Fourierreihen und Fouriertransformation

Transkript

1 Fourierreihen und Fouriertransformation Fourierreihen Autor: Harald Höller letzte Änderung: Lizenz: Creative Commons Lizenz by-nc-sa 3.0 at Bei Fourierreihen wird nach trigonometrischen (Erzeugenden)Funktionen entwickelt. Mit der Fourrierreihe möchte man periodische Funktionen (d.h. Funktionen, die nur auf einem endlichen Intervall definiert, oder auf der ganzen reellen Ache periodisch sind) approximieren, indem man sie nach "Teilfrequenzen" zerleg. Manipulator Dynamic n, 0, 15, 1, "n " Dynamic n, n 9 Dynamic Plot Sin n x Cos n x, x, 5, 5, PlotRange 3, Background White, PlotStyle Thick So wie man bei der Potenzreihe die Beiträge aus den einzelnen Potenzen, d.h. die Koeffizienten der Reihe bestimmt, so kann man für periodische Funktionen bestimmen, wie die einzelnen Frequenzen zur anzunähernden Funktion beitragen.

2 Fourier_m6.nb In Mathematica Eingebaute Funktionalitäten - Auszug? Needs Needs "context`" loads an appropriate file if the specified context is not already in $Packages. Needs "context`", " file" loads file if the specified context is not already in $Packages. Needs "FourierSeries`"? Fourier System` Fourier CosT ransf orm DCT DST Para meter s SinTr ansfo rm Trans form FourierSeries` FourierCoefficient FourierExpSeries FourierOverallCo nstant FourierSinCoeffici ent FourierCosCoeffi cient FourierExpSeries Coefficient FourierSample FourierSinSeries Coefficient FourierCosSeries Coefficient FourierFrequency Constant FourierSeries FourierTrigSeries FourierTrigSeries expr, t, k gives the order n Fourier trigonometric series expansion of expr, where expr is a periodic function of t with period 1. Information::notfound : Symbol FourierSeries`FourierCosCoefficientnot found. Bsp. 1: Näherung einer Funktion durch eine Fourierreihe bis zur Ordnung n? FourierTrigSeries FourierTrigSeries expr, t, k gives the order n Fourier trigonometric series expansion of expr, where expr is a periodic function of t with period 1. FourierTrigSeries E^ 4 Abs t, t, Cos Π t 1 Cos 4 Π t 4 Π 1 Π FourierTrigSeries E^ 4 Abs t, t, 6 ;

3 Fourier_m6.nb 3 FourierTrigSeries E^ 4 Abs t, t, 0 ; Die drei Näherungen und die anzunähernde Funktion (schwarz) in einem Plot als Vergleich. Je höher die Ordnung der Fourierreihe, desto "spitzer". Plot Evaluate, Evaluate, Evaluate, E^ 4 Abs t, t,,, PlotStyle Blue, Thick, Green, Thick, Dashed, Cyan, Dotted, Thick, Black, Thick, Background White Bsp. : Näherung einer Funktion durch eine Fourierreihe bis zur Ordnung n FourierTrigSeries E^ t^, t, ; FourierTrigSeries E^ t^, t, 5 ;

4 4 Fourier_m6.nb Plot E^ t^, Evaluate, Evaluate, t, 1, 1, PlotStyle Black, Thick, Blue, Thick, Dashed, Cyan, Thick, Dotted, Background White Fourierreihe und Fouriertransformation Etwas mathematischer ausgedrückt ist die Zerlegung nach den Frequenzen eine Projektion auf die Basisvektoren des Vektorraums Lebesgue - integrierbarer, periodischer Funktionen. Man kann sie auch als Transformation vom (hier) reellen x - Raum in einen Raum diskreter Indices n (bzw. Frequenzen) ansehen. Man kann sich nun die Frage stellen, ob man auch "beliebig unperiodische" Funktionen durch eine solche Methode annähern bzw. transformieren kann, also den Periodizitätsbereich (in unseren Beispielen bisher 1) erweitern kann. Wie man zeigen kann, lässt sich im Grenzfall das Definitionsintervall auf die gesamte reelle Achse ausweiten, wenn man die bisher diskrete Variable n (bzw. k) als kontinuierliche Variable und die Fourierkoeffizienten als Funktionen dieser Variable definiert. Dadurch wird aus der Summe in der Fourierreihe ein Integral-Ausdruck, nämlich die Fouriertransformation.

5 Fourier_m6.nb 5 Fouriertransformation Die Fouriertransformation ist jetzt nicht länger anschaulich als Näherungsmethode einer Funktion durch trigonometrische Funktionen zu interpretieren, sondern als Transformation zwischen Ortsraum (x) und einem eben über die Fouriertrafo identifizierten Vektorraum (in der Literatur zumeist k oder p), da es für das Fourierintegral keine Entsprechung zum Abbrechen der Reihe gibt. Bleiben wir bei obiger Interpretation der Zerlegung nach Frequenzen, so transformiert man eine Funktion f(x) mittels Fouriertrafo (F) in einen Frequenzraum (k) und erhält die darüber eindeutig identifizierte Funktion (Ff)(k).? FourierTransform FourierTransform expr, t, Ω gives the symbolic Fourier transform of expr. FourierTransform expr, t 1, t,, Ω 1, Ω, gives the multidimensional Fourier transform of expr. Bsp.: Fouriertransformation der obigen Funktion FourierTransform E^ 4 Abs t, t, k 4 Π 16 k

6 6 Fourier_m6.nb Plot E^ 4 Abs t, t, 1, 1, Background White, PlotStyle Thick Plot 4 Π, k, 1, 1, Background White, PlotStyle Thick 16 k Bsp. : Betragsfunktion FourierTransform Abs t, t, k Π k

7 Fourier_m6.nb 7 Plot Abs t, t, 1, 1, Background White, PlotStyle Thick Plot Π k, k, 1, 1, Background White, PlotStyle Thick Bsp. 3: Konstante Funktion FourierTransform 1, t, k Π DiracDelta k

8 8 Fourier_m6.nb Plot 1, t, 1, 1, Background White, PlotStyle Thick Plot Π DiracDelta k, k, 1, 1, Background White, PlotStyle Thick