1 2π ( sin(3t) + cos(5t) ) e it dt

11 Fourier-Koeffizienten 1 2π f (t)e i 3t dt = 1 2π ( sin(3t) + cos(5t) ) e i 3t dt = 1 2 i

12 Fourier-Koeffizienten 1 2π f (t)e i 5t dt = 1 2π ( sin(3t) + cos(5t) ) e i 5t dt = 1 2

13 Beispiel Was ist für k N? 1 2π ( sin(3t) + cos(5t) ) e ikt dt Hinweis: Wir verwenden die Orthogonalitätsrelationen trigonometrischer Funktionen.

14 Orthogonalitätsrelationen 2π falls n = k = 0 cos(kt) cos(nt) dt = π falls n = k 0 0 falls n k 0 falls n = k = 0 sin(kt) sin(nt) dt = π falls n = k 0 0 falls n k sin(kt) cos(nt) dt = 0

15 Lösung für k 0 1 π ( ) 1 2 i falls k = 3 sin(3t) + cos(5t) e ikt dt = 1 2π 2 falls k = 5 0 sonst = 1 ( )( ) sin(3t) + cos(5t) cos(kt) i sin(kt) dt 2π = 1 ( sin(3t) cos(kt) dt 2π }{{} 0 ) cos(5t) cos(kt) dt }{{} + { π falls k = 5 0 sonst i ( ( ) π ) ( ) sin(3t) sin(kt) dt + cos(5t) sin(kt) dt 2π }{{}}{{} { π falls k = sonst

16 Für k < 0 Im Fall k < 0 erhält man analog 1 π ( ) sin(3t) + cos(5t) e ikt dt = 2π i falls k = 3 2 falls k = 5 0 sonst.

17 Fourier-Reihe f (t) = k= c k e ikt, wobei c k = 1 2π Also ist in unserem Fall f (t) = i ( e i3t e i3t) + 1 e 2 2( i5t + e i5t) = sin(3t) + cos(5t). f (t)e ikt dt.

18 Praxis? Problem: In der Praxis wird nur mit einzelnen Funktionswerten gearbeitet.

19 Praxis? Problem: In der Praxis wird nur mit einzelnen Funktionswerten gearbeitet. Lösung: Die diskrete Fourier-Transformation.

20 DFT und die Inverse Von einer 2π-periodischen Funktion sind N Werte f (t l ), t l := l 2π N, l = 0,..., N 1, bekannt. Dann ist die diskrete Fourier-Transformation. c k := 1 N N 1 l=0 f (t l )e i k t l Ihre Inverse ist f (t l ) = N 1 k=0 c k e i k t l.

21 DFT Es ist { } f (t l )e i t l l = 1,..., N

22 DFT Es ist { } f (t l )e i t l l = 1,..., N

23 DFT Also ist der Schwerpunkt der roten Punkte. c k := 1 N N 1 l=0 f (t l )e i k t l

24 Die Fourier-Transformation Die Fourier-Transformierte einer Funktion f ist gegeben durch ω R, und ihre Inverse ist F[ f ](ω) := F 1 [ f ](t) := 1 2π f (t)e iωt dt = f (ω), f (ω)e iωt dω = f (t).

25 Die Fourier-Transformation: Spektralfunktion Bei der Fourier-Transformierten eines Zeitsignals f F[ f ](ω) := f (t)e iωt dt = f (ω), spricht man auch von der Spektralfunktion. Es wird hier für festes ω nach t integriert. Das Resultat ist eine Funktion von ω.

26 Abfragen Die Funktion e ω : t e iωt kann man sich als Abfragemuster vorstellen. Schwingt das Zeitsignal f auf einem grossen Intervall I R mit ähnlicher Frequenz wie dieses Muster? In t-bereichen, wo f wesentlich schneller schwingt, als e ω, ist e ω praktisch konstant im Vergleich zu f. Da die alternierenden Buckel von f sich somit fortlaufend herausheben, gibt es kaum einen Beitrag an das Integral. Analog mit vertauschten Rollen, wenn f wesentlich langsamer schwingt als e ω.

27 Abfragen Schwingt f im Intervall I ungefähr mit der Frequenz ω: f (t)! = Ce iωt, (t I), so hat das Produkt f (t)e iωt längs I ein mehr oder weniger konstantes Argument und bei der Integration hebt sich kaum etwas heraus. Dann fällt f (ω) gross aus.

28 Interpretation Der Betrag f (ω) gibt an, mit welcher Gesamtenergie die Frequenz ω im Zeitsignal f vertreten ist. Zu welchem Zeitpunkt die Note ω gespielt wurde, kann man nicht unmittelbar dem Wert f (ω) entnehmen. Diese Information ist aber in der Funktion f enthalten. Die Fourier-Transformation betrachtet das gesamte Zeitsignal: In jedem Wert f (ω) ist Information über f aus dem ganzen Bereich < t < enthalten.

29 In der Praxis Viele in der Praxis vorkommenden Signale sind ausserhalb eine endlichen t-intervalls identisch 0. Die Fourier-Transformation kümmert das wenig: Sie betrachtet auch solch ein Signal als Musik, die von t = nach t = + läuft.

30 Fröhliche Weihnachten und ein gutes Neues Jahr!