Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen

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1 Physikdepartment E3 WS 0/ Übunen zu Physik für Maschinenwesen Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Eva M. Herzi, Dr. Volker Körstens, David Maerl, Markus Schindler, Moritz v. Sivers Vorlesun 0..0, Übunswoche Blatt 7. Differentialoperatoren x Für alle Teilaufaben ilt ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem mit r = y. z a In einem Raumebiet ist die Temperatur eeben durch T( r = T 0 (x + 3y + z. Bestimmen Sie rad T( r! rad T = T = x y z (T 0 (x + 3y + z = 4x = 6y 4z xy b Ein Vektorfeld sei eeben durch F(x, y, z = z. Bestimmen Sie rot F. 5x x xy rot F = F = y z = 5x z 0 z z 0 5 = 5 0 x x c Bestimmen Sie div F. div F = F = x y z = y+0+0 = y xy z = 5x

2 d Berechnen Sie die folenden beiden zweiten Ableitunen des Skalarfeldes U( r bzw. des Vektorfeldes v( r: rot(rad U( r = U( r und div(rot v( r = ( v( r x = x rot(rad U = ( U =, etc. x y z y z U z y U 0 = z x U x z U = 0 x y U y x U 0 x U y U = z U Partielle Ableitunen sind vertauschbar! div rot v = ( v = x x v x x y v z z v y y y v y = y z v x x v z = z z v z z x v y y v x = x y v z x z v y + y z v x y x v z + z x v y z y v x = 0

3 . Welle Eine Welle wird durch die Gleichun y(x, t = 0, sin { ( t π 0,0 x } 5 beschrieben. In obier Gleichun sind die Einheiten abhanden ekommen, aber Länen sind in m eeben und Zeiten in s. a Bestimmen Sie aus diesen Anaben die Amplitude A, die Wellenläne λ, die Phaseneschwindikeit v sowie die Frequenz f! Geben Sie alle Werte mit der richtien SI-Einheit an! b Welche Größen beschreiben die räumliche Periode? c Welche Größen beschreiben die zeitliche Periode? Die allemeine Form der Sinuswelle lautet: y(x, t = A sin{k x ωt} y(x, t = A sin{k (x vt} { } π y(x, t = A sin λ (x vt { ( x } y(x, t = A sin π f v t räumliche Periode: Wellenläne λ; Wellenzahl k kλ = π = k = π λ zeitliche Periode: Periodendauer T; Frequenz f ; Kreisfrequenz ω k v T = π = T = λ v = ω = π T = π f = f = T Durch Verleich sehen wir: A = 0, m λ = 5 m λ v = = 500 m/s(= λ f 0,0 s f = v = 00 s λ d In welche Richtun breitet sich die Welle aus? Wie bewet sich bestimmter Punkt der sin-funktion, dh. sin = const.? Wenn t rößer wird, muss auch x rößer werden in der Art, dass π( t 0,0 x 5 = const. = Welle breitet sich in positive x-richtun aus. 3

4 3. Gekoppelte Pendel Zwei mathematische Pendel der Läne l mit den Massen m und m hänen nebeneinander von der Decke herab und seien durch eine Feder mit der Federkonstanten k miteinander verbunden. Die momentanen Auslenkunen der Pendel seien mit θ (t und θ (t bezeichnet. Die Feder sei für θ (t = θ (t = 0 entspannt. a Leiten Sie für m und m jeweils die Beweunsleichun in differenzieller Form her. Benutzen Sie dabei die Kleinwinkelnäherun. Kräfte auf Masse m : F R = m sin θ m θ F F = k(auslenkun von Masse m - Auslenkun von Masse m = = k(l sin θ l sin θ = kl(θ θ Newton: m s = F R + F F 4

5 m l θ = m θ + kl(θ θ θ + l θ k m (θ θ = 0 (I Analo stellt man die DGL für die Masse m auf: θ + l θ k m (θ θ = 0 (II b Zur Entkopplun der DGLs wurden diese in der Vorlesun addiert bzw. subtrahiert. Gehen Sie hier enauso vor. Wieso lassen sich die DGLs auf diese Weise nicht so einfach entkoppeln? (I+(II : (I (II : θ + θ + l (θ + θ k (θ θ k (θ θ = 0 m m θ θ + l (θ θ k (θ θ + k (θ θ = 0 m m In Gleichun (I+(II kommen jweils Terme mit θ + θ und Terme mit θ θ vor. c Es elte nun m = m. Leiten Sie die beiden Differenzialleichunen für die Fundamentalschwinunen analo zur Vorlesun her. Sei m = m. Damit vereinfachen sich die Gleichunen zu: (I+(II: θ + θ + l (θ + θ = 0 (I-(II: d dt (θ + θ + l (θ + θ = 0 θ θ + l (θ θ + k (θ θ = 0 m d ( dt (θ θ + l + k (θ θ = 0 m d Geben Sie die allemeinen Lösunen dieser Differenzialleichunen an. Welche Frequenzen haben diese Fundamentalschwinunen (Formeln? (I+(II ist Schwinunsleichun mit Variable θ + θ leichphasie Schwinun θ leich(t = θ (t = θ (t erfüllt DGL θ leich (t = θ 0,leich cos(ω leich t+α mit ω leich = l (Feder hat keinen Einfluss (I-(II: ist Schwinunsleichun mit Variable θ θ eenphasie Schwinun θ een(t = θ (t = θ (t erfüllt DGL mit ω een = l + k m θ een (t = θ 0,een cos(ω een t+ β 5

6 e Es seien nun m = m =,00 k, l = 0,750 m und k = 5,0 N/m. Zeichnen Sie hierfür θ (t und θ (t für beide Fälle in ein Koordinatensystem. Alle Anfansauslenkunen seien betrasmäßi π/80 und alle Anfanseschwindikeiten seien 0. θ (0 = θ (0 = 0 = α = nπ ; β = mπ n und m anzzahli spezielle Lösun: α = β = 0 l = ω leich = π T leich T een = = T leich = π l π l + k m = = 9,8 m/s 0,75 m π 9,8 m/s 0,75 m π + 5 N/m,0 k =,74 s =,0 s 6

7 f Nun ehen wir von speziellen Anfansbedinunen aus. Es elte θ (0 = π/80, θ (0 = 0 und θ (0 = θ (0 = 0. Berechnen Sie die Beweunsleichunen θ (t und θ (t analo zur Vorlesun. θ (0 = π 80 ; θ (0 = 0 = θ (0 θ (0 = π 80 =: θ 0 = θ (0+θ (0 Fundamentalschwinunen ehorchen den Ansätzen: [(+(] : ( θ (t+θ (t = θ 0 cos(ω leich t ( θ (t θ (t = θ 0 cos(ω een t θ (t = θ [ 0 cos(ωleich t+cos(ω een t ] = (Additionstheorem = = θ 0 cos [( (] : = ( ωleich θ + ω een 0 cos ( ( l + l + k m ( ωleich ω een t cos t cos ( ( l = π 80 cos(4,9(s t cos(,3(s t t = l + k t = m θ (t = θ [ 0 cos(ωleich t cos(ω een t ] = (Additionstheorem = = ( ( ωleich θ + ω een ωleich ω een 0 sin t sin t = = π 80 sin(4,9(s t sin(,3(s t 7

8 4. Zwei Wellen in Phase Zwei ebene Wellen der Frequenzen f = 300 Hz und f = 40 Hz laufen mit der Phaseneschwindikeit c = 340 m s in die leiche Richtun. In einem Punkt A haben sie leiche Phasen. Diesen Punkt A wählen wir als Ursprun des Koordinatensystems. a In welchem Abstand x sind sie zum ersten Mal wieder in Phase? ebene Welle: y(x,t = y 0 cos(ωt kx+ ϕ 0 Phase: φ = ωt kx+ ϕ 0 mit ω = π f und k = π λ = π f c folt = π c f φ = π f(t x c + ϕ 0 Am Ort 0 haben beide Wellen leiche ( Phase, wählen ϕ 0 = 0 für beide Wellen. Welle hat Phase φ (t,x = π f t x ( c Welle hat Phase φ (t,x = π f t x c Die Phasen beider Wellen sind auch an all jenen Orten/Zeitpunkten leich, an denen für den Phasenunterschied φ ilt: φ = n π mit n Z Am Ort x muss für alle Zeitpunkte elten: betrachten t = 0: φ (t,x = φ (t,x +n π ( π f t x ( = π f t x + n π ( c c x f c = f x c + n x c ( f f = n x = cn f f n= = 340 m s 60 s = 5,7 m b Nach welcher Laufzeit t sind sie zum ersten Mal wieder in Phase? Die Wellen sind in Phase wenn ( erfüllt ist Betrachten einen fixen Ort, der Einfachheit halber x = 0 ( = π f t = π f t + n π t = ( f f t = n n n= = f f 60 s = 7 ms 8