Fourier Reihe. Fourier Transformation. Ma 2 Lubov Vassilevskaya, SS 2008

Transkript

1 Fourier Reihe Fourier Transformation

2 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe Eine beliebig oft differenzierbare Funktion f (x) kann in eine unendliche Reihe von Potenzfunktionen x n entwickelt werden n 2 n f x = an x = a0 a x a2 x... a n x... n =0 Vom besonderen praktischen Interesse sind die Fälle, in denen sich die Funktion f (x) durch wenige Summanden recht genau approximieren lässt f x a 0 a x a 2 x 2... a n x n Beispiel: = x x2... x 2 x f x = x

3 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe 5 3 f (x) f (x) f 3 x = x x2 x3 f x = 3 x f 5 x = x x2 x3 x4 x5 f x = x x 2 x 3... x

4 Harmonische Schwingung y t = A sin t sin ± = sin cos ± cos sin y t = A sin t A 2 cos t A = A cos, A Amplitude T= Kreisfrequenz der Schwingung 4 A 2 = A sin 2 Periode Phase

5 Periodische Schwingung 5

6 Das Problem der schwingenden Saite Daniel Bernoulli ( ) Ich habe mir vorgenommen, in diesem Werke die mathematischen Gesetze, wel chen die Verbreitung der Wärme gehorcht, zu entwickeln und glaube, dass die nach folgende Theorie einen der wichtigsten Zweige der ganzen Physik ausmachen wird. 6 Leonhard Euler ( ) Jean Baptiste le Rond d'alembert (77 783) keine einzige Funktion existiert, die nicht wenigstens in einem Teil ihres Verlaufs durch eine bestimmte trigo nometrische Reihe ihre Darstellung findet. Jean Baptiste Fourier ( )

7 Jean Baptiste Fourier ( ) Fourier benutzte trigonometrische Reihen in seinem berühmten Werk Analytische Theorie der Wärme, um Eigenschaften von Lösungen der Wärmegleichung zu untersuchen. Die Idee, allgemeine Funktionen als eine Fourier-Reihe darzustellen (oder eine Potenzreihe), beeinflusste die Entwicklung der mathematischen Analyse grundlegend. Mathematik ist mit den verschiedensten Phänomenen ver gleichbar und bringt die geheimen Ähnlichkeiten zwischen ihnen zum Vorschein. Gestern hatte ich meinen 2. Geburtstag. In dem Alter hatten Newton und Pascal bereits mehrfach Anspruch auf Unsterblichkeit erhoben. (Fourier 789) 7

8 Die Materie Fouriers wabert! Der Bruch, den Fourier vollzog, hätte kaum radikaler sein können. Fourier behauptete, ein universales Beschreibungsmodell für alle Naturerscheinungen geschaffen zu haben. Fouriers Modell begreift alle physikalischen Phänomene prinzipiell als Summen von Schwingungen, bricht radikal mit dem aus der griechischen Antike stammenden atomistischen Materieverständnis. Die Materie hörte auf, newtonianisch zu sein. Die Materie Fouriers wabert! 8

9 Christiaan Huygens ( ) Christiaan Huygens war ein niederländischer Astronom, Mathematiker und Physiker. Zu Beginn des 8. Jahrhunderts wurden Versuche unternommen, physikalische Vorgänge mit Schwingungsmodellen zu beschreiben. Ein wichtiger Vorläufer ist Christiaan Huygens, der eine Wellentheorie des Lichts entwickelte. Seine Ansätze konnten sich jedoch nicht durchsetzen, was vor allem mit der Dominanz Newtons und seiner Korpuskeltheorie zusammenhing. Fourier: Man verfährt am einfachsten und bleibt meist mit der Erfahrung in Einklang, wenn man sich die Verbreitungs weise der Wärme ähnlich wie die des Lichtes vorstellt. 9

10 Fouriers Beschreibung einer Rechteckwelle Am 2. Dezember 807 stellte Fourier im Institut de France die Beschreibung einer Rechteckwelle als Grenzwert harmonischer Summen. f x = f x = 0 [ 4 sin x 4 sin x sin 3 x sin 5 x 3 5 f x = ] f x = [ 4 [ sin x sin 3 x 3 ] 4 sin x... sin 9 x 9 ]

11 Fouriers Beschreibung einer Rechteckwelle f x = [ 4 sin x sin 3 x... sin 5 x 3 5 ] Je mehr Glieder man in der Gleichung für y (t) benutzt, desto eckiger wird die Linie an den Umbiegungspunkten, und desto gerader an den Scheiteln; wenn die Anzahl der Glieder unendlich geworden ist, sind die Ecken ganz scharf, die Scheitel ganz gerade geworden, die Curve verläuft parallel... Je mehr Glieder berücksichtigt werden, um so besser ist die Näherung. Diese Beschreibung missfiel einigen Mitgliedern der Academie des Sciences, so dass eine Veröffentlichung seines Vortrags vorerst abgelehnt wurde. Erst 82 bekam er einen Preis von der Akademie.

12 Fourier Reihe einer periodischen Funktion f (x) ist eine nicht sinusförmige periodische Funktion mit der Periode 2 f x = f x 2 Bei periodischen Funktionen ist die Integration über eine volle Periode invariant gegen Verschiebung des Integrationsintervalls f x dx = f x dx Man erkennt das aus einer Aufteilung der Integration 2 f x dx = f x dx f x dx f x dx = f x dx f x dx = f x dx = f x 2 d x 2 = f x dx

13 Fourier Reihe einer periodischen Funktion Die Funktion f (x) kann unter gewissen Voraussetzungen in eine unendliche trigonometrische Reihe der Form a0 f x = [ a n cos n x b n sin n x ] = 2 n = = a0 a cos x a 2 cos 2 x a 3 cos 3 x... 2 b sin x b 2 sin 2 x b 3 sin 3 x... entwickelt werden. Diese Art der Darstellung heißt Fourier-Reihe von f (x). Die Konstanten a 0, a, a 2,..., b, b 2, b 3,... sind die Fourierkoeffizienten. 3

14 Fourier Reihe einer periodischen Funktion Die Fourier-Reihe bietet eine Möglichkeit, die periodischen Funktionen nach ihren Teilfrequenzen systematisch zu zerlegen. Die Zerlegung nach Frequenzen entspricht dem, was ein Prisma mit dem einfallenden Licht macht. Der Lichtstrahl ist eine Überlagerung von Beiträgen verschiedenster Frequenzen. Da die Lichtbrechung beim Prisma frequenzabhängig ist, wird der Strahl zerlegt, der Ausfallwinkel hängt von der Frequenz des entsprechenden Anteils ab. 4

15 Fourier Reihe einer periodischen Funktion Die Fourier Reihe von f (x): a0 f x = [ a n cos n x b n sin n x ] 2 n = Die Fourierkoeffizienten: a 0 = f x dx a n = f x cos n x dx 0 n ℕ 2 b n = f x sin n x dx 0 Es handelt sich um die Projektion auf ein orthogonales Basissystem. Die Menge {, cos n x, sin n x ; n=, 2,... 2 } ist ein Orthonormalessystem für periodische Funktionen mit dem Skalarprodukt 2 5 f, g = f x g x dx 0

16 Zum Thema Basen und Vektorräume Beispiel : ℝ 2 Basisvektoren v = v e v 2 e 2 Beispiel 2: ℝ n e =, 0, für alle v ℝ e 2 = 0, 2 Basisvektoren e =, 0, 0, 0,..., e 2 = 0,, 0, 0,...,..., e n = 0, 0, 0,..., v = v e v 2 e 2... v n e n für alle v ℝ n Beispiel 3: Polynome f x = a 0 a x a 2 x 2 a 3 x 3... Formal ist das Polynom durch einen Vektor von Koeffizienten a i bestimmt: a = a 0, a, a 2, a 3,... Jeder solche Vektor entspricht einem Polynom. Der Vektor e i entspricht dabei dem Monom x i, und die Monome bilden eine Basis des Raumes der Polynome. 6