EDV für Chemiker: MAPLE - KURS

Transkript

1 EDV für Chemiker: MAPLE - KURS Vorlesung 4 Polynomenschar mit indizierten Koeffizienten > f:=x->a[0]+a[1]*x+a[2]*x^2+a[3]*x^3+a[4]*x^4; f := x a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 i) An der Stelle x = -2 sei der Funktionswert gleich vier. ii) An der Stelle x = -1 sei der Funktionswert gleich zwei. iii) An der Stelle x = 0 sei der Funktionswert gleich t 2, mit t ein reellwertiger Laufparameter. iv) An der Stelle x = 1 sei der Funktionswert gleich zwei. v) An der Stelle x = 2 sei der Funktionswert gleich vier. > gl1:=f(-2)=4; > gl2:=f(-1)=2; > gl3:=f(0)=t^2; > gl4:=f(1)=2; > gl5:=f(2)=4; gl1 := a 0-2 a a 2-8 a a 4 = 4 gl2 := a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 = 2 gl3 := a 0 = t 2 gl4 := a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 2 gl5 := a a a a a 4 = 4 > Koeffizienten:=solve({gl1,gl2,gl3,gl4,gl5},{seq(a[i],i=0..4)}); Koeffizienten := a 0 = t 2, a 1 = 0, a 3 = 0, a 4 = 1 4 t 2-1 3, a 2 = t > f:=unapply(subs(koeffizienten,f(x)),x); f := x t t x t x 4 > plot([seq(f(x),t=0..4)],x=-3..3,y= ,thickness=2); Page 1

2 Mit dem Befehl animate können Bilder in zeitlicher Abfolge dargestellt werden: > with(plots): animate(plot,[f(x),x=-3..3,color=black],t=-4..4,frames=40, view=[-3..3, ],thickness=2); Warning, the name changecoords has been redefined Achtung! Für MAPLE 8 lautet die Befehlszeile etwas anders: > with(plots): > animate( f(x), x= -3..3, t= -4..4, frames=40, view=[-3..3, ], thickness=2); > restart; ****************************************************************************** ********* Potenzreihen Eine Potenzreihe ist eine Reihe folgender Bauart: > f:=x->sum(a[n]*(x-x_0)^n,n=0..infinity); Page 2

3 f := x n a n ( x - x_0) n = 0 a n : Koeffizienten der Potenzreihe x_0: Entwicklungspunkt der Potenzreihe Mit Hilfe von Potenzreihen können Funktionen als (unendliche) Summe einfacherer Funktionen (hier: Polynome) dargestellt werden. > assume(n,integer); Hier wird für n die Annahme gemacht, dass n eine ganze Zahl ist. Mit dem Befehl about werden die Annahmen, die für eine Variable gemacht wurden, als output ausgegeben. > about(n); Originally n, renamed n~: is assumed to be: integer Betrachten wir nun die Potenzreihe mit folgendem Entwicklungspunkt und folgenden Koeffizienten: > x_0:=0; a[n]:=(-1)^n; > Sum(a[n]*(x-x_0)^n,n=0..infinity); x_0 := 0 a n~ := (-1) n~ (-1) n~ x n~ n~ = 0 Die einzelnen Elemente der Reihe lassen sich folgendermaßen darstellen: > P[0]:=unapply(Sum(a[n]*(x-x_0)^n,n=0..0),x); > P[1]:=unapply(Sum(a[n]*(x-x_0)^n,n=0..1),x); > P[2]:=unapply(Sum(a[n]*(x-x_0)^n,n=0..2),x); > P[3]:=unapply(Sum(a[n]*(x-x_0)^n,n=0..3),x); > P[4]:=unapply(Sum(a[n]*(x-x_0)^n,n=0..4),x); 0 P 0 := x n~ (-1) n~ x n~ = 0 Page 3

4 > seq(value(p[n](x)),n=0..4); 1 P 1 := x n~ (-1) n~ x n~ = 0 2 P 2 := x n~ (-1) n~ x n~ = 0 3 P 3 := x n~ (-1) n~ x n~ = 0 4 P 4 := x n~ (-1) n~ x n~ = 0 1, 1 - x, 1 - x + x 2, 1 - x + x 2 - x 3, 1 - x + x 2 - x 3 + x 4 > P[200]:=unapply(Sum(a[n]*(x-x_0)^n,n=0..200),x); 200 P 200 := x n~ (-1) n~ x n~ = 0 > value(p[200](x)); 1 + x 2 - x 3 + x 4 + x 54 - x 55 + x 56 - x 57 + x 58 - x 59 + x 60 - x 61 + x 62 - x 63 + x 64 - x 65 + x 66 - x 67 + x 68 - x 69 + x 70 - x 71 + x 72 - x 73 + x 74 - x 75 + x 76 - x 77 + x 78 - x 79 + x 80 - x 81 + x 82 - x 83 + x 84 - x 85 + x 86 - x 87 + x 88 - x 89 + x 90 - x 91 + x 92 - x 93 + x 94 - x 95 + x 96 - x 97 + x 98 - x 99 + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x - x 5 + x 6 - x 7 + x 8 - x 9 + x 10 - x 11 + x 12 - x 13 + x 14 - x 15 + x 16 - x 17 + x 18 - x 19 + x 20 - x 21 + x 22 - x 23 + x 24 - x 25 + x 26 - x 27 + x 28 - x 29 + x 30 - x 31 + x 32 - x 33 + x 34 - x 35 + x 36 - x 37 + x 38 - x 39 + x 40 - x 41 + x 42 - x 43 + x 44 - x 45 + x 46 - x 47 + x 48 - x 49 + x 50 - x 51 + x 52 - x 53 - x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 200 Page 4

5 > f:=unapply(sum(a[n]*(x-x_0)^n,n=0..infinity),x); f := x n~ (-1) n~ x n~ = 0 Die betrachtete Potenzreihe beschreibt folgende Funktion g: > g:=unapply(value(f(x)),x); g := x 1 x + 1 > plot([seq(p[n](x),n=0..4),g(x),p[200](x)],x=-2..3,y= ,discont=true, color=[red,blue,green,yellow,gold,black,red],thickness=[1,1,1,1,1,3,2], legend=["p[0]","p[1]","p[2]","p[3]","p[4]","f","p[200]"]); Von Interesse ist nun die Frage in welchem Bereich (d.h. für welche x-werte) die Potenzreihe gegen die Funktion g konvergiert. Hierüber gibt der Konvergenzradius r Auskunft. Es gilt: > 1/r=Limit(abs(a[i])^(1/i),i=infinity); Page 5

6 1 r = lim i a i 1 i falls dieser Grenzwert existiert. In unserem Fall gilt: > gl:=1/r=limit(abs(a[n])^(1/n),n=infinity); gl := 1 r = 1 > solve(gl,r); 1 d.h. hier ist der Konvergenzradius r gleich 1. Damit beschreibt die Potenzreihe die Funktion für alle x aus dem Intervall ]-1,1[. > restart; Beispiel 1: > assume(n,integer); > about(n); Originally n, renamed n~: is assumed to be: integer > a[n]:=1/n!; a n~ := 1 n~! > Sum(a[n]*(x-x_0)^n,n=0..infinity); ( x - x_0) n~ n~ = 0 n~! > gl:=1/r=limit((abs(a[n])^(1/n)),n=infinity); gl := 1 r = lim n~ 1 n~! 1 n~ > 1/r=limit((abs(a[n])^(1/n)),n=infinity); Page 6

7 1 = 0 r d.h. der Konvergenzradius r ist gleich Unendlich. Mit x_0 = 0 folgt: > Sum(a[n]*(x)^n,n=0..infinity)= sum(a[n]*(x)^n,n=0..infinity); x n~ n~ = 0 n~! = e x Die betrachtete Potenzreihe beschreibt die Exponentialfunktion für die gesamte reelle Achse. > restart; Beispiel 2: > assume(n,integer); > a[n]:=(-1)^n/(2*n)!; a n~ := (-1) n~ ( 2 n~ )! > x_0=0; > Sum(a[n]*(x)^(2*n),n=0..infinity); x_0 = 0 n~ = 0 (-1) n~ x ( 2 n~) ( 2 n~ )! > 1/r=Limit((abs(a[n])^(1/n)),n=infinity); 1 r = lim n~ 1 ( 2 n~ )! 1 n~ > gl:=1/r=limit((abs(a[n])^(1/n)),n=infinity); gl := 1 = 0 r Page 7

8 d.h. r ist gleich Unendlich, was wiederum bedeutet, dass die Potenzreihe für alle reellen Zahlen konvergent ist. > Sum(a[n]*(x)^(2*n),n=0..infinity)= sum(a[n]*(x)^(2*n),n=0..infinity); n~ = 0 (-1) n~ x ( 2 n~ ) ( 2 n~ )! = cos() x d.h. die betrachtete Potenzreihe beschreibt die Kosinusfunktion für alle reellen x-werte. > restart; > Beispiel 3: > assume(n,integer); > a[n]:=n+1; a n~ := n~ + 1 > x_0=0; Sum(a[n]*(x)^n,n=0..infinity); x_0 = 0 ( n~ + 1) x n~ n~ = 0 > gl:=1/r=limit((abs(a[n])^(1/n)),n=infinity); gl := 1 r = lim n~ n~ n~ > gl:=1/r=limit((abs(a[n])^(1/n)),n=infinity); gl := 1 r = 1 > solve(gl,r); 1 > Sum(a[n]*(x)^n,n=0..infinity)= sum(a[n]*(x)^n,n=0..infinity); Page 8

9 n~ = 0 ( n~ + 1) x n~ = 1 ( x - 1) 2 d.h. in diesem Fall ist der Konvergenzradius gleich 1. Damit beschreibt die Potenzreihe die Funktion für alle x aus dem Intervall ]-1,1[. > restart; ****************************************************************************** ********* Taylorpolynome > f:=x->sin(x)*cos(x)^2; f := x sin( x) cos() x 2 > plot(f(x),x,thickness=2,color=black); Diese Funktion soll approximiert werden. Dies kann mittels sog. Taylorpolynome geschehen: > Sum(f_Abl[n](x_0)*(x-x_0)^n/n!,n=0..N); N f_abln ( x_0) ( x - x_0) n n = 0 n! x_0 ist der Entwicklungspunkt, f_abl n (x_0) ist die n-te Ableitung an der Stelle x_0. Page 9

10 > f_abl[0]:=x->sin(x)*cos(x)^2; > f_abl[1]:=d(f); > > > > > f_abl 0 := x sin( x) cos() x 2 f_abl 1 := x cos() x 3-2 sin() x 2 cos() x f_abl 2 := x -7 sin( x) cos() x sin() x 3 f_abl 3 := x -7 cos() x sin() x 2 cos() x f_abl 4 := x 61 sin( x) cos() x 2-20 sin() x 3 f_abl 5 := x 61 cos() x sin() x 2 cos() x f_abl 6 := x -547 sin( x) cos() x sin() x 3 Durch Summation werden die Taylorpolynome gebildet: > T[1]:=unapply(sum(f_Abl[i](0)*x^i/i!,i=0..1),x); > T[2]:=unapply(sum(f_Abl[i](0)*x^i/i!,i=0..2),x); > T[3]:=unapply(sum(f_Abl[i](0)*x^i/i!,i=0..3),x); > T[4]:=unapply(sum(f_Abl[i](0)*x^i/i!,i=0..4),x); > T[5]:=unapply(sum(f_Abl[i](0)*x^i/i!,i=0..5),x); > T[6]:=unapply(sum(f_Abl[i](0)*x^i/i!,i=0..6),x); T 1 := x x T 2 := x x T 3 := x x x 3 T 4 := x x x 3 T 5 := x x x x 5 Page 10

11 T 6 := x x x x 5 > plot([f(x),seq(t[n](x),n=1..6)],x,y=-1..1,color=black, linestyle=[1,3,3,3,3,3,3,3],thickness=[1,2,2,2,2,2,2], title="originalfunktion f (durchgezogene Linie) und Taylorpolynome (gestrichelte Linien)"); > plot([f(x),seq(t[n](x),n=1..6)],x=-3..3,y=-1..1, color=black,thickness=[1,2,2,2,2,2,2],linestyle=[1,3,3,3,3,3,3], title="originalfunktion f (durchgezogene Linie) und Taylorpolynome (gestrichelte Linien)"); > Page 11

12 Taylorreihenentwicklung: taylor, convert(...,polynom) > f:=x->sin(x)*cos(x)^2; > plot(f(x),x,thickness=2,color=black); f := x sin( x) cos() x 2 Mit dem Befehl taylor kann automatisch das N-te Taylorpolynom berechnet werden. Hier vergleichen wir das 6-te Taylorpolynom mit Entwicklungspunkt x_0 = 0 mit unserer vorherigen Berechnung: > approx_6:=taylor(f(x),x=0,6); approx_6 := x x x 5 + O( x 6 ) > T[6](x); x x x 5 Der Befehl taylor liefert fast denselben Term. Zusätzlich angegeben wird ein Term 6-ter Ordnung, der das Restglied beschreibt. Um nun ein Polynom zu erhalten, kann der Befehl convert benutzt werden. Mit der Option polynom wird aus der Taylordarstellung mit Restglied ein Taylorpolynom erzeugt: > approx_6:=convert(approx_6,polynom); approx_6 := x x x 5 > plot([f(x),approx_6(x)],x=-3..3, y= , Page 12

13 color=black,linestyle=[1,3],thickness=[1,2], title="originalfunktion (durchgezogene Linie) und 6-tes Taylorpolynom (gestrichelte Linie)"); Je höher die Ordnung der Potenzreihe gewählt wird, desto besser wird die Ausgangsfunktion angenähert: > approx_20:=convert(taylor(f(x),x=0,20),polynom); approx_20 := x - 7 x x x x x x x x x 19 > plot([f(x),approx_20(x), approx_6(x)],x=-5..5, y= , color=black,thickness=[1,2,2],linestyle=[1,2,3], title="originalfunktion (durchgezogene Linie) und 6-te und 20-tes Taylorpolynom (gestrichelte Linien)"); Page 13

14 > approx_200:=convert(taylor(f(x),x=0,200),polynom): > plot([f(x),approx_6(x), approx_200(x)],x=-8..8, y= , color=black,thickness=[1,2,2],linestyle=[1,2,3], title="originalfunktion (durchgezogene Linie) und 6-tes und 200- tes Taylorpolynom (gestrichelte Linien)"); Da es sich bei der betrachteten Funktion um eine periodische Funktion handelt, ist die Approximation durch eine Taylorreihe auch für Taylorpolynome höherer Ordnung nur in der Nähe des Entwicklungpunktes zufriedenstellend. Für eine gute Approximation periodischer Funktionen ist die sog. Fourier-Reihe wesentlich besser geeignet: Page 14

15 Fourier-Reihenentwicklung > f:=x->sin(x)*cos(x)^2; > plot(f(x),x,thickness=2,color=black); f := x sin( x) cos() x 2 Analog zu den Taylor-Polynomen können Fourier-Polynome N-ten Grades folgendermaßen definiert werden: > a[0]/2+sum(a[i]*cos(i*x)+b[i]*sin(i*x),i=1..n); N 1 2 a 0 + i ( a i cos( i x) + b i sin( i x) ) = 1 > a i (i = 0, 1, 2,... ) und b i (i = 1, 2, 3,...) sind die Koeffizienten der Fourier-Reihe. Von Interesse ist nun natürlich die Frage, wie die Koeffizienten zu bestimmen sind. Es gilt: > a[i]:=(1/pi)*int(f(x)*cos(i*x),x=-pi..pi); a i := π sin( x) cos() x 2 cos( i x) dx -π π Page 15

16 wobei hier i = 0, 1, 2,... gilt > b[i]:=(1/pi)*int(f(x)*sin(i*x),x=-pi..pi); b i := π sin( x) cos() x 2 sin( i x) dx -π wobei hier i = 1, 2, 3,... gilt > a[0]:=(1/pi)*int(f(x)*cos(0*x),x=-pi..pi); a[1]:=(1/pi)*int(f(x)*cos(1*x),x=-pi..pi); a[2]:=(1/pi)*int(f(x)*cos(2*x),x=-pi..pi); a[3]:=(1/pi)*int(f(x)*cos(3*x),x=-pi..pi); π a 0 := 0 a 1 := 0 a 2 := 0 a 3 := 0 > b[1]:=(1/pi)*int(f(x)*sin(1*x),x=-pi..pi); b[2]:=(1/pi)*int(f(x)*sin(2*x),x=-pi..pi); b[3]:=(1/pi)*int(f(x)*sin(3*x),x=-pi..pi); b 1 := 1 4 b 2 := 0 b 3 := 1 4 > F[1]:=unapply(value(a[0]/2+sum(a[i]*cos(i*x)+b[i]*sin(i*x),i=1..1 )),x); F[2]:=unapply(value(a[0]/2+sum(a[i]*cos(i*x)+b[i]*sin(i*x),i=1..2 )),x); F[3]:=unapply(value(a[0]/2+sum(a[i]*cos(i*x)+b[i]*sin(i*x),i=1..3 )),x); Page 16

17 F 1 := x 1 4 sin() x F 2 := x 1 4 sin() x F 3 := x 1 4 sin( x) sin( 3 x) > plot([f(x),f[1](x),f[3](x)],x,color=black, thickness=[1,1,2],linestyle=[1,3,3],thickness=[1,2,2]); d.h. bereits das Fourier-Polynom 3-ten Grades entspricht der Ausgangsfunktion. > F[3](x); 1 4 sin( x) sin( 3 x) > simplify(f[3](x)); > f(x); sin( x) cos() x 2 sin( x) cos() x 2 > restart; ************************************************************************** Isoklinen und Ortskurven Isokline = eine Kurve, die durch diejenigen Punkte einer Kurvenschar geht, die jeweils die gleiche Steigung haben. Betrachte folgende Kurvenschar mit dem Scharparameter t: Page 17

18 > f:=x->-x^4+t*x^2; f := x -x 4 + t x 2 > seq(f(x),t=0..5); -x 4, -x 4 + x 2, -x x 2, -x x 2, -x x 2, -x x 2 > with(plots): animate(plot,[f(x),x=-5..5,color=black],t=-4..4,frames=30, view=[-5..5,-5..5],thickness=1,linestyle=1); > Achtung! Für den Befehl animate bei MAPLE 8 vgl. den Hinweis auf Seite 2. Page 18

19 > plot([seq(f(x),t=0..5)],x=-3..3,y=- 3..7,thickness=1,color=black, linestyle=1); Erste Ableitung: > f_abl1:=d(f); f_abl1 := x -4 x t x Soll die Steigung gleich m sein, bedeutet dies, dass die erste Ableitung gleich m ist: > gl1:=f_abl1(x)=m; gl1 := -4 x t x = m Um die Abhängigkeit des Scharparameters t von der Steigung m zu bestimmen, wird die Gleichung bzgl. t gelöst: > t_m:=solve(gl1,t); t_m := 4 x 3 + m 2 x > Page 19

20 Diese Beziehung wird nun in die Funktionsgleichung eingesetzt: > subs(t=t_m,f(x)); -x ( 2 4 x 3 + m)x Umwandlung in eine Funktion liefert die Gleichung der Isoklinenschar für verschiedene Steigungen m: > g:=unapply(subs(t=t_m,f(x)),x); g := x -x ( 2 4 x 3 + m) x Graphische Darstellung einiger Isoklinen: > with(plots): animate(plot,[f(x),x=-5..5,color=black],t=-4..4,frames=30, view=[-5..5,-5..5],thickness=2,linestyle=3); Achtung! Für den Befehl animate bei MAPLE 8 vgl. den Hinweis auf Seite 2. > plot([seq(g(x),m=-3..3)],x=-2..2,y=- 1..2,thickness=2,color=black, linestyle=3); Page 20

21 Graphische Darstellung der Funktionenschar und einiger Isoklinen: > with(plots): display( plot([seq(f(x),t=-4..4)],x=-3..3,y=-3..5,color=black,thickness=1, linestyle=1), plot([seq(g(x),m=-3..3)],x=-3..3,y=-3..5,color=black,thickness=2, linestyle=3)); > Page 21

22 Animation der Isoklinen: > with(plots): > display( plot([seq(f(x),t=-4..4)],x=-3..3,y=-3..5,color=black,thickness=1, linestyle=1), animate(plot,[g(x),x=-3..3,color=black],m=- 3..3,frames=70,thickness=2, linestyle=3)); Achtung! Für den Befehl animate bei MAPLE 8 vgl. den Hinweis auf Seite 2. > restart; > Page 22

23 **************************************************************************** Ortskurve = Kurve durch die Extrema (oder Wendepunkte) einer Kurvenschar: > f:=x->-x^2+t*x; f := x -x 2 + t x > with(plots): animate(plot,[f(x),x=-5..5,color=black],t=-4..4,frames=30, view=[-5..5,-5..5],thickness=2); Warning, the name changecoords has been redefined > Achtung! Für den Befehl animate bei MAPLE 8 vgl. den Hinweis auf Seite 2. Page 23

24 > plot([seq(f(x),t=-4..4)],x=-5..5,y=- 5..5,thickness=2,color=black); Erste und zweite Ableitung: > f_abl1:=d(f); > f_abl1 := x -2 x + t f_abl2 := -2 Extremstellen in Abhängigkeit von t: > gl3:=f_abl1(x)=0; gl3 := -2 x + t = 0 > x_extr:=solve(gl3,x); x_extr := 1 2 t Funktionswerte der Extremstellen in Abhängigkeit von t: > y_extr:=subs(x=x_extr,f(x)); y_extr := 1 4 t 2 Da die zweite Ableitung konstant gleich -2 ist, sind alle Nullstellen der ersten Ableitung lokale Maxima: > Maxima:=[x_extr,y_extr]; Page 24

25 Maxima := 1 2 t, 1 4 t 2 > with(plots): > display( plot([seq(f(x),t=-3..3)],x=-4..4,y=- 5..3,thickness=2,color=black), plot([seq(maxima,t=-3..3)],x,style=point,color=black, symbolsize=20,symbol=cross), plot([seq(maxima,t=-3..3)],x,style=point,color=black, symbolsize=30,symbol=circle)); > gl4:=x=x_extr; gl4 := x = 1 2 t > t_extr:=solve(gl4,t); t_extr := 2 x Page 25

26 Einsetzten von t in die Funktion der Extrema: > g:=unapply(subs(t=t_extr,y_extr),x); g := x x 2 Graphische Darstellung: > with(plots): > display(plot([seq(f(x),t=-3..3)],x=-5..5,y=-3..3,color=black), plot(g(x),x=-5..5,y=- 3..3,color=black,thickness=[2,2,2,2,2,2,2,3])); > restart; > *********************************************************************** Page 26