Signale und Systeme I

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1 FACULTY OF ENGNEERING CHRISTIAN-ALBRECHTS-UNIVERSITÄT ZU KIEL DIGITAL SIGNAL PROCESSING AND SYSTEM THEORY DSS Signale und Systeme I Musterlösung zur Modulklausur WS 010/011 Prüfer: Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt Datum: Zeit: 09:00h 10:30h (90 Minuten) Ort: OS40, Raum 14 Digital signal processing and signal theory, Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt, Signale und Systeme I, Musterlösung Modulklausur WS 010/011 1

2 Signale und Systeme I Modulklausur WS 010/011 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 1 (40 Punkte) (4 P) (a) v(t) = t+t T δ 1 (t+t) t T δ 1(t) δ 1 (t T) (1) 1 v(t) T T T T 1 t Abbildung 1: Lösung Aufgabe 1 (a) (14 P) (b) Lösungsweg 1: Fourier-Transformation nach Definition bestimmen V() = = 0 T 0 v(t) e t dt () t+t T T e t dt e t dt (3) = 1 T t e t dt+ e t dt+ e t dt (4) T T T 0 [ 1 e t ] 0 [ ] 1 T = T ( ) ( t 1) + T e t (5) T = 1 ( 1 e T ω (T 1) ) 1 ( e T e T) T (6) = 1 ω T + et 1 ω T et 1 ( e T e T) (7) = 1 ( 1 e T ) ω 1 ( e T +e T e T) T (8) ( e T +e T) (9) ( e T e T) 1 T sin(ωt) et = et ω T = = = cos(ωt) (10) ( ) sin(ωt) e T cos(ωt) (11) ωt ( si(ωt) e T cos(ωt) ) (1) Als Ergebnis wird schon Zeile (6) gewertet, die Umformungen machen das Ergebnis jedoch deutlich kompakter und zeigen vor allem, dass es identisch zu dem aus Lösungsweg ist.

3 Signale und Systeme I Modulklausur WS 010/011 Lösung Aufgabe 1 Um die Stammfunktion in Zeile (4) zu bilden wurde folgender Zusammenhang genutzt: xe αx = eαx (αx 1)dx. (13) α Lösungsweg : Schnellere Lösung unter Verwendung des Differentiationssatzes Zuerst die Ableitung von v(t) bilden: d dt v(t) = d dt ( t T δ 1(t+T)+ T T δ 1(t+T) t T δ 1(t) δ 1 (t T) = 1 T δ 1(t+T)+ t T δ 0(t+T)+ T T δ 0(t+T) ) (14) 1 T δ 1(t) t T δ 0(t) δ 0 (t T) (15) = 1 T δ 1(t+T)+ T T δ 0(t+T)+δ 0 (t+t) 1 T δ 1(t) 0 T δ 0(t) δ 0 (t T) (16) = 1 T δ 1(t+T) 1 T δ 1(t) δ 0 (t+t) δ 0 (t T) (17) = 1 T r T(t+T) δ 0 (t+t) δ 0 (t T) (18) Für die Umformung zu Zeile (16) wurde die Ausblendeigenschaft von δ 0 (t) genutzt. Einfacher ist die Ableitung durch graphisches Ableiten aus Abbildung 1 zu bestimmen. Die Fourier-Transformation lässt sich aus Zeile (18) mit den bekannten Korrespondenzen, dem Differentiationssatz und dem Verschiebungssatz bestimmen: V() = T T si(ωt)et 1 e T 1 e T (19) = si(ωt)e T cos(ωt) (0) V() = ( si(ωt)e T cos(ωt) ) (1) (5 P) (c) Fourier-Transformation Fourier-Reihe V() = c µ = 1 T 0 v(t)e t dt () v(t)e jµ π t T 0 dt (3) T 0 Zwischen der Fourier-Transformierten V() des Signals v(t) und den Fourier- Reihenkoeffizienten c µ von dessen periodischer Fortsetzung u(t) gilt der Zusammenhang c µ = 1 ( V jµ π ), (4) T 0 T 0 wobei T 0 = 4T die Periodendauer von u(t) ist. Somit gilt c µ = 1 ( 4T V jµ π ). (5) T 3

4 Signale und Systeme I Modulklausur WS 010/011 Lösung Aufgabe 1 (5 P) (5 P) (d) Das Ergebnis aus (c) angewendet auf das Ergebnis von (b): c µ = 1 4T = 1 jµπ jµ π T [ si [ ( si µ π ( µ π ) T T ) ] e jµπ cos(µπ) ( e jµ π T T cos µ π (e) Beziehung zwischen Ausgangs- und Eingangsspektrum T T )] (6) (7) (8) Y() = 1 X (j(ω +ω 0))+ 1 X(j(ω ω 0)) (9) (30) y(t) = 1 x(t)e 0t + 1 x(t)e+ 0t (31) = x(t) cos(ω 0 t) (3) ( P) (5 P) (f) Das System S 1 realisiert also eine Zweiseitenband-Modulation. (g) Das Eingangssignal ist reellwertig, da sein Spektrum hermite-symmetrisch ist. Dies gilt jedoch nicht für das Ausgangssignal, was somit komplex sein muss: X() = X ( ) x(t) R (33) Y() Y ( ) y(t) C. (34) Das System S reagiert auf ein reellwertiges Eingangssignal also mit einem komplexwertigen Ausgangssignal und ist somit kein reellwertiges System. 4

5 Signale und Systeme I Modulklausur WS 010/011 Lösung Aufgabe Aufgabe (30 Punkte) Die unten dargestellte Differenzengleichung beschreibt ein dynamisches, diskretes System. y(n)+y(n 1) 15y(n ) = 3v(n ) v(n 3) (17 P) (a) Bestimmen Sie aus der Differenzengleichung: - die Übertragungfunktion H(z) = Y(z) V(z) y(n)+y(n 1) 15y(n ) = 3v(n ) v(n 3) Y(z)(1+z 1 15z ) = V(z)(3z z 3 ) H(z) = Y(z) V(z) = - das Pol/Null-stellendiagramm des Systems 3z z 3 1+z 1 15z = 3z 1 z 3 +z 15z z 0 = 1 3 z 1 = 0 z = 3 z 3 = 5 PN Diagramm H o (z) 3 1 Imaginary Part Real Part - die Impulsantwort h 0 (n) und zeichnen Sie diese in einem Bereich von: 5

6 Signale und Systeme I Modulklausur WS 010/011 Lösung Aufgabe n 0 bis n 5. Ausgehend von H(z) mit Partialbruchzerlegung. 3z 1 H(z) = z 3 +z 15z = A 1 z + A z 3 + A 3 z +5 3z 1 A 1 = H(z) z z=0 = (z 3)(z +5) = 1 z=0 15 3z 1 A = H(z) (z 3) z=3 = z(z +5) = 1 z=3 3 3z 1 A 3 = H(z) (z +5) z= 5 = z(z 3) = z= 5 5 H(z) = 1 15 z (z 3) 5 (z +5) H(z) = 1 15 z 1 + z 3 (z 3) z 1 z 5 (z +5) z 1 h 0 (n) = γ 0(n 1) 15 + γ 1(n 1) 3 n 1 3 γ 1(n 1) ( 5) n 1 5 Wertetabelle zur Impulsantwort: n h 0 (n) (8 P) (b) Untersuchen Sie das gegebene System auf Stabilität, Linearität, Zeitinvarianz und Kausalität. Begründen Sie ihre Antworten. - Stabilität Das System ist nicht stabil, da sich nicht alle Pole im Einheiskreis der z-ebene befinden. 6

7 Signale und Systeme I Modulklausur WS 010/011 Lösung Aufgabe - Linearität und Zeitinvarianz Für das System wurde eine Übertragungsfunktion H(z) angegeben. Da die Übertragungsfunktion nur für lineare, zeitinvariante Systeme existiert, muss das betrachtete System also linear und zeitinvariant sein. - Kausalität Das System ist kausal, da der Systemausgang nur vom aktuellen oder von vergangenen Eingangswerten abhängt. Für die folgenden Aufgabenteile wird das System mit der Übertragungsfunktion angenommen. H(z) = 1 z (1+z) (5 P) (c) Bestimmen und zeichnen Sie das Ausgangssignal y(n) für n 5 welches bei einer Beaufschlagung des gegebenen Systems mit v(n) = ( 1) n entsteht. v(n) = ( 1) n γ 1 (n) V(z) = z z +1 Y(z) = H(z) V(z) = 1 z (1+z) z z +1 = z (1 z) (z +1) 3 y(n) = n ( 1) n γ 1 (n) y(n) n 7

8 Signale und Systeme I Modulklausur WS 010/011 Lösung Aufgabe 3 Aufgabe 3 (30 Punkte) (7 P) (a) Berechnen Sie die lineare Faltung y(n) = x 1 (n) x (n) der Folgen Skizzieren Sie die drei Signale. x 1 (n) = γ 0 (n)+γ 0 (n 1), x (n) = ( 1) n γ 1 (n). y(n) = x 1 (n) x (n) = x 1 (i)x (n i) i= = x (n)+x (n 1) = ( 1) n γ 1 (n)+( 1) n 1 γ 1 (n 1) 0, n < 0 = 1, n = 0 0, n > 0. (7 P) (b) Berechnen Sie die Faltung w(t) = v 1 (t) v (t) der Zeitsignale v 1 (t) = sin(ωt), v (t) = sin(10ωt). w(t) = v 1 (t) v (t) = sin(ωτ)sin(10ω(t τ))dτ R = 1 cos(ωτ 10ω(t τ)) cos(ωτ +10ω(t τ))dτ R = 1 cos(11ωτ 10ωt) cos(10ωt 9ωτ)dτ R = 1 cos(11ωτ)cos(10ωt)+sin(11ωτ)sin(10ωt)dτ R 1 cos(10ωt)cos(9ωτ)+sin(10ωt)sin(9ωτ)dτ R = 1 cos(10ωt) cos(11ωτ)dτ + 1 R sin(10ωt) sin(11 ωτ)dτ R 1 cos(10ωt) cos(9ωτ)dτ 1 sin(10ωt) sin(9ωτ)dτ = 0. R Dieses Ergebnis lässt sich auch durch eine Betrachtung des Spektrums begründen: Da die Sinus-Funktionen unterschiedliche Perioden haben, sind ihre Anteile (Dirac- Pulse) im Spektrum an unterschiedlichen Frequenzen (±ω und ±10 ω). Die Faltung im Zeitbereich entspricht einer Multiplikation im Frequenzbereich, deren Ergebnis durch die ungleichen Dirac-Pulse 0 ergibt (Orthogonalität). R 8

9 Signale und Systeme I Modulklausur WS 010/011 Lösung Aufgabe 3 ( P) (c) Wie ist Periodizität für ein Signal x(t) definiert? mit λ Z und Periodenlänge T R. x(t+λt) = x(t), (7 P) (d) Weisen Sie die Periodizität des Signals v(t) nach und geben Sie die Periodenlänge T 0 an. Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die Periodenlängen T 1 und T der Summanden und berechnen Sie daraus die Periodenlänge T 0 des Signals v(t). Weisen Sie dann die Periodizität explizit nach. Bestimmen der Periodenlängen der Summanden: v(t) = sin( 1 ωt) +cos( ωt) }{{} }{{} T 1 = π ω T = π ω Periodizität des Gesamtsignals v(t) ist gegeben, falls T 1 T Q: T 1 = π ω T ω π = 1 Q. Die Gesamtperiodenlänge ist das kleinste gemeinsame Vielfache von T 1 und T : Expliziter Nachweis der Periodizität: T 0 = kgv(t 1,T ) = T = T 1. v(t+λt 0 ) = sin( ω(t+λt 0 ))+cos( 1 ω(t+λt 0 )) = sin( ωt+ ωλt 0 )+cos( 1 ωt+ 1 ωλt 0 ) = sin( ωt+ ωλ π ω )+cos( 1 ωt+ 1 ωλ π ω ) = sin( ωt+4λπ)+cos( 1 ωt+λπ) = sin( ωt)+cos( 1 ωt) = v(t). (7 P) (e) Das Signal v(t) werde mit der Rate f A = 1 T A abgetastet. Welchen Bedingungen muss α = T 0 T A genügen, damit das abgetastete Signal v A (n) = v(n T A ) periodisch mit Periode f A T 0 ist? Das zeitkontinuierliche Signal v(t) ist periodisch, es gilt also v(t) = v(t+λt 0 ), λ Z. 9

10 Signale und Systeme I Modulklausur WS 010/011 Lösung Aufgabe 3 Das abgetastete Signal v A (t) ist periodisch mit Periode f A T 0, falls gilt: v A (n) = v A (n+λf A T 0 ) = v A (n+λ T 0 T A ) = v A (n+λα). Diese Bedingung ist für beliebige λ Z nur dann erfüllbar, wenn λ α ganzzahlig ist. Da λ Z, muss auch α Z sein. Wegen α = T 0 T A > 0 muss α N\{0} sein. 10