4. Wellenausbreitung

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Reinhold Acker
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1 Motivation: Beim Stab konnten Lösungen der Form gefunden werden. u x,t = f 1 x ct f 2 x ct Diese Lösungen beschreiben die Ausbreitung von Wellen im Stab. Die Funktionen f 1 x und f 2 x werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt. 3. Balkenschwingungen 3.4-1

2 Lösungsansatz für Balken: Wie beim Stab werden Lösungen der Form w x, t = f 1 x c B t f 2 x c B t gesucht. Die Konstante c B ist zunächst noch unbekannt. Einsetzen in die Wellengleichung führt auf f 1 IV c B 2 A EI y f 1 II f 2 IV c B 2 A EI y f 2 II =0 3. Balkenschwingungen 3.4-2

3 Dabei bezeichnet das Superskript II die zweite und das Superskript IV die vierte Ableitung der Funktion nach ihrem Argument. Die Wellengleichung ist erfüllt, wenn jede der beiden Funktionen die gewöhnliche Differentialgleichung f IV k 2 f II =0, k 2 2 A =c B EI y erfüllt. Die Größe k wird als Wellenzahl bezeichnet. 3. Balkenschwingungen 3.4-3

4 Lösung: Die Substitution g = f II führt auf die Differentialgleichung d 2 g d 2 k 2 g=0 Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist g = A 1 cos k A 2 sin k 3. Balkenschwingungen 3.4-4

5 Damit gilt für die Funktion f : f = A 1 k cos k A 2 2 k sin k C 3 C 2 4 =C 1 cos k C 2 sin k C 3 C 4 Die Funktionen f 1 und f 2 lauten f 1 x c B t =C 1 cos k x c B t C 2 sin k x c B t C 3 x c B t C 4 f 2 x c B t =D 1 cos k x c B t D 2 sin k x c B t D 3 x c B t D 4 3. Balkenschwingungen 3.4-5

6 Die Glieder mit den Konstanten C 3, C 4 und D 3, D 4 beschreiben Starrkörperbewegungen, die in der Regel durch die Randbedingungen ausgeschlossen werden. Im Gegensatz zum Stab können die Funktionen und nicht beliebig gewählt werden. f 2 Die einzig möglichen Biegewellen sind harmonische Wellen. f 1 3. Balkenschwingungen 3.4-6

7 Interpretation der Lösung: Wenn Starrkörperbewegungen durch die Randbedingungen ausgeschlossen werden, gilt: f 1 x c B t =C 1 cos k x c B t C 2 sin k x c B t =C cos [k x c B t ]=C cos[ 2 kx 2 kc B t 2 ] 3. Balkenschwingungen 3.4-7

8 Mit der Wellenlänge = 2 k und der Periode folgt: T = 2 k c B = 2 f 1 x c B t =C cos2 x t T 2 3. Balkenschwingungen 3.4-8

9 Wird die Ortskoordinate x um die Wellenänge λ und die Zeit t um die Periode T erhöht, so gilt: f 1 x c B t T =C cos 2 x 1 t T 1 2 =C cos2 x t T 2 = f 1 x c B t Ein Beobachter, der sich in der Zeit T um die Strecke λ weiterbewegt, beobachtet die gleiche Phasenlage der Biegewelle. 3. Balkenschwingungen 3.4-9

10 Die Geschwindigkeit T = 2 k k c B 2 =c B wird daher als Phasengeschwindigkeit bezeichnet. 3. Balkenschwingungen

11 Dispersion: Aus der Definition der Wellenzahl folgt: k 2 =c B 2 A EI y c B 2 =k 2 EI y A = EI y A c B= 2 EI y A 3. Balkenschwingungen

12 Die Phasengeschwindigkeit der Biegewellen hängt von der Wellenlänge ab. Harmonische Biegewellen mit unterschiedlichen Wellenlängen haben unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten. Ein solches Verhalten wird als Dispersion bezeichnet. 3. Balkenschwingungen

13 Wellenlänge und Frequenz: Die Frequenz ist definiert durch f = 1 T = 2 Für die Wellenlänge gilt: =c B T = c B f 3. Balkenschwingungen

14 Mit folgt: c B = 2 EI y A = 2 f 1 EI y A 2 = 2 EI y f A = 2 f 4 EI y A 3. Balkenschwingungen

15 Die Kenntnis der Wellenlänge ist wichtig, um bei einer numerischen Berechnung z.b. nach der Methode der Finiten Elemente die Feinheit der Diskretisierung festzulegen. Bei Verwendung von Elementen mit einem linearen Verschiebungsansatz sollten mindestens 6 Elemente pro Wellenlänge verwendet werden. 3. Balkenschwingungen

16 Zusammenstellung wichtiger Beziehungen: Wellenzahl: k= 2 Phasengeschwindigkeit: Periode: c B = T = 2 EI y A T = 1 f = c B = 2 k c B 3. Balkenschwingungen

17 Kreisfrequenz: =2 f = 2 T =k c B Wellenlänge: = 2 f 4 EI y A 3. Balkenschwingungen

18 Allgemeine Biegewellen: Allgemeine Biegewellen lassen sich als Überlagerung von harmonischen Biegewellen darstellen: w x,t = C 1 k cos k x c B t dk C 2 k sin k x c B t dk 0 0 Dabei ist c B =c B k. 0 D 1 k cos k x c B t dk 0 D 2 k sin k x c B t dk 3. Balkenschwingungen

19 Die Funktionen C 1 (k), C 2 (k), D 1 (k) und D 2 (k) können aus einer Fourier-Transformation der Anfangsbedingungen bestimmt werden. Da sich die harmonischen Wellen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit ausbreiten, verändert die Welle ihre Form. 3. Balkenschwingungen

20 Beispiel: Anfangsauslenkung: w 0 x ={w max 2 [ 1 cos x L ], L x L Anfangsgeschwindigkeit: 0, x L v 0 =0 Die nächste Seite zeigt die Verschiebungen für verschiedene Zeitpunkte. 3. Balkenschwingungen

21 3. Balkenschwingungen

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