Der Taylorsche Satz Herleitung und Anwendungen

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1 Der Taylorsche Satz Herleitung und Anwendungen Joachim Schneider Juni 2004 Zusammenfassung Es wird ein enfacher Beweis des Taylorsche Satz über die lokale Approximierbarkeit hinreichend glatter Funktionen durch Polynome gegeben Anhand einiger Bespiele wird seine Anwendung in Mathematik, Numerik und Mechanik demonstriert Motivation Eine beliebige genügend glatte (f C m+ ([a, b]); a, b R, a < b; m N 0 ) Funktion, f: [a, b] R, soll an der Stelle [a, b] durch ein Polynom T vom Grade m approximiert werden (T = T f,m,x0 ) Die Approximation soll so sein, daß alle Ableitungen von f und T an der Stelle bis zur Ordnung m übereinstimmen: T soll sich also an f anschmiegen: f (k) ( ) = T (k) ( ), für k = 0,, m () Dann sind also alle lokalen Eigenschaften von f und T, die aus den ersten m Ableitungen an der Stelle folgen, gleich: Funktionswert, Steigung, Krümmung, Extrema, Wendepunkte, Q2, Mannheim joachim@halrhein-neckarde

2 2 DIE TAYLORSCHE FORMEL 2 Für T setzen wir also an m T (x) = a j (x ) j (2) Dann wird die k-te Ableitung zu T (k) (x) = m k und insbesondere ist (j + ) (j + k) a j+k (x ) j (3) T (k) ( ) = k!a k (4) Damit folgt für T : T (x) = m j! f (j) ( ) (x ) j (5) Das ist das Taylorpolynom von f der Ordnung m um die Stelle : T = T f,m,x0 (6) 2 Die Taylorsche Formel Der Zusammenhang zwischen einer Funktion und dem zugehörigen Taylorpolynom wird durch die Taylorsche Formel vermittelt Natürlich gilt immer f (x) = T f,m,x0 (x) + R f,m,x0 mit einem entsprechenden Restglied R (x) = R f,m,x0 (x); die Taylorsche Formel liefert eine brauchbare Darstellung dieses Restgliedes

3 2 DIE TAYLORSCHE FORMEL 3 Zu ihrer Herleitung integrieren wir partiell ([], [2]): f (x) = f ( ) x f () (t) d ( (x t) ) dt dt! = f ( ) + f () ( ) (x ) x f (2) (t) d ( (x t) 2 ) dt dt 2! = f ( ) + f () ( ) (x ) + f (2) ( ) (x ) 2 x f (3) (t) d ( (x t) 3 ) dt 2! dt 3! = m f (j) ( ) (x ) j x f (m+) (t) d ( (x t) m+ ) dt j! dt (m+)! = m f (j) (x j! 0 ) (x ) j + x f (m+) (t) (x t) m dt m! Damit hat man die Taylorsche Formel als f (x) = m mit dem Restglied j! f (j) ( ) (x ) j + R (x) (7) x R (x) = R f,m,x0 (x) = f (m+) (t) (x t) m dt (8) m! Mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung sieht man, daß ein ξ x, ( x, := (x, ) falls x <, x, := (, x) sonst) existiert, so daß das Restglied als R (x) = R f,m,x0 (x) = x m! f (m+) (ξ) = (x t) m dt (m + )! f (m+) (ξ) (x ) m+ (9) darstellen kann Insbesondere ist auf [a, b] R (x) = R f,m,x0 (x) = O ( (x ) m+), (0) weil f (m+) auf [a, b] stetig ist und daher beschränkt ist

4 3 DIE TAYLORSCHE FORMEL: EINE ANDERE HERLEITUNG 4 5 Einige Taylorpolynome der Sinusfunktion sin(x) T (x) T 3 (x) T 5 (x) 3 Die Taylorsche Formel: Eine andere Herleitung Hier soll noch eine andere Herleitung angegeben werden, die mit etwas schwächeren Voraussetzunggen auskommt, dafür aber auch eine nicht so allgemeine Form des Restgliedes liefert (vergleiche [3] und [4]) Die entscheidende Beobachtung dafür ist, daß man das Taylorpolynom x T f,m,x0 bei festem x auch als Funktion von auffassen kann Sei also (wir wollen für diese Betrachtung lieber t statt verwenden) T t (x) := T f,m,t () Dann erhält man die überraschende Identität d dt (T t (x)) = m! f (m+) (t) (x t) m, (2) es taucht also hier nur noch die (m + )-te Ableitung von f auf, alle anderen Terme heben sich gegenseitig weg Definiert man nun g (t) := f (x) T t (x), (3) so folgt:

5 3 DIE TAYLORSCHE FORMEL: EINE ANDERE HERLEITUNG 5 g (x) = 0, g ( ) = R f,m,x0 (x) und g (t) = m! f (m+) (t) (x t) m (4) Erinnert man sich an den Satz von Rolle: Zwischen zwei a-stellen einer differenzierbaren Funktion liegt eine Nullstelle der Ableitung (Beweis: Funktion hat lokales Extremum zwischen den beiden a-stellen), so sieht man schnell den zweiten Mittelwertsatz der Differentialrechnung ein: Seien g und h differenzierbar auf [a, b], und x, [a, b], dann existiert ein ξ aus x, so, daß (g (x) g ( )) h (ξ) = (h (x) h ( )) g (ξ) (5) Zum Beweis wende man den Satz von Rolle auf die Funktion s (t) := (g (x) g ( )) h (t) (h (x) h ( )) g (t) (6) an, für die ja a := s ( ) = s (x) gilt Mit (4) und (5) und einer auf [a, b] streng monotonen und differenzierbaren Funktion h folgt dann: R (x) = g ( ) g (x) = (g ( ) g (x)) h (ξ) /h (ξ) = (h ( ) h (x)) g (ξ) /h (ξ) = m! f (m+) (x ξ)m (ξ) (h (x) h (x h 0 )) (ξ) (7) Wählt man jetzt (zum Beispiel!) h (ξ) = (m + )! (x ξ)m+, (8) so folgt für das Restglied R (x) = (m + )! f (m+) (ξ) (x ) m+ (9) Man braucht für diesen Beweis also nicht zu integrieren und es reicht, daß f m-mal stetig differenzierbar auf [a, b] ist und daß die (m + )-te Ableitung in (a, b) existiert

6 4 ANWENDUNGEN 6 4 Anwendungen 4 Potenzreihendarstellung wichtiger Funktionen Ist eine Funktion unendlich oft differenzierbar, so konvergiert Ihre Taylorreihe also die Folge ihrer Taylorpolynome genau dann gegen die Funktion, wenn lim n R f,n, = 0, (20) und man hat die Darstellung f (x) = j! f (j) ( ) (x ) j (2) Mit der Restglieddarstellung (8) folgt sofort die Abschätzung R f,n,x0 f (n+) (n + )! (x ) n+ (22) Insbesondere dann, wenn eine Konstante C R + existiert, so daß für alle k N f (k) C k ist, gilt die Darstellung (2), denn für jedes positive a ist lim k a k /k! = 0 Wenden wir uns den trigonometrischen Funktionen sin () und cos () zu, die wir um die Stelle 0 entwickeln wollen: Mit und sin (0) = 0, cos (0) = (23) sin = cos cos = sin (24) folgen sin (k) (0) = (0,, 0,, 0,, ) cos (k) (0) = (, 0,, 0,, 0, ) und damit die Potenzreihendarstellungen f (k) max x [a,b] f (k) (x)

7 4 ANWENDUNGEN 7 sin (x) = cos (x) = k=0 k=0 ( ) k (2k + )! x2k+ ( ) k (2k)! x2k (25) Damit werden diese Funktionen überhaupt erst berechenbar 42 Numerische Berechnung von Ableitungen Aus der Taylorschen Formel erhalten wir für eine hinreichend glatte Funktion f : f (x + h) = f (x) + f (x) h + 2 f (x) h f (x) h 3 + O ( h 4) f (x h) = f (x) f (x) h + 2 f (x) h 2 6 f (x) h 3 + O ( h 4) (26) Durch Addition und Subtraktion dieser Gleichungen erhält man Formeln für die erste und die zweite Ableitung: f (x) = f (x) = f (x + h) f (x h) + O ( h 2) 2h f (x + h) + f (x h) 2f (x) + O ( (27) h 2) h 2 Das hier ein Fehler O (h 2 ) gemacht wird bedeutet zb, daß bei Anwendung dieser Formeln eine Halbierung der Schrittweite h bewirkt, daß der lokale Diskretisierungsfehler um den Faktor 4 kleiner wird Weitere solcher Formeln gibt es zb in [5] 43 Kleine Schwingungen Wir betrachten ein eindimensionales mechanisches System: mẍ = K (x) (28) Das System befinde sich bei x = 0 in Ruhe und die Kraft K wirke bei kleinen Auslenkungen rücktreibend, in einer Umgebung von x = 0 gilt also K (x) < 0 für x > 0 und K (x) > 0 für x < 0

8 4 ANWENDUNGEN 8 Wir nähern K durch ihr Taylorpolynom an, wobei wir uns auf den ersten von Null verschiedenen Term beschränken Das muß dann also ein Term mit einer ungeraden Potenz in x sein: K (x) αx 2l+ für ein l N 0 ; α > 0 (29) In den meisten Fällen wird K αx gelten, das muß aber nicht so sein, wie der hier skizierte Schwinger zeigt, bei dem für kleine Auslenkungen die Kraft proportional zur dritten Potenz der Auslenkung ist (vergleiche dazu [6]) Masse = m y Federkonstante = D x Ein Schwinger mit Kraft ( y) 3 In der überwiegenden Zahl der Fälle, in denen K αx ist, erhält man als Bewegungsgleichnug für kleine Auslenkungen die Differentialgleichung des harmonischen Oszillators mẍ + αx = 0 (30) mit der Lösung (ω := α/m) x (t) = (ẋ 0 /ω) sin (ωt) + cos (ωt) (3) Das heißt: Alle kleinen Schwingungen sind gleich

9 LITERATUR 9 Literatur [] Brauch, W, Dreyer, H-J und Haacke, W: Mathematik für Ingenieure Stuttgart: BG Teubner, 990 [2] Forster, O: Analysis Braunschweig/Wiesbaden: Friedr Vieweg & Sohn, 983 [3] Heuser, H: Lehrbuch der Analysis Teil Stuttgart,Leipzig: BG Teubner, 998 [4] Barner, M u Flohr, F: Analysis I Berlin, New York: de Gruyter, 99 [5] Chapra, SC u Canale RP: Numerical Methods for Engineers Boston, : Mc Graw-Hill, 2002 [6] Collatz, L: Differentialgleichungen Stuttgart: B G Teubner, 990