Runde 9, Beispiel 57

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1 Runde 9, Beispiel 57 LVA 8.8, Übungsrunde 9,..7 Markus Nemetz, TU Wien, 3..7 Angabe Seien y, z C N und c, d C N ihre Spektralwerte. Außerdem bezeichne (x k ) k die N - periodische Fortsetzung des Vektors x C N sowie ω = e πi/n. Zeigen Sie, daß die sogenannte periodische Faltung gilt: y z := ( N Lösung des Beispiels t= DFT {}}{ y z k ) k (c k d k ) k Gegeben seien die periodischen Folgen x [n] und x [n] mit der Periodendauen N. Ihre diskreten Fouriertransformierten (DFT) sind gegeben durch: X (k) = N X (k) = N m= r= x [m]w mk N x [r]w rk N Wir definieren eine neue Folge x 3 [n], die sich wie folgt bildet: x 3 [n] ergibt sich durch die IDFT X 3 (k) = X (k) X (k) x 3 [n] = IDFT{ X 3 (k)} x 3 [... X (k) X (k)w nk N Durch Einsetzen der ersten beiden Gleichungen und Umordnen der Summen ergibt sich: x 3 [n] = N m= x [m] r= x [r] W (n m r)k N Der letzte Term läßt sich wie folgt auswerten: { e jπk(n m r)/n N, r = m m + p N, p Z =, sonst

2 Mit p als ganzer Zahl vereinfacht sich Gleichung 8. zu: x 3 [n] = = m= m= x [m] x [n m + p N] x [m] x [n m] Dieser Ausdruck ergibt sich durch die Periodizität von x [n]. Bis auf die Summationsgrenzen, die hier nur über eine Periode laufen, ist er identisch mit der Faltungssumme. x 3 [n] ist selber auch periodisch. Gleichung 8. wird daher als periodische Faltung bezeichnet.

3 Runde 9, Beispiel 58 LVA 8.8, Übungsrunde 9,..7 Markus Nemetz, TU Wien, 8..7 Angabe Man berechne die Spektralkoeffzienten des N-periodischen diskreten Rechteckimpulses (x k ) k mit > x = x = und x j = für j =,,..., N. Theoretische Grundlagen: Spektraldarstellung der Fourier-Reihe f(x) = s(x) = a d k sin(k x + ϕ k ) k= a k d k k b k mit der gemeinsamen Fourier-Amplitude d k = a k + b k, ϕ k = arctan a k b k > b k Die komplexe Form der Fourier-Reihe lautet: f(x) = s(x) = c k e j k x, k= T = π Mit dem Spektrum der Funktion f(x) (komplexe Fourier-Koeffizienten bzw. Spektralkoeffizienten c k ) Beziehungen: c k = π π f(x) e j k x dx = a, wenn k = (a k j b k ), wenn k > (a k + j b k ), wenn k < a k = c k + c k, b k = k (c k c k )

4 Zeitfunktion (Elektrotechnik): x := ω t Bezugs- (Grund-) Kreisfrequenz: ω = π T Kreisfrequenz: ω k = k ω Periodemdauer: T (Linien-) Spektrum von f(x): π c k bzw. T c k Frequenzabstand zweier Spektrallinien: ω = π T mit den Fourier-Koeffizienten f(t) = s(t) = c k e i k ω t c k = T 3 Lösung des Beispiels T k= f(t) r j k ω t d t x k =. c k = N y j ω k j π N j= c = N y j ω = N j= wegen c = N y j ω j = N ( + ω () ) j= c = N y j ω j = N ( + ω () ) j=. c k = N y j ω k j = N ( + ω k () ) j=

5 Runde 9, Beispiel 59 LVA 8.8, Übungsrunde 9,..7 Markus Nemetz, TU Wien, 8..7 Angabe Man zeige, daß für die Fouriermatrix F N, gegeben durch ω ω ω F N := ω ω 4 ω () ω ω () ω () mit ω = e πi/n gilt: F N F N = N E N Dabei bezeichnet F N die konjugierte Matrix und E N die N N-Einheitsmatrix. Dabei bezeichnet F N die konjugierte Matrix und E N die N-te Einheitsmatrix. Anmerkung: Das Element in der r-ten Zeile und s-ten Spalte der Matrix F N F N berechnet sich durch Man unterscheide zwischen r = s und r s. ω k(r ) ω k(s ) Theoretische Grundlagen: Fourier-Matrix Durch Bilden von Potenzen der Einheitswurzel erhält man die Fourier-Matrix. 3 Lösung des Beispiels 3. r = s ω n = e π i n ω k (r ) ω k (r ) = ω k (r ) (r ) = ω = N

6 3. r s ω k (r ) ω k (s ) = ω k (r ) (s ) = ω k r k k s+k = ω k (r s) Dabei gilt: ω r s := z, wobei z eine von verschiedene N-te Einheitswurzel ist (z N = ). z + z N + + z + = zn z = Beweis für z N = (Moivre-Formeln,n-ten Wurzeln in C): z N = ω N (r s) = e π i N N (r s) = e π i (r s) = cos( π (r s)) + i sin( π (r s)) =

7 Runde 9, Beispiel 6 LVA 8.8, Übungsrunde 9,..7 Markus Nemetz, [email protected], TU Wien, 8..7 Angabe Berechnen Sie die Spektralfunktion von f(t) = {, < t <, sonst. Theoretische Grundlagen: Diskrete Fourier-Transformation. Die Fourier-Transformation ist eine Integraltransformation, die einer Funktion eine andere Funktion (ihre Fouriertransformierte) zuordnet. Sie ist eng mit der Laplace- Transformation verbunden. In vielen Einsatzgebieten wird sie dazu verwendet, um für zeitliche Signale (z. B. ein Sprachsignal oder einen Spannungsverlauf) das Frequenzspektrum zu berechnen (vgl. Fourieranalyse). Allgemein umfasst der Begriff Fourier-Transformation eine Reihe sehr ähnlicher Transformationen, welche Funktionen (auch endliche und unendliche Folgen sind Funktionen) in Frequenzkomponenten oder Elementarschwingungen zerlegen. Die Diskrete Fourier-Transformation oder DFT ist die Fourier-Transformation eines zeitdiskreten endlichen oder periodischen Signals und somit ein Spezialfall der Z- Transformation mit Werten auf dem Einheitskreis für z. Die DFT ist das wichtigste Werkzeug in der Praxis der digitalen Signalverarbeitung, da es schnelle Algorithmen zum Durchführen der Transformation gibt. Am bekanntesten ist die FFT (Fast Fourier Transformation), die schnelle Fourier-Transformation. Die diskrete Fourier-Transformierte â = (â,...,â ) C N eines komplexen Vektors a = (a,..., a ) C N hat die Koeffizienten â k = j= e πi jk N aj, k =,...,N. Dabei nennt man die â k auch Fourierkoeffizienten oder Fourierkomponenten. Die inverse DFT (idft) a von â C N hat die Koeffizienten a k = N j= e πi jk N âj, k =,...,N. F(ω) = + f(x)ė i ω t d t

8 3 Lösung des Beispiels Für ω gilt: F(ω) = e i ω t f(t)dt = ω i e i ω t = i ω F(ω) = i ω (e i ω Für ω = gilt: F(ω) =.

9 Runde 9, Beispiel 6 LVA 8.8, Übungsrunde 9,..7 Markus Nemetz, [email protected], TU Wien, 8..7 Angabe Berechnen Sie die Spektralfunktion von { t, < t < f(t) =, sonst. Theoretische Grundlagen: Diskrete Fourier-Transformation. Die Fourier-Transformation ist eine Integraltransformation, die einer Funktion eine andere Funktion (ihre Fouriertransformierte) zuordnet. Sie ist eng mit der Laplace- Transformation verbunden. In vielen Einsatzgebieten wird sie dazu verwendet, um für zeitliche Signale (z. B. ein Sprachsignal oder einen Spannungsverlauf) das Frequenzspektrum zu berechnen (vgl. Fourieranalyse). Allgemein umfasst der Begriff Fourier-Transformation eine Reihe sehr ähnlicher Transformationen, welche Funktionen (auch endliche und unendliche Folgen sind Funktionen) in Frequenzkomponenten oder Elementarschwingungen zerlegen. Die Diskrete Fourier-Transformation oder DFT ist die Fourier-Transformation eines zeitdiskreten endlichen oder periodischen Signals und somit ein Spezialfall der Z- Transformation mit Werten auf dem Einheitskreis für z. Die DFT ist das wichtigste Werkzeug in der Praxis der digitalen Signalverarbeitung, da es schnelle Algorithmen zum Durchführen der Transformation gibt. Am bekanntesten ist die FFT (Fast Fourier Transformation), die schnelle Fourier-Transformation. Die diskrete Fourier-Transformierte â = (â,...,â ) C N eines komplexen Vektors a = (a,..., a ) C N hat die Koeffizienten â k = j= e πi jk N aj, k =,...,N. Dabei nennt man die â k auch Fourierkoeffizienten oder Fourierkomponenten. Die inverse DFT (idft) a von â C N hat die Koeffizienten a k = N j= e πi jk N âj, k =,...,N. F(ω) = + f(x)ė i ω t d t

10 3 Lösung des Beispiels F(ω) = e i ω t t f(t)dt =... = ω 3 (e i ω (i ω + ω i) + i) zweimal partiell integrieren Für ω : F(ω) = ω 3 (e i ω (i ω + ω i) + i) Für ω = : F(ω) = 3.

11 Runde 9, Beispiel 6 LVA 8.8, Übungsrunde 9,..7 Markus Nemetz, [email protected], TU Wien, 3..7 Angabe Man zeige unter Verwendung von Bsp. 59, dass zwischen den Funktionswerten y j, j =,...,N und den Spektralkoeffzienten c k, k =,...,N folgende Beziehung gilt, die sogenannte Parsevalsche-Gleichung: Lösung des Beispiels c k = N y k ist komplex und der Betrag liefert die Länge des Vektors a+b i mit a + b. a b i ist die kojugiert Komplexe von a + b i. y i Einsetzen von y = F n c: N y k = n y k y k T N (F n c) (F n c) T = N c F n F n T }{{} N E n c T = c c T = c

12 Runde 9, Beispiel 63 LVA 8.8, Übungsrunde 9,..7 Markus Nemetz, TU Wien, 3..7 Angabe Zeigen Sie: Falls f(t) eine gerade Funktion ist, dann kann de Fouriertransformierte F(ω) von f(t) durch berechnet werden. F(ω) = f(t)cos(ωt)dt Lösung des Beispiels Wir verwenden die Defintion des Cosinus: F(ω) e iωt f(t)dt + f(t) (e iωt + e iωt )dt = cos(ωt) = e iωt + e iωt e iωt f(t)dt =... = f(t) (e iωt + e iωt )dt = f(t) (e iωt + e iωt )dt = f(t) cos(ωt)dt