Aufgabe 1 (ca. 20 % der Gesamtpunktzahl)

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1 Institut für Mechnik Prüfun in Prof. Dr.-In. hbil. P. Betsch Budynmik Prof. Dr.-In. hbil. h. Seeli 5..6 Aufbe (c. % der Gesmtpunktzhl) Bestimmen Sie die Fourierkoeffizienten des skizzierten periodischen Funktionsverlufs (Nur eine Schwinunsperiode der Duer drestellt). x(t) / t Geeben: Hinweis: x sin (x) dx = x cos (x) dx = sin (x) x cos (x) cos (x) x sin (x) +

2 Institut für Mechnik Prüfun in Prof. Dr.-In. hbil. P. Betsch Budynmik Prof. Dr.-In. hbil. h. Seeli 5..6 Aufbe (c. 33 % der Gesmtpunktzhl) r m m r d m c e sin(ω t) Zwei homoene Kreisscheiben (Rdius r bzw. r, Msse m bzw. m ) sind fest miteinnder verbunden und reibunsfrei drehbr elert. An die roße Scheibe sind eine Feder (Steifikeit c) sowie ein Dämpfer (Dämpfunskonstnte d) neschlossen. An der kleinen Scheibe hänt eine Msse m. Ds System wird durch eine hrmonische Beweun des Dämpfers zum Schwinen neret. Bestimmen Sie: ) die Beweunsleichun mit der synthetischen Methoden (Freischneiden!). b) die Eienkreisfrequenz sowie den Dämpfunsrd der Drehschwinun des Systems. Ge.: r, r, m, m, m, d, c,

3 Institut für Mechnik Prüfun in Prof. Dr.-In. hbil. P. Betsch Budynmik Prof. Dr.-In. hbil. h. Seeli 5..6 Aufbe 3 (c. 47 % der Gesmtpunktzhl) Zwei Pendel sind wie drestellt über eine Feder der Steifikeit c miteinnder ekoppelt. Ds erste Pendel besteht us einem schlnken homoenen Stb der Msse m und der Läne, während ds zweite Pendel us einem msselosen Stb der Läne besteht, n dessen freien Ende eine Punktmsse m befestit ist. Beide Stäbe können sich um ihre Drehchsen A und B reibunslos drehen. In der Le ϕ = ϕ = sei die Feder unespnnt. Ds drestellte System befindet sich zudem im Erdnziehunsfeld der Erde. Für die Auslenkun der Feder sei nur der horizontle Anteil zu berücksichtien! A B m ϕ ϕ c m Bestimmen Sie: ) die Beweunsleichunen im Rhmen der neebenen enerlisierten Koordinten ϕ und ϕ mit Hilfe Lrne.Art. b) die linerisierten Beweunsleichunen für kleine Auslenkunen. c) die Eienkreisfrequenzen und Modlformen des vorlieenden Systems unter folenden Bedinunen: m = 3m, m = m, c = m. Stellen Sie zudem die Schwinunsmoden des Systems zeichnerisch dr (Skizze)! Geeben: m, m,, c,

4 Institut für Mechnik Prüfun in Prof. Dr.-In. hbil. P. Betsch Budynmik Prof. Dr.-In. hbil. h. Seeli 5..6 Musterlösun Aufbe Bestimmun der Fourierkoeffizienten = x(t) dt = t + dt = ] t + t] = ] 8 + ] ]] = = 4 C n = = = 4 = 4 = 4 = x(t)cos(nωt) dt ( ) t + cos(nωt) dt tcos(nωt) dt + 4 cos(nωt) dt n ω cos(nωt) + ] nω tsin(nωt) + 4 ] nω sin(nωt) ( cos(πn) + ) 4n π πn sin(πn) ( ) ( )] nπ sin(nπ) nπ sin(nπ) ( 4n π cos(πn) + πn sin(πn) + 4 n π cos(nπ) + n π cos(nπ) + nπ sin(πn) nπ sin(πn) + nπ sin(πn) ] nπ sin(πn) = cos(πn)] π n )]

5 S n = x(t)sin(nωt) dt = ] tsin(nωt) dt + sin(nωt) dt = n ω sin(nωt) + nω tcos(nωt) ] nω cos(nωt) = n ω sin(nω) + nω cos(nω) ] nω cos(nω) + n ω sin(nω ) nω cos(nω ) + nω cos(nω ] ) = nπ ] sin(πn) + cos(πn) + πn πn sin(πn) cos(πn) cos(πn) + cos(πn) = nπ cos(πn)]

6 Institut für Mechnik Prüfun in Prof. Dr.-In. hbil. P. Betsch Budynmik Prof. Dr.-In. hbil. h. Seeli 5..6 Musterlösun Aufbe ) Erstellen der Freikörperbilder Θ ϕ F d Drllstz Θ ϕ + F c r + F d r S r = () S A x m A y m F c mit: Θ = m r + m r F c = c x F d = d ( ẋ d + ẋ ) () m ẍ S Schwerpunktstz: S + m ẍ m = (3) Kinemtik: m ẍ = ϕ r (4) Einsetzen der Gl. ()-(6) in Gl. (): x = ϕ r ẋ = ϕ r (5) x d = e sin(ω t) ẋ d = e ω cos(ω t) (6) Θ ϕ + c ϕ r + d (e ω cos(ω t) r + ϕ r ) m r + m ϕ r = Θ + m r ] ϕ + d ϕ r + c r ϕ = m r d e ω cos(ω t) r d r ϕ + Θ + m r c r ϕ + Θ + m r ϕ = m r Θ + m r d e ω cos(ω t) r Θ + m r (7) Allemeine DGL: ϕ + D ω ϕ + ω ϕ = D η ω cos(ω t) (8) Somit ereben sich die Eienfrequenz ω = c r m r + m r + m r (9)

7 und der Dämpfunsrd D = d r c m r + m r + m r ] ()

8 Institut für Mechnik Prüfun in Prof. Dr.-In. hbil. P. Betsch Budynmik Prof. Dr.-In. hbil. h. Seeli 5..6 Musterlösun Aufbe 3 ) Lösunsmölichkeit über Lrne. Art Kinetische Enerie = θ(a) ϕ + θ(b) ϕ mit MM bzl. jeweiliem MGP: θ (A) = θ (S) + m( ) = m + m 4 = 3 m θ (B) = m () = 4m = 6 m ϕ + m ϕ Potentielle Enerie V = m cos (ϕ ) m cos (ϕ ) + c (sin (ϕ ) sin (ϕ )) Lrne Funktion L = V = 6 m ϕ + m ϕ + m cos (ϕ ) + m cos (ϕ ) c (sin (ϕ ) sin (ϕ ))

9 Lrne Formlismus (Lrne. Art; konservtives System) L = ϕ 3 m ϕ d ( ) L = dt ϕ 3 m ϕ L = m ϕ sin (ϕ ) c (sin (ϕ ) sin (ϕ )) ( cos (ϕ )) 3 m ϕ + m sin (ϕ ) c cos (ϕ )(sin (ϕ ) sin (ϕ )) = L = 4m ϕ d ( ) L = 4m ϕ ϕ dt ϕ L = m sin (ϕ ) c cos (ϕ )(sin (ϕ ) sin (ϕ )) ϕ 4m ϕ + m sin (ϕ ) + c cos (ϕ )(sin (ϕ ) sin (ϕ )) = b) Linerisierun sin (ϕ) ϕ cos (ϕ) sin (ϕ) cos (ϕ) ϕ Mtrix-Vektor-Nottion m 3 ] ] ϕ m 4m + + c c ] ] ϕ ϕ c m + c = ϕ ] c) Eienkreisfrequenzen m det (K λm) = + c λ m ] 3 c c m + c λ4m m λm = m ] m 5m λ4m = ( m λm ) ( ) 5 m λ4m 4 m ( ) = λ 4m 4 λ m m ( = λ + ) = λ / = ( 6 ) 9 6 6

10 ω = λ = 6 =.76 ( 6 ) 9 6 ω = λ = 6 + =.497 ( 6 ) 9 6 Modlformen ) Eienform/Huptschwinun (K λ M) = m λ m m ] ] m 5 m λ 4m = ] ( m λ m ) m = = (m λ m ) m ( ) = 4 λ ) Eienform/Huptschwinun = ( 4 λ ] ) =.838 (K λ M) = m λ m m ] ] m 5 m λ 4m = ] ] ( m λ m ) m = = (m λ m ) m ( ) = 4 λ = ( 4 λ ] ) =.88 ]

11 Drstellun Eienformen.Eienform (leichphsi).838.eienform (eenphsi).88