Freie Universität Berlin Wintersemester 11/12 Fachbereich Mathematik und Informatik Institut für Mathematik Dr. A. Linke

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1 Freie Universität Berlin Wintersemester / Fachbereich Mathematik und Informatik Institut für Mathematik Dr. A. Linke Musterlösung zum. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik für Physiker I Differenzierbarkeit, Taylorpolynome, Taylorreihen, Grenzwerte Aufgabe. 4 Punkte Beweisen Sie: Sei px = n c kx k ein Polynom höchstens n-ten Grades, und sei a R beliebig. Dann ist das Polynom eindeutig festgelegt durch die n + Werte pa, p a, p a,..., p n a. Zunächst ist klar, dass die Ableitung des Polynoms px wieder ein Polynom ist, dessen Grad höchstens n beträgt. Induktiv schließt man, dass dann auch die k-te Ableitung von px für alle k =,,..., n, n ein Polynom ist, dessen Grad höchsten n k ist. Daher hat die n-te Ableitung von px höchstens den Grad 0 und ist somit entweder 0 oder eine von 0 verschiedene Konstante. Die n + -Ableitung von px ist damit identisch Null. Mittels 7.5. Taylorpolynom mit Restglied in der Form von Lagrange können wir das Polynom um den Entwicklungspunkt a darstellen als px = n p k a x a k + R n+ x, wobei R n+ x nach 7.5. dargestellt werden kann als R n+ x = pn+ c x an+ n +! mit c zwischen a und x. Da die n + -Ableitung von px jedoch verschwindet, ist das Restglied identisch Null. Damit gilt n p k a px = x a k. Somit ist das Polynom px tatsächlich eindeutig durch pa und die Ableitungen p a, p a,... p n a festgelegt. Aufgabe. Punkte Zeigen Sie: Für alle x R gilt: e x + x.

2 Tipp: Mittelwertsatz! Zunächst gilt die Ungleichung offensichtlich für x = 0. Für alle x R \ {0} gilt nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung e x x = ex e 0 x 0 = ec mit c [0, x] für x > 0 bzw. c [x, 0] für x < 0. Es gilt also e x = + e c x. Im ersten Fall x > 0 ist auch c > 0 und somit gilt e c >. Im zweiten Fall x < 0 gilt c < 0 und somit e c <. Für beide Fälle gilt jedenfalls e c x x und somit ist die Ungleichung bewiesen. Aufgabe.3 Punkte Bestimmen Sie die Taylorreihe von sinh x um den Entwicklungspunkt x = 0 und bestimmen Sie ihren Konvergenzradius. Konvergiert diese Taylorreihe gegen sinh x? In ist sinh x definiert als sinh x = ex e x. Die Taylorreihen von e x und e x um x = 0 lauten e x = x k und e x = und haben den Konvergenzradius, konvergieren also für alle x R. Weiter gilt n+ x k n+ k x k = n+ x k n+ k x k = Nach dem Grenzwertsatz 4.. existiert somit n n Grenzwert e x e x = sinh x. Da x k+ k +! x k+ k+! n x k+ k +!. k xk für alle x R mit eine Potenzreihe ist, ist diese aufgrund der Eindeutigkeit des Taylorpolynoms in auch schon die gesuchte Taylorreihe. Da sie für jedes x R konvergiert, ist ihr Konvergenzradius. Aufgabe.4 6 Punkte ++ Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:

3 a b c e x x x / ; log + x sin x ; e x cos x. Tipp: Taylorpolynome mit Restgliedern in Peano-Darstellung! Lösung zu a: Wir stellen sin x nach dar durch sin x = x x3 6 + x3 ρx mit ρx = 0. Ebenso stellen wir die Exponentialfunktion dar durch mit σx = 0. Deshalb gilt e x = + x + x + x3 6 + x3 σx und damit gilt x3 e x x x / = 6 x3 ρx x x3 σx = ρx 6 + σx 6 e x x x / =. Lösung zu b: Nach entwickeln wir log + x durch log + x = x + xρ x, sin x durch und e x durch Dabei gilt sin x = x + x ρ x e x = + x + xρ 3 x. ρ x = ρ x = ρ 3 x = 0.

4 Dann gilt und Es folgt log + x = x + x ρ x + x ρ x, sin x = x + x 3 ρ x + x 4 ρ x. log + x sin x = x ρ x + x ρ x x 3 ρ x x 4 ρ x e x x + x ρ 3 x = ρ x + ρ x xρ x x ρ x. + ρ 3 x Daher gilt log + x sin x = 0. e x Lösung zu c: Wir entwickeln nach und mit Somit gilt sin x = x + xρx cos x = x + x σx ρx = σx = 0. Daher folgt cos x = x 4 + x 4 ρx x 4 4 x4 σx + x 4 σ x = + ρx σx + 4 σ x. cos x = 4. Aufgabe.5 Punkte Bestimmen Sie den Konvergenzradius und die Summe der Potenzreihe n + x n. Tipp: Gliedweise Differenzierbarkeit von Potenzreihen!

5 Zunächst gilt n + x n = n + 4 n x n. Um den Konvergenzradius dieser Potenzreihe nach dem Wurzelkriterium zu bestimmen, berechnen wir n n + 4 n = n n + 4 n n = n n +. Wegen n n n + = nach 4.7. gilt damit nach für den Konvergenzradius der Potenzreihe R = n n n + 4 = n. Der Grenzwert der Potenzreihe für x < berechnet sich nun wie folgt: n + x n = d x n+ = d x n+, da Potenzreihen nach 7.4. gliedweise differenzierbar sind. Weiter gilt n + x n = d x n+ = d x x n = d x 4x n dx = d dx x 4x = + 4x 4x, wobei in der vorletzten Zeile der Grenzwert der geometrischen Reihe verwendet wurde.