Mathematische Erfrischungen I. Folgen und Reihen Klaus Frieler

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1 Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen I Universität Hamburg

2 Eine mathematische Folge ist eine Folge von Zahlen, deren Glieder durch Bildungsgesetze bestimmt sind. Man schreibt (a n ) 1 n N für endliche Folgen der Länge N. Jede endliche Folge kann auch als Vektor aufgefasst werden. Unendliche Folgen haben unendliche Länge. Formal sind sie eine Abbildung der natürlichen Zahlen in eine beliebige Menge X (z.b. reelle Zahlen) a : N X n a(n) = a n Mathematische Erfrischungen I - 1

3 Beispiel: Die ersten 10 Primzahlen a = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31} Beispiel: Die natürlichen Quadratzahlen a n = n 2 In der DSP sind digitale Signale in diesem Sinne endliche Folgen (oder Vektoren). Z.B. eine Sekunde Sound gesamplet mit 16 bit und 44,1 khz x : [0, 44099] [ 32768, 32767] n x(n) Mathematische Erfrischungen I - 2

4 Man sagt, unendliche Folgen konvergieren, wenn die Werte mit wachsenden Folgennummer gegen einen einzigen Punkt streben, dem Grenzwert. Man schreibt dann n a n = a Man sagt, sie divergieren bestimmt, wenn sie gegen ± streben. Beispiel: a n = n 2. Dieser Grenzwert existiert nicht, da die Folgenglieder immer größer werden. Beispiel: a n = n 1. Es gilt: n a n = 0 Mathematische Erfrischungen I - 3

5 Rechenregeln für konvergente Folgen. Sei also Dann gilt n a n = a, b n n = b. n a n ± b n = a n n ± b n n = a ± b n a nb n = a n n b n n = ab n a n b n = n a n n b n = a b (b 0) Sei f eine stetige Funktion, dann gilt: n f(a n) = f(a) Mathematische Erfrischungen I - 4

6 Allgegenwärtig sind Summen, auch Reihen genannt, in der DSP. a 1 + a a N := a n Summen sind naturgemäß additiv, d.h. a n ± b n = (a n ± b n ) Konstante Faktoren kann man ausklammern, d.h. ca n = c a n Mathematische Erfrischungen I - 5

7 Der Name des Summationsindex spielt keine Rolle, d.h. a n = a m m=1 Ebenfalls möglich sind Reindizierungen: a n = 1 n= N a n = a N n 1 = N+k +k a n k = N k a n+k k Die Konvention lautet, dass die untere Grenze kleiner als die obere Grenze sein muss, ansonsten ist die Summe 0, sowie dass die Summationindizes um jeweils 1 erhöht werden. Mathematische Erfrischungen I - 6

8 Summen können auch aufgespalten werden. Z.B. 2N a n = a n + 2N a n n=n+1 2N a n = N/2 a 2n + N/2 a 2n 1 Beispiel FFT (mit W N = e 2πi N, N = 2 k ): X k = N 1 n=0 x n W kn N N/2 1 = n=0 x 2n W 2kn N + W N N/2 1 n=0 x 2n+1 W 2kn N Mathematische Erfrischungen I - 7

9 Mehrfachsummen sind auch sehr geläufig. Man kann sie vertauschen, wenn sie unabhängig sind, z.b: oder M m=1 M m=1 a n b m = b nm = a n ( M M b nm m=1 b m ) = ( a n )( M m=1 m=1 b m ) Aber: M b nm m=n+1 Mathematische Erfrischungen I - 8

10 Beispiel: Polynome vom Grad N einer reellen oder komplexen Variablen x sind folgende durch Summen definierte Funktionen: P (x) = n=0 a n x n Summe von Potenzen einer Zahl q Beweis: k=0 q k = 1 + q 1 + q q N = 1 qn+1 1 q (1 q) k=0 q k = k=0 q k k=0 q k+1 = k=0 (q k q k+1 ) = 1 q + (q q 2 ) + (q 2 q 3 ) + = 1 q N+1 Mathematische Erfrischungen I - 9

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12 Summen können auch unendlich sein, z.b. 1 n, ( 1) n 2n + 1, e i2πn n= wenn sie defniert sind, im Sinne von konvergenten Teilsummen, denn: Jede Summe kann als Folge von Teilsummen aufgefasst werden, d.h. mit gilt s n = a k k=1 a n = n s n = n N a n Mathematische Erfrischungen I - 10

13 Beispiel: Die sehr wichtige geometrische Reihe. Sei q < 1 (reell oder komplex) und k > 1. Dann gilt k=0 q k = 1 1 q Beispiel: Fourierreihe. Für eine periodische Funktion f mit Periode T gilt f(t) = a a n sin( 2π T nt) + b n cos( 2π T nt) Mathematische Erfrischungen I - 11